Sterowanie i układy regulacji

Sterowanie – oddziaływanie na obiekt w taki sposób, aby osiągnąć określony cel. Sterowanie nie wiąże się bezpośrednio z wydatkiem energii. Związane jest natomiast z informacją (sygnałem). Efekt sterowania wiąże się ze zmianą energii, czyli ze zmianą stanu obiektu.

Obiekt sterowania – obiekt, na który oddziałujemy.

Układ regulacji:

- element porównujący, sumator,

- regulator (R),

- obiekt regulacji (OR),

- element wykonawczy (EW),

- element pomiarowy (EP),

Przykład: silnik, zawór – element wykonawczy; czujnik, przetwornik – element pomiarowy.

Podział układów regulacji:

- liniowe, opisywane za pomocą równań liniowych, algebraicznych, całkowych,

- nieliniowe, przynajmniej jeden element układu jest nieliniowy; praktycznie każdy układ jest nieliniowy, jednak na potrzeby automatyki zakłada się jego liniowość.

Podział układów regulacji na charakter sygnału:

- ciągłe, zarówno sygnał wejściowy jak i wyjściowy jest funkcją ciągłą w czasie i może przybierać różne wartości z obszaru swojej zmienności. Opisywane za pomocą równań różniczkowe. Związane z sygnałami analogowymi.

- dyskretne, sygnał przyjmuje tylko i wyłącznie określone wartości dla określonych elementów. Sygnały cyfrowe, opisywane za pomocą równań różnicowych (odpowiednik dyskretny równania różniczkowego).

- hybrydowe, mają cechy układów ciągłych i dyskretnych.

Kwantyzacja – zamiana sygnału ciągłego na dyskretny (próbkowanie)

Podział układów regulacji na charakter czasowy:

- stacjonarne, parametry układu nie ulegają zmianie w czasie,

- niestacjonarne, odwrotność powyższego,

Równania stanu

Interakcje – oddziaływanie wielkości wejściowej na więcej niż jedną wielkość wyjściową.

Równania różniczkowe n-tego rzędu mogą być zdekomponowane na n równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Równania wektorowo-macierzowe

Dla układu liniowego, stacjonarnego, równania dynamiczne są zapisywane jako równania wektorowo-macierzowe.

$\frac{\text{dx}\left( t \right)}{\text{dt}} = Ax\left( t \right) + Bn\left( t \right)$ równanie stanu

Ax(t) – macierz stanu, Bn(t) – wektor wejścia

y(t) = Cx(t) + Dn(t) równanie wyjścia

Cx(t) – macierz wyjścia, Dn(t) – wektor sprzężenia bezpośredniego,

x(t) – wektor stanu (n x 1), u(t) – wektor wejścia (p x 1), y(t) – wektor wyjściowy (q x 1), n – liczba stanów, p – liczba wejść, q – liczba wyjść

$x\left( t \right) = \begin{bmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n}(t) \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$; $u\left( t \right) = \begin{bmatrix} u_{1}(t) \\ u_{2}(t) \\ \begin{matrix} \vdots \\ u_{n}(t) \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ ; $y\left( t \right) = \begin{bmatrix} y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ \begin{matrix} \vdots \\ y_{n}(t) \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Macierz stanu (n x n); Macierz stanu (n x p)

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \begin{matrix} a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ \end{matrix} \\ a_{21} & a_{22} & \begin{matrix} a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{31} \\ \vdots \\ a_{n1} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} a_{32} \\ \vdots \\ a_{n2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} a_{33} \\ \vdots \\ a_{n3} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ \ddots \\ \cdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} a_{3n} \\ \vdots \\ a_{\text{nn}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$; $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \begin{matrix} b_{13} & \cdots & b_{1p} \\ \end{matrix} \\ b_{21} & b_{22} & \begin{matrix} b_{23} & \cdots & b_{2p} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{31} \\ \vdots \\ b_{n1} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} b_{32} \\ \vdots \\ b_{n2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} b_{33} \\ \vdots \\ b_{n3} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ \ddots \\ \cdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} b_{3p} \\ \vdots \\ b_{\text{np}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Macierz stanu (q x n); Macierz stanu (q x p)

$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \begin{matrix} c_{13} & \cdots & c_{1n} \\ \end{matrix} \\ c_{21} & c_{22} & \begin{matrix} c_{23} & \cdots & c_{2n} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{31} \\ \vdots \\ c_{q1} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} c_{32} \\ \vdots \\ c_{q2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} c_{33} \\ \vdots \\ c_{q3} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ \ddots \\ \cdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} c_{3n} \\ \vdots \\ c_{\text{qn}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$; $D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & \begin{matrix} d_{13} & \cdots & d_{1p} \\ \end{matrix} \\ d_{21} & d_{22} & \begin{matrix} d_{23} & \cdots & d_{2p} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} d_{31} \\ \vdots \\ d_{q1} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} d_{32} \\ \vdots \\ d_{q2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} d_{33} \\ \vdots \\ d_{q3} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ \ddots \\ \cdots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} d_{3p} \\ \vdots \\ d_{\text{qp}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Równanie stanu – sposób na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego (UAE – układ automatycznej regulacji).

Opis za pomocą równań stanu – opis w przestrzeni stanu, inaczej model zmiennych stanów.

Schemat blokowy równań stanu dla układu ciągłego:

∫ (całka) – element magazynujący (integrator), człon całkujący, np. sprężyna, kondensator.

Modelowanie – matematyczny opis zachowania się elementów automatyki i obiektów regulacji.

Analiza działania – określa, jak przez dany układ przechodzą różne sygnały.

Synteza działania w układzie regulacji – określenie struktury i parametrów regulatora.

Równanie dynamiki, równanie różniczkowe, zależność pomiędzy wejściowymi i wyjściowymi sygnałami.

$$\frac{a_{n} \bullet d^{n}y}{dt^{n}} + a_{n} - 1 \bullet \frac{d^{n - 1}y}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_{0}y = \frac{b_{n} \bullet d^{n}x}{dt^{x}} + b_{n} - 1 \bullet \frac{d^{n - 1}x}{dt^{n - 1}} + \ldots + b_{0}x$$

n ≥ m

Proces – zjawisko bądź też kompleks zjawisk, który ma na celu realizację określonych zadań.

Sygnał wejściowy – sygnał, którego przebieg wpływa na przebieg procesu.

Sygnał wyjściowy – przebieg tego sygnału określa przebieg procesu.

Sygnał sterujący – sygnał wejściowy, który można zmienić w sposób ustalony.

Sygnał zakłócający – sygnał wejściowy, na który (teoretycznie) nie mamy wpływu).

Regulator – urządzenie przetwarzające sygnał błędu na sygnał sterujący.

Podział obiektów automatyki ze względu na rodzaj energii zasilającej:

- elektryczne (na plus: duży wybór elementów, łatwy dostęp do energii elektrycznej, łatwość przesyłania informacji; na minus: ciężkie i bezwładne człony wykonawcze, skomplikowana budowa),

- hydrauliczne (na plus: smarowanie i ochrona, duża moc, duża niezawodność; na minus: ograniczona odległość przesyłania sygnałów, ciężkie przewody sygnałowe, konieczność uszczelniania instalacji, zagrożenie wybuchem/pożarem),

- pneumatyczne (na plus: zasilane sprężonym powietrzem; na minus: wolne, duże, często ulegają awarii, ograniczone przesyłanie sygnałów).

Dynamika układu – własności układu zdeterminowane są przez zbiorniki energii lub masy w układzie automatyki.

Stan ustalony – zbiorniki energii lub masy są napełnione w układzie. Stały poziom sygnału na wyjściu.

Budowa modelu matematycznego.

1. Określenie granic układu, którym się interesujemy.

2. Określenie związków układu z otoczeniem: więzy, sygnały wejściowe.

3. Wybór zmiennych fizycznych (sygnałów), które występują w układzie.

1. Zmienne przepływu: np. prąd płynący przez rezystor, ciecz płynąca przez rurociąg,

2. Zmienne spadku: np. różnica potencjałów na dwóch końcach rezystora, spadek ciśnienia po obu stronach rurociągu,

1. Napisanie równań określających zachowanie

1. bilansowe: określa równowagę układu, dotyczy zmiennych przepływu,

2. spójności: określa zależności występujące pomiędzy zachowaniem się poszczególnych elementów układu.

1. Uwzględnienie zależności fizycznych (praw fizyki).

MODEL DLA SILNIKA – SCHEMAT !!!!!!!!!!!!!!

Transmitancja operatorowa.

G(s) – stosunek transformaty Laplace’a sygnału wejściowego do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

Transformata Laplace’a – narzędzie matematyczne służące do rozwiązywania liniowych różniczkowych równań zwyczajowych. Obraz pewnej funkcji czasowej f(t) uzyskany przez transformację Laplace’a. Wylicza się to poprzez całkę:

F(s) = ∫₀^∞e^−stf(t)dt

f(t) ∈ R;    F(s) ∈ C;    s = δ + jω

Bardzo ważny związek matematyczny używany w automatyce. Transmitancja model matematyczny używany w automatyce.

Liniowy stacjonarny układ definiuje następujące równanie różniczkowe:

$$\frac{a_{n} \bullet d^{n}y}{dt^{n}} + a_{n} - 1 \bullet \frac{d^{n - 1}y}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_{0}y = \frac{b_{n} \bullet d^{n}x}{dt^{x}} + b_{n} - 1 \bullet \frac{d^{n - 1}x}{dt^{n - 1}} + \ldots + b_{0}x$$

(a_n•sⁿ+a_n − 1•s^n − 1+...+a₀)Y(s)=(b_m•s^m+b_m − 1•s^m − 1+...+b₀)X(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_{m} \bullet s^{m} + b_{m - 1} \bullet s^{m - 1} + ... + b_{0}}{a_{n} \bullet s^{n} + a_{n - 1} \bullet s^{n - 1} + ... + a_{0}}\backslash n$$

PRZYKŁADY / ZADANIA !!!!!!!!!!

Człon – podstawowy element mechanizmu, dla którego określono sygnał wejścia i wyjścia. Żeby opisać człony, trzeba znać podstawowe równania – prawa (w oparciu o zależności fizyczne i matematyczne).

1. Człon proporcjonalny – bezinercyjny (bez władności)

y(t) = k • x(t)

k – współczynnik wzmocnienia/współczynnik proporcjonalności.

Przykłady: dzielnik napięcia jest najczęściej opisywanym członem, dźwignia i występujące w niej przesunięcie, w pneumatycznych układach człon proporcjonalny to przesunięcie.

1. Człon całkujący – bezinercyjny.

$$T \bullet \frac{d_{y}\left( t \right)}{\text{dt}} = x\left( t \right);\ \ \ lub\ \frac{d_{y}\left( t \right)}{\text{dt}} = k \bullet x(t)\ $$

T – stała czasowa/czas wzmocnienia,

k – prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu,

Przykłady: licznik odległości.

1. Człon inercyjny 1 rzędu: człon, w którym transmitancja G(s) ma postać:

$$G\left( s \right) = \frac{K}{1 + T \bullet s}$$

$$T \bullet \frac{d_{y}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = K \bullet x(t)$$

T – stała czasowa/czas wzmocnienia,

k – prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu,

Przykłady: w elektryce jako układ RC i układ LR, w mechanice przykładem jest moment, czyli prędkość obrotowa, w pneumatyce to ciśnienie powietrza.

1. Człon różniczkujący – idealny

$$y\left( t \right) = k \bullet \frac{d_{x}(t)}{\text{dt}}$$

Przykłady: w elektryce idealny kondensator:

$$i\left( t \right) = C \bullet \frac{d_{u}(t)}{\text{dt}}$$

1. Człon różniczkujący – rzeczywisty

$$\frac{T_{D}}{K_{D}} \bullet \frac{d_{y}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = T_{D} \bullet \frac{d_{x}(t)}{\text{dt}}$$

T_D – stała czasowa różniczkowana

K_D – dynamiczny współczynnik wzmocnienia członu

Przykłady: w elektryce układ CR oraz RL, w układach pneumatycznych przesunięcie.

1. Człon oscylacyjny – 2 rzędu.

$$T^{2} \bullet \frac{d^{2}y\left( t \right)}{dt^{2}} + 2 \bullet \varepsilon \bullet T \bullet \frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = k \bullet x(t)$$

T – okres oscylacji własnych członu,

Epsilon – względny współczynnik tłumienia 0 < Epsilon < 1

k – współczynnik wzmocnienia członu

Przykłady: w elektryce układ RLC, w mechanice sprężyna, tłumik, przesunięcie.

1. Człon opóźniający.

y(t) = k • 1(t − τ)•x(t − τ)

1 – funkcja Heavisede’a

K – współczynnik wzmocnienia

$$H\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ dla\ x < 0 \\ 1\ \ \ dla\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Tau – czas opóźnienia

Przykłady: w mechanice są to złożone układy mechaniczne,

W elektryce: schemat