Zjazd 21.05.2011 r.

TEMAT POPRZEDNI: ELEMENTY ŁUKU KOŁOWEGO

Tyczenie odcinków krzywoliniowych (łuków kołowych i krzywych przejściowych) prowadzi się w dwóch etapach. W etapie pierwszym wyznacza się położenie głównych punktów odcinków krzywoliniowych wśród których występują następujące punkty: początek, środek i koniec łuku kołowego oraz początek i koniec krzywej przejściowej. W etapie drugim tyczy się: punkty pośrednie krzywych oraz punkty hektometrowe i charakterystyczne.

TEMAT 1: METODY TYCZENIA PUNKTÓW GŁÓWNYCH ŁUKU KOŁOWEGO-WIERZCHOŁEK W DOSTĘPNY

Jeżeli wierzchołek trasy W jest dostępny, pomierzony jest kąt β oraz sany jest promień łuku R, to metody wytyczenia punktów głównych łuku kołowego wpisanego w dwie proste o wierzchołku w punkcie W są następujące:

• Punkty P i K tyczy się odkładając od wierzchołka W obliczoną długość stycznej T:

$$\frac{T}{R} = tg\frac{\alpha}{2}$$

$$T = R*tg\frac{\alpha}{2}$$

• Punkt środkowy S można wytyczyć kilkoma metodami:

1. Odkładając z wierzchołka W połowę kąta β i odległość WS:

$$\frac{R}{\text{WO}} = cos\frac{\alpha}{2}$$

$$WO = \frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}}$$

$$WS + R = \frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}}$$

$$WS = \frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}} - R$$

1. Odkładając na cięciwie PK połowę jej długości i pod kątem prostym długość strzałki s:

s=R-BO

$$\frac{\text{BO}}{R} = cos\frac{\alpha}{2}$$

$$BO = Rcos\frac{\alpha}{2}$$

$$s = R - Rcos\frac{\alpha}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s = R(1 - cos\frac{\alpha}{2})$$

$$\frac{\frac{1}{2}\text{PK}}{R} = sin\frac{\alpha}{2}$$

$$\frac{1}{2}PK = Rsin\frac{\alpha}{2}$$

$$PK = 2Rsin\frac{\alpha}{2}$$

1. Odkładając od punktów P i K długość t1 wyznaczając w ten sposób wierzchołki W1 i W2 a następnie tą samą wielkość t1 odkładając na prostej W1W2:

$$\frac{t1}{R} = tg\frac{\alpha}{4}$$

$$t1 = Rtg\frac{\alpha}{4}$$

1. Odkładając od punktu P lub K wielkość Xs a następnie pod kątem prostym wielkość Ys

ys=s

$$ys = R(1 - cos\frac{\alpha}{2})$$

$$xs = \frac{1}{2}\text{PK}$$

$$xs = \frac{1}{2}2Rsin\frac{\alpha}{2}$$

$$xs = Rsin\frac{\alpha}{2}$$

TEMAT 1: METODY TYCZENIA PUNKTÓW GŁÓWNYCH ŁUKU KOŁOWEGO-WIERZCHOŁEK W NIE DOSTĘPNY

Ponieważ wierzchołek W jest niedostępny, wartość kąta β należy określić w sposób pośredni. W tym celu na kierunkach stycznych PW i KW należy w miejscach dostępnych obrać punkty A i B:

AP = T- AW, BK = T- BW

Mierzymy odległość B = AB oraz kąty δ₁ i δ₂ . W przypadku niemożliwości wycelowania na punkt W mierzymy dopełnienia kątów δ₁ i δ₂ do 200^g.

δ₁ + δ₂+β=200g

Β+α=200g

α=200g-β

δ₁ + δ₂+200g-α=200g

-α=200g-200g-δ₁ - δ₂

α = δ₁+ δ₂

Obliczenie miar do wyznaczenia punktów głównych łuku:

Miary do wyznaczenia początku P i końca K łuku:

AP = T - AW i BK = T - BW

styczna główna

Długości odcinków: AP i BK należy odmierzyć w kierunku sąsiednich wierzchołków trasy.

Środek łuku kołowego S wyznaczymy poprzez:

• odłożenie odciętej i rzędnej (od cięciwy PK lub od stycznej PA):

• lub odłożenie stycznej t1 od punktu P w kierunku A i od punktu K w kierunku B a następnie t1 na prostej W1 i W2

TEMAT 2: METODY TYCZENIA PUNKTÓW POŚREDNICH ŁUKU KOŁOWEGO

Szczegółowy przebieg łuku kołowego w terenie wyznaczają oprócz punktów głównych punkty pośrednie. Ilość punktów pośrednich zależy od długości łuku kołowego:

$$l = \frac{\alpha*R}{\rho}$$

• długość łuku kołowego możemy podzielić na równą ilość części, wtedy odcinki pomiędzy punktami pośrednimi będę sobie równe ale nie okrągłe, np. 10.58 m

• długość łuku kołowego możemy podzielić na równe, okrągłe odcinki, np. o długości Δł=5 m, wtedy jednak odcinek łuku pomiędzy ostatnim punktem pośrednim a punktem końcowym K będzie różny od pozostałych

Δ$l = \frac{2\varphi*R}{\rho}$

1. METODA ORTOGONALNA

• od stycznej łuku:

Miary do wyznaczenia punktów P_k metodą ortogonalną:

miary bieżące (odcięte)

domiary (rzędne)

Obliczenie kąta dla równych odcinków łuku:

• od cięciwy PK:

x_i = c_i cosγ_i

y_i = c_i sinγ_i

Długość cięciwy c_i określa wzór:

$$\frac{c_{i}}{2} = Rsin\frac{\text{αi}}{2}$$

$$ci = 2Rsin\frac{\text{αi}}{2}$$

$$\gamma i = \frac{{\alpha - \alpha}_{i}}{2}$$

1. METODA BIEGUNOWA

W celu wyznaczenia punktów pośrednich na łuku należy mieć dany promień łuku R, określone położenie punktów P i K oraz kierunek stycznej głównej (PW, KW lub PA, KB). Teodolit ustawiamy na punkcie początkowym P lub końcowym K i limbus orientujemy w taki sposób, żeby odczyt na kierunku stycznej wynosił 0. Dla przyjętej długości łuku L oblicza się długości kolejnych cięciw c1, c2 i c3

• od stycznej łuku (BIEGUN W PUNKCIE P LUB K):

Miary do wyznaczenia punktów P_k metodą biegunową od stycznej łuku:

kąty biegunowe, gdzie k kolejny numer punktu (1,2…)

c odległości biegunowe

c1=2Rsinϕ

c2=2Rsin2ϕ

c3=2Rsin3ϕ

np. punkt 6 tyczymy miarami:

ϕ6=6*ϕ1

$$\phi 6 = \frac{\propto 6}{2}$$

c6=2Rsin ϕ6

• metoda wieloboku wpisanego (biegun w kolejno tyczonych punktach):

W warunkach ograniczonej przestrzeni budowy, zwłaszcza w budownictwie tunelowym, stanowiska instrumentu sytuowane będą na kolejno zrealizowanych punktach pośrednich. Tyczenie z bieguna Qi polega na odłożeniu od przedłużonej cięciwy Qi-1, Qi kąta środkowego 2ϕ i odległości c. Ten sposób tyczenia określa się jako metodę wieloboku wpisanego lub poligonu wpisanego.

$\phi 6 = \frac{\propto 6}{2}$ c=2Rsinϕ

• od punktów istniejącej osnowy geodezyjnej

Stanowiskami instrumentu w metodzie biegunowej mogą być również punkty istniejącej osnowy geodezyjnej lub też inne punkty dowiązane do tej osnowy na przykład metodą wcięcia wstecz. Przygotowanie danych do tyczenia punktów prowadzi się w tym przypadku w oparciu o współrzędne punktów osnowy i współrzędne punktów pośrednich łuku kołowego, obliczone wcześniej w procesie geodezyjnego opracowania projektu technicznego trasy. Wewnętrzne oprogramowanie tachimetrów elektronicznych umożliwia wykonanie wszystkich czynności obliczeniowych i tyczeniowych bezpośrednio w terenie. Najczęściej korzysta się w takich przypadkach z metody swobodnego stanowiska.

1. METODA WCIĘĆ KĄTOWYCH

Tyczenie punktów pośrednich łuku kołowego można wykonać metodą wcięć kątowych przy użyciu dwóch teodolitów ustawionych w punktach P i K. Jeśli położenie punktu Qi na łuku kołowym określają kąty środkowe 2ϕi oraz 2ψi odpowiadające długościom łuków PQi oraz KQi to punkt Qi można wytyczyć odkładając od stycznych głównych PW i KW lub od cięciwy PK kąty ϕi oraz ψi.

Położenie punktu Qi uzyskuje się również przez odłożenie tego samego kąta ϕi od stycznej głównej w punkcie P i od cięciwy głównej w punkcie K, lub odpowiednio kąta ψi od stycznej głównej w punkcie K i od cięciwy głównej w punkcie P. Przy niedostępności stycznych głównych każdy punkt pośredni Qi można wytyczyć odkładając od cięciwy PK kąt $(\frac{\alpha}{2} - \varphi i)$w punkcie P oraz kąt ϕi w punkcie K lub odpowiednio $(\frac{\alpha}{2} - \psi i)$ w punkcie K oraz ψi w punkcie P.

1. METODA SIECZNYCH (OD PRZEDŁUŻONEJ CIĘCIWY LUB ANGIELSKA)

Obliczamy odcinki x1, y1, x2, y2 itd. Od punktu P odkładamy odległość x1, i otrzymujemy punkt A, następnie z tego punktu pod kątem prostym odkładamy odległość y1. Na kierunku przedłużonej cięciwy P-1 odkładamy odległość x2, i od otrzymanego w ten sposób punktu odkładamy pod kątem prostym odległość y2.

C=2Rsinφ

X1=c*cosφ x2=c*cos2φ x3=c*cos3φ

Y1=c*sinφ y2=c*sin2φ y3=c*sin3φ

TEMAT 3: KLOTOIDA JAKO PRZYKŁAD KRZYWEJ PRZEJŚCIOWEJ

W celu zabezpieczenia bezpieczeństwa i płynności poruszania się pojazdów na drogach w miejscach łączenia prostoliniowych odcinków trasy z łukami kołowymi, a także w miejscach łączenia dwóch łuków kołowych wprowadza się t. zw. krzywe przejściowe. Są to zazwyczaj odcinki krzywych o krzywiźnie zmieniającej się proporcjonalnie do długości łuku i zapewniające płynne przejście z prostej do łuku kołowego, lub z jednego łuku o krzywiźnie $k = \frac{1}{R1}$ do łuku o krzywiźnie $k = \frac{1}{R2}$.

Krzywa przejściowa służy również do stopniowego wprowadzania poprzecznej przechyłki trasy od wartości zerowej na odcinku prostym do wartości h na łuku kołowym.

Krzywe przejściowe znajdują ponadto zastosowanie w pracach związanych z regulacją rzek. Umożliwiają one bowiem projektowanie nowego przebiegu cieku z zachowaniem krzywizn występujących w naturalnych korytach.

Z pośród różnorodnych krzywych przejściowych do projektowania tras najczęściej stosuje się klotoidę i parabolę sześcienną.

Klotoida jest krzywą, która na całej swej długości charakteryzuje się krzywizną rosnącą proporcjonalnie do długości łuku zawartego pomiędzy punktem stałym o krzywiźnie zerowej, a rozpatrywanym punktem na krzywej.

Ten warunek proporcjonalności krzywizny do długości łuku ujmuje równanie parametryczne:

L=a²*k

gdzie a2 jest współczynnikiem proporcjonalności. Zgodnie z definicją pomiędzy krzywizną k a promieniem krzywej R zachodzi zależność:

$$k = \frac{1}{R}$$

i otrzymujemy niezależne od układu współrzędnych równanie naturalne klotoidy:

LR=a²

τ - kąt zwrotu między styczną w dowolnym punkcie klotoidy a osią X

$\tau = \frac{L^{2}}{{2a}^{2}}$ lub $\tau = \frac{L}{2R}$

$$R = \frac{L}{2\tau}$$

Do wytyczenia klotoidy w terenie trzeba jej równanie naturalne (258) wyrazić we współrzędnych prostokątnych:

$$X = L - \frac{L^{5}}{40a^{4}} + \frac{L^{9}}{{3456a}^{8}} + \ldots$$

$$Y = \frac{L^{3}}{{6a}^{2}} - \frac{L^{7}}{{336a}^{6}} + \frac{L^{11}}{{42240a}^{10}} + \ldots$$

Równanie opisuje klotoidę w ustalonym układzie współrzędnych o początku (X = 0, Y = 0) umieszczonym w punkcie przegięcia krzywej (L=0), w którym τ=0 oraz R=∞. W punkcie tym klotoida jest styczna do osi X.

Podstawowe elementy geometryczne charakteryzujące położenie punktów głównych klotoidy wyznacza się w układzie współrzędnych prostokątnych OXY. Początek tego układu pokrywa się z punktem przegięcia klotoidy, zaś osią X jest styczna główna klotoidy w tym punkcie.

Odcięta Xs środka koła

Xs = X-Rsinτ

Rzędna Ys środka koła

Ys=R+H lub Ys=Y+Rcosτ

Odsunięcie H łuku kołowego od stycznej głównej

H=Y-R(1-cosτ)

Długość stycznej głównej

T=X+Ytgτ

Styczna długa

T_D=X-Yctgτ

Styczna krótka

T_K=$\frac{Y}{\text{sinτ}}$

Normalna

N=$\frac{Y}{\text{cosτ}}$

Podstyczna

U=Yctgτ

Podnormalna

V=Ytgτ