Wprowadzenie do rachunku zdań

 

Zanim wypłyniesz na głęboką wodę klasycznego rachunku zdań, musisz nauczyć się dwóch rzeczy. Po pierwsze, budowania schematów zdań, po drugie matryc funktorów prawdziwościowych. Musisz poznać również dwa kluczowe dla tematu pojęcia: tautologii oraz kontrtautologii.

Funkcje logiczne

Jak już dowiedziałeś się w rozdziale dotyczącym języka, w logice interesują nas jedynie zdania w sensie logicznym, czyli zdania oznajmujące, które mogą być prawdziwe lub fałszywe. Zdaniom prawdziwym przypisuje się w logice wartość 1, z kolei zdaniom fałszywym przypisuje się wartość 0.

Na pewno pamiętasz również, że wyróżniamy zdania proste i złożone, a także to, że zdania złożone tworzymy ze zdań prostych za pomocą funktorów. W tym rozdziale będą nas jednak interesowały pewne szczególne funktory, a mianowicie funktory prawdziwościowe zwane również ekstensjonalnymi. Zaliczamy do nich negację, koniunkcję, alternatywę zwykłą, alternatywę rozłączną, dysjunkcję, binegację, implikację i równoważność.

Na potrzeby klasycznego rachunku zdań, zdania w sensie logicznym przedstawia się w formie schematów, zwanych również funkcjami logicznymi. Zdania proste oznacza się w tych schematach literami – zwyczajowo przyjęto, że są to p, q, r, s… itd. Łączące je funktory prawdziwościowe oznacza się ich symbolami: ¬ (negacja) Λ (koniunkcja) V (alternatywa zwykła)  (alternatywa rozłączna) / (dysjunkcja) ↓ (binegacja) ≡ (równoważność) i → (implikacja). Wymienione litery określa się mianem zmiennych zdaniowych, z kolei funktory prawdziwościowe zwykło się nazywać stałymi logicznymi. Mówiąc krócej, funkcje logiczne to wyrażenia zbudowane jedynie ze stałych logicznych i zmiennych zdaniowych.

W poniższej tabelce przedstawię zwroty jakie odpowiadają poszczególnym funktorom prawdziwościowym w języku codziennym:

 

Więcej o każdym funktorze w dalszej części tego działu. Najpierw jednak przekształćmy przykładowe zdanie złożone na funkcję logiczną zgodnie z tabelą:

Na dworze pada deszcz i studenci uczą się logiki.

Powyższe zdanie złożone składa się z dwóch zdań prostych połączonych funktorem "i". Można je zatem zapisać w postaci takiego schematu:

p Λ q

Litera "p" odpowiada w naszym schemacie zdaniu "Na dworze pada deszcz", symbol Λ spójnikowi "i", a litera q zdaniu "Studenci uczą się logiki".

W przypadku zdań bardziej rozbudowanych, aby zachować ład i porządek w budowanym schemacie warto posłużyć się nawiasami - łatwiej wówczas rozróżnić poszczególne człony zdania złożonego. Schemat zdania złożonego może wyglądać na przykład tak:

• ¬p → (p→q)

• ¬(p→q) ≡ (p Λ ¬q)

• [(p→q) Λ (q→r)] → (p→r)

Schematy zdań mogą być jeszcze bardziej rozbudowane. Budowanie schematów zdań stanie się jaśniejsze po dokładnym omówieniu właściwości poszczególnych funktorów, a przede wszystkim po rozwiązaniu kilku zadań z tej tematyki.

Funktory intensjonalne (nieprawdziwościowe), a funktory ekstensjonalne (prawdziwościowe)

Na potrzeby rachunku zdań rozróżnia się dwa rodzaje funktorów: intensjonalne, zwane nieprawdziwościowymi, a także ekstensjonalne, zwane prawdziwościowymi.

Funktory nieprawdziwościowe to takie, które nie przesądzają jednoznacznie o tym, czy stworzone z ich udziałem zdanie złożone jest prawdziwe czy fałszywe. Innymi słowy, wartość logiczna zdania złożonego NIE ZALEŻY tylko i wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych, ale od treści całego zdania złożonego. Za przykład weźmy zdanie:

Bitwa pod Grunwaldem odbyła się w roku 1410. 

Poprzedźmy je zwrotem „Kazimierz Wielki wiedział, że…”

Kazimierz Wielki wiedział, że bitwa pod Grunwaldem odbyła się w roku 1410.

Pierwsze zdanie jest zdaniem prawdziwym. Jednakże, po dodaniu do niego nazwy „Kazimierz Wielki” i funktora „wiedział, że” – powstało zdanie fałszywe, gdyż Kazimierz Wielki zmarł kilkadziesiąt lat przed bitwą pod Grunwaldem i nie mógł wiedzieć, że się w ogóle odbyła. Weźmy teraz inne zdanie:

Pierwszym królem Polski był Bolesław Chrobry.

Zdanie bez wątpienia prawdziwe. Dodajmy teraz do niego tą samą nazwę i ten sam funktor jak w pierwszym przykładzie:

Kazimierz Wielki wiedział, że pierwszym królem Polski był Bolesław Chrobry. 

Czy w tym przypadku utworzone zdanie jest fałszywe? Oczywiście, że nie. Kazimierz Wielki słynął ze swojej mądrości, bez dwóch zdań posiadał zatem tę podstawową wiedzę na temat swoich przodków, jest to zatem zdanie prawdziwe.

Jak widać, do dwóch zdań prawdziwych dodaliśmy ten sam funktor – raz powstało zdanie fałszywe, raz zdanie prawdziwe. Tym się charakteryzują funktory nieprawdziwościowe – nie przesądzają z góry o wartości logicznej zdania złożonego, które tworzą.

Funktory prawdziwościowe to takie, które w zależności od wartości logicznej zdań składowych jednoznacznie przesądzają o tym, czy zdanie z ich udziałem złożone będzie prawdziwe, czy fałszywe. Innymi słowy, wartość logiczna zdania złożonego ZALEŻY ostatecznie od wartości logicznej zdań składowych.

W przypadku funktorów NIEPRAWDZIWOŚCIOWYCH ten sam funktor dodany do jednego zdania prawdziwego tworzy zdanie prawdziwe, a dodany do innego zdania prawdziwego tworzy zdanie fałszywe.

W przypadku funktorów PRAWDZIWOŚCIOWYCH ten sam funktor nie będzie tworzył raz zdania prawdziwego, raz fałszywego – wartość zdania złożonego zawsze będzie taka sama i będzie zależna tylko od wartości logicznej zdań składowych.

Skomplikowane? Po omówieniu poszczególnych funktorów prawdziwościowych wszystko się rozjaśni. Przypomnę, że zaliczamy do nich negację, koniunkcję, alternatywę zwykłą, alternatywę rozłączną, dysjunkcję, binegację, implikację i równoważność.

Negacja

Jedynym funktorem jednoargumentowym w naszym zestawieniu funktorów prawdziwościowych jest negacja. Jednoargumentowym, czyli zawsze łączącym się tylko z jednym zdaniem. Zdania będziemy zatem nazywać również argumentami funktora.

Funktor negacji odczytujemy jako „nieprawda, że”. W języku codziennym częściej jednak po prostu formułuje się zdania o treści negatywnej, np. „Na dworze nie pada”, „Nie lubię poniedziałku”, „Zenek nie przeszedł do następnej klasy”. Aczkolwiek zdania te znaczą to samo, co „Nieprawda, że na dworze pada”, „Nieprawda, że lubię poniedziałki”, „Nieprawda, że Zenek przeszedł do następnej klasy”. Te ostatnie brzmią jednak dość sztucznie.

Negacja powoduje zmianę wartości logicznej zdania. Innymi słowy, zestawiona ze zdaniem prawdziwym (o wartości logicznej 1), daje zdanie fałszywe (o wartości logicznej 0), a zestawiona ze zdaniem fałszywym (o wartości logicznej 0), daje zdanie prawdziwe (o wartości logicznej 1). Wpływ negacji na wartość logiczną zdania przedstawia poniższa tabelka, bardziej fachowo zwana matrycą funktora.

 

Przykłady:

Nieprawda, że dwa plus dwa równa się cztery. – FAŁSZ
Nieprawda, że dwa plus dwa równa się pięć. – PRAWDA

Koniunkcja

Pierwszym omawianym funktorem prawdziwościowym dwuargumentowym będzie funktor koniunkcji. Dwuargumentowym, czyli łączącym ze sobą dwa zdania.

Funktor koniunkcji odczytujemy jako „i”. W języku codziennym często odpowiadają mu inne spójniki, takie jak „a”, „ale”, „lecz”, „chociaż” itp.. Używamy ich kiedy chcemy naszej wypowiedzi zaznaczyć kontrast między jednym zdaniem a drugim. Na przykład: „Michał dużo waży, ale ma bardzo dobrą kondycję”, „Ze wstępu dostałem 3, a z logiki dostałem 5” itp. Z punktu widzenia rachunku zdań zdania te znaczą jednak to samo co: „Michał dużo waży i ma bardzo dobrą kondycję” i „Ze wstępu dostałem 3 i z logiki dostałem 5”.

• Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, kiedy prawdziwe są obydwa zdania składowe.

• Koniunkcja jest fałszywa, kiedy choć jedno zdanie składowe jest fałszywe.

Przykłady:

Dwa plus dwa równa się cztery i dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się cztery i dwa razy dwa równa się pięć. – FAŁSZ
Dwa plus dwa równa się pięć i dwa razy dwa równa się cztery. – FAŁSZ
Dwa plus dwa równa się pięć i dwa razy dwa równa się pięć. – FAŁSZ

Alternatywa zwykła

Funktor alternatywy zwykłej odczytujemy jako „lub”. W języku codziennym, który nie jest w żaden sposób sformalizowany, zazwyczaj zamiennie używa się spójników "lub", ze spójnikiem "albo" odpowiadającym alternatywie rozłącznej i ze spójnikiem "bądź" odpowiadającym dysjunkcji.

• Alternatywa zwykła jest prawdziwa, kiedy choć jedno zdanie składowe jest prawdziwe.

• Alternatywa zwykła jest fałszywa tylko wtedy, kiedy obydwa jej człony są fałszywe.

Przykłady:

Dwa plus dwa równa się cztery lub dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się cztery lub dwa razy dwa równa się pięć. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się pięć lub dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się pięć lub dwa razy dwa równa się pięć. – FAŁSZ

Alternatywa rozłączna

Funktor alternatywy rozłącznej odczytujemy jako „albo”.

• Alternatywa rozłączna jest prawdziwa, kiedy jeden z jej członów jest prawdziwy, a drugi fałszywy.

• Alternatywa rozłączna jest fałszywa, kiedy obydwa jej człony mają taką samą wartość logiczną.

Przykłady:

Dwa plus dwa równa się cztery albo dwa razy dwa równa się cztery. – FAŁSZ
Dwa plus dwa równa się cztery albo dwa razy dwa równa się pięć. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się pięć albo dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się pięć albo dwa razy dwa równa się pięć. – FAŁSZ

Dysjunkcja

Funktor dysjunkcji odczytujemy jako „bądź”.

• Dysjunkcja jest prawdziwa, kiedy przynajmniej jedno zdanie składowe jest fałszywe.

• Dysjunkcja jest fałszywa tylko kiedy obydwa jej człony są prawdziwe.

Przykłady:

Dwa plus dwa równa się cztery bądź dwa razy dwa równa się cztery. – FAŁSZ
Dwa plus dwa równa się cztery bądź dwa razy dwa równa się pięć. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się pięć bądź dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się pięć bądź dwa razy dwa równa się pięć. – PRAWDA

Binegacja

Funktor binegacji odczytujemy jako „ani… ani…”.

• Binegacja jest prawdziwa tylko kiedy obydwa jej człony są fałszywe.

• Binegacja jest fałszywa, kiedy przynajmniej jedno zdanie składowe jest prawdziwe.

Przykłady:

Ani dwa plus dwa nie równa się cztery, ani dwa razy dwa nie równa się cztery. – FAŁSZ
Ani dwa plus dwa nie równa się cztery, ani dwa razy dwa nie równa się pięć. – FAŁSZ
Ani dwa plus dwa nie równa się pięć, ani dwa razy dwa nie równa się cztery. – FAŁSZ
Ani dwa plus dwa nie równa się pięć ani dwa razy dwa nie równa się pięć. – PRAWDA

Implikacja

Funktor implikacji odczytujemy jako „jeżeli… to…”.

Implikacja jest funktorem szczególnym z tego względu, że jej wartość zależy nie tylko od wartości jej argumentów, ale także od ich kolejności. O pierwszym zdaniu składowym w konstrukcji implikacji mówimy, że jest jej poprzednikiem, a o zdaniu drugim, że jest jej następnikiem.

• Implikacja jest fałszywa tylko kiedy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

• Implikacja jest prawdziwa we wszystkich pozostałych przypadkach.

Przykłady:

Jeżeli dwa plus dwa równa się cztery, to dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Jeżeli dwa plus dwa równa się cztery, to dwa razy dwa równa się pięć. – FAŁSZ
Jeżeli dwa plus dwa równa się pięć to, dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Jeżeli dwa plus dwa równa się pięć to, dwa razy dwa równa się pięć. – PRAWDA

Równoważność

Funktor równoważności odczytujemy jako „wtedy i tylko wtedy, gdy”. W języku codziennym zwrot ten praktycznie nie występuje, zamiast tego korzysta się ze zwrotu "jeżeli... to...", który odpowiada implikacji. Równoważność ma bowiem te same właściwości co implikacja, tyle, że działająca w dwie strony.

• Równoważność jest prawdziwa kiedy zdania składowe mają takie same (równe) wartości logiczne.

• Równoważność jest fałszywa, kiedy zdania składowe mają inne (nierówne) wartości logiczne.

Przykłady:

Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy dwa razy dwa równa się cztery. – PRAWDA
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy dwa razy dwa równa się pięć. – FAŁSZ
Dwa plus dwa równa się pięć wtedy i tylko wtedy, gdy dwa razy dwa równa się cztery. – FAŁSZ
Dwa plus dwa równa się pięć wtedy i tylko wtedy, gdy dwa razy dwa równa się pięć. – PRAWDA

Podsumowanie

 Na koniec, wszystkie funktory dwuargumentowe w jednym miejscu.

 

Tautologia i kontrtautologia

Z funkcjami logicznymi i funktorami prawdziwościowymi wiążą się ściśle pojęcia tautologii i kontrtautologii.

Otóż tautologią nazywamy takie wyrażenie, które z racji swojej budowy zawsze jest prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej wchodzących w jego skład zmiennych. Z kolei kontrtautologią jest takie wyrażenie, które z racji swojej budowy zawsze jest fałszywe, niezależnie od wartości logicznej wchodzących w jego skład zmiennych.

Prostym przykładem tautologii jest na przykład wyrażenie „Idę, albo nie idę”, co w postaci funkcji logicznej zapisujemy jako p  ¬p . Zawsze idziesz, albo nie idziesz (leżysz, stoisz, siedisz itp). Zdanie to jest alternatywą rozłączną. Jeśli spojrzysz w tabelkę, zauważysz, że alternatywa rozłączna jest prawdziwa kiedy jeden z jej członów jest prawdziwy, a drugi fałszywy. W naszym przykładzie jeden człon jest zaprzeczeniem drugiego, zawsze zatem będzie tak, że jeden będzie miał wartość prawdziwą, a drugi fałszywą.

Z kolei przykładem kontrtautologii jest zdanie „Nieprawda, że idę, albo nie idę”, co w postaci funkcji logicznej zapisujemy jako ¬(p  ¬p). Zawsze gdzieś idziesz, albo nie idziesz, jeśli temu zaprzeczysz, otrzymasz kontrtautologię. Jak zauważyłeś, jest to negacja przytoczonej wyżej tautologii. Zaprzeczając tautologii (wyrażeniu zawsze prawdziwemu), otrzymamy kontr tautologię (wyrażenie zawsze fałszywe).

.