Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych	Marek Fac
Jakość Energii Elektrycznej - Laboratorium
Temat ćwiczenia: Pasywne filtry wyższych harmonicznych
Data wykonania: 18 maja 2011	Data zaliczenia:	Ocena:

1. Zadanie projektowe

Należy dobrać elementy filtru pokazanego na poniższym schemacie dla kompensacji mocy biernej Q = 10 MVar oraz filtracji harmonicznej rzędu n=5. Filtr pracuje przy napięciu U=30 kV; f₁=50Hz.

	Dany filtr rozpatruje się pod dwoma kątami: kompensacji mocy biernej dla 1. harmonicznej filtracji 5. harmonicznej Z punktu widzenia 1. harmonicznej dwójnik L2C2 ma stanowić zwarcie dla rezystora, z czego wynika zależność na indukcyjność L2: $$\mathbf{L}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}$$ kondensator C1 ma za zadanie kompensować moc bierną: $$\mathbf{C}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{Q}}{\mathbf{U}^{\mathbf{2}}\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{30}^{\mathbf{2}}\mathbf{*2}\mathbf{\pi*50}}\mathbf{=}\mathbf{35}\mathbf{,}\mathbf{368}\mathbf{\ }\mathbf{\text{μF}}$$ Celem przeprowadzenia dalszych obliczeń dla 5. harmonicznej należy rozpisać impedancję zespoloną filtru:
$$\left( \mathbf{\omega} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{j}}{\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{1}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{j}\left( \frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{*}\mathbf{R}}{\mathbf{j}\left( \frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{+}\mathbf{R}}$$ Dla ułatwienia dalszych przekształceń wprowadza się wyrażenie $$\mathbf{A}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\omega}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}^{}}$$ powstałe po sprowadzeniu do wspólnego mianownika elementów różnicy w liczniku i mianowniku. Eliminując z mianownika operator urojony a nastepnie sprowadzając do wspólnego mianowika całe wyrażenie na impedancję otrzymuje się: $$\left( \mathbf{\omega} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{R}\mathbf{+}\mathbf{j}\left( \mathbf{A}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{A}^{\mathbf{2}} \right)}{\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{1}}\left( \mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\mathbf{A}^{\mathbf{2}} \right)}$$ Aby impedancja była równa zeru, zerować się musi część rzeczywista (1) i urojona (2) Biorąc pod uwagę (2) i skupiając się chwilowo na samym liczniku otrzymujemy: $$\mathbf{R}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{1}}}$$ i wstawiając R do wzoru Re{ZF} = 0 (tym razem uwzględniając mianownik tegoż wyrażenia) otrzymujemy: $$\mathbf{\text{Re}}\left\{ {}_{\mathbf{F}} \right\}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{R}}{\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{1}}\left( \mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\mathbf{A}^{\mathbf{2}} \right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{\omega}\mathbf{C}_{\mathbf{1}}\sqrt{\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{1}}}$$ co daje nam zależność: Re{ZF} -> 0 A -> 1^+ Dla 5. harmonicznej zachodzi: $$\mathbf{A}\mathbf{=}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{5}\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}$$ więc: A -> 1^+ C2 ≤ 15279 [µF] $\mathbf{R}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{1}}}\mathbf{\rightarrow}\mathbf{\infty}$ Następnie: $$\mathbf{L}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}\mathbf{= 0,663\ \lbrack}\mathbf{\text{mH}}\mathbf{\rbrack}$$ przyjmuję R=1000 [Ω]
podsumowanie wyników: C1 = 35,4 µF C2 = 15279 µF L2 = 0,663 mH R=1000 Ω Rys.5. Charakterystyka impedancyjna filtra dla 2 wartości rezystancji tłumiącej

1. Wnioski z symulacji w Matlabie

Zgodnie z wyprowadzonymi wzorami dla warunku filtracji rezystora mogłoby w ogóle nie być, jednak ze względu na pełnioną funkcję (podpunkt 2.c) przyjęto R=1000 Ω, co dało Z_F(ω=5ω₁) = 18 mΩ (większe wartości R prowadziły do Z_F≈0). Jak widać na powyższej charakterystyce dla R=5Ω: Z_F(ω=5ω₁) =3,527Ω i jej wzrost jest wolniejszy; R=1Ω: ch-ka rozmyła się, nie widać żadnego minimum.

kod programu:

c1=3.54*10^-5;

c2=.015279;

l2=6.63*10^-4;

w1=100*pi;

f=45:0.5:1200;

w=f*2*pi;

A=(w.^2-w1^2)./(w*c2*w1^2);

r=1000;

m=(w*c1.*(r.^2 + A.^2));

Z=( j*(A.*r.^2 - r.^2 - A.^2) + ((A.^2).*r))./m;

plot(f,abs(Z))

hold on

r=5;

m=(w*c1.*(r.^2 + A.^2));

Z=( j*(A.*r.^2 - r.^2 - A.^2) + ((A.^2).*r))./m;

plot(f,abs(Z))

legend('R=1000','R=5')