I. Wartość pieniądza w czasie
Ustalenie wartości wyjściowej
w
X = 1 + r
x – wartość przed zmianą procentową
w – wartość po zmianie
r – zmiana procentowa
Zad. 1/ Jaka była cena towaru jeżeli po 25% podwyżce kosztuje 800 zł.?
800 800 800
X = 1 + 25% = 1 + 0,25 = 1,25 = 640
Zad. 2/ Jaka była cena towaru jeżeli po uzyskaniu 15% rabatu nabywca zapłacił 4 131 zł.?
4131 4131 4131
X = 1 - 15% = 1 - 0,15 = 0,85 = 4860
II. Oprocentowanie proste 100% 120%
140%
160%
Kn = K0 (1 + r . n)
Kn – wartość przyszła
K0 – wartość początkowa
r – oprocentowanie
n – liczba lat
Zad 1/ Jaką kwotę uzyskamy wpłacając na okres 13 lat 2500 zł. jeżeli oprocentowanie proste lokaty wynosi 4% ?
Kn = 2500 (1 + 4% . 13)
Kn = 2500 (1 + 0,04. 13)
Kn = 2500 (1,52) = 3800
Kn
K0 = 1 + r . n
Zad. 2/
Jaką kwotę należy wpłaci, aby po 4 latach i oprocentowaniu prostym 5,5% uzyskać 12000 zł.?
12000 12000
K0 = 1 + 5,5% . 4 = (1+ 0,055 . 4) = 9 836,066
Wzór na oprocentowanie
Kn
K0 = 1 + r . n
Kn
K0 - 1 = r . n
Kn 1
K0 - 1 n = r
Zad 1/ Jakie było oprocentowanie proste lokaty jeżeli kapitał początkowy wzrósł po 5 latach dwukrotnie ?
2x 1 1
r = x - 1 5 = (2-1) . 5 = 20%
a teraz dla liczby lat
Kn 1
K0 - 1 r = n
Zad 2/ Na ile lat złożono 2500 zł. jeżeli przy oprocentowaniu prostym 4% uzyskano 6000 ?
6000 1 1 1,4
n = 2500 - 1 0,04 = (2,4-1) 0,04 = 0,04 = 35
III. Oprocentowanie składane – występuje wtedy kapitalizacja odsetek
FV = PV (1 + r)n
FV – wartość przyszła
PV – wartość obecna (początkowa)
r – oprocentowanie
n – liczba lat
Zad. 1/ Jaką kwotę uzyskamy wpłacając na 3 lata 5000 jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 7%
FV = 5000 (1 + 0,07)3 = 6 125,215
Wartość obecna
FV
PV = (1+r)n
Zad. 2/
Jaką kwotę należy wpłacić, aby po 4 latach i oprocentowaniu 5% uzyskać 2000 zł.?
2000 2000 2000
PV = (1+0,05)4 = (1,05) 4 = 1,21550625 = 1 645,405
Kapitalizacja w różnych okresach
r n . a
FV = PV 1+
a
a - ilość kapitalizacji przypadająca na 1 rok
Zad. 3/ Obliczyć kwotę zgromadzoną na koncie po 2 latach jeżeli oprocentowanie lokaty wynosiło 6%. Kapitalizacja była półroczna, a wpłacana kwota 8000.
0,06 4 1,06 4
FV = 8000 1 + 2 = 8000 2 = 8000 (1,03)4 = 8000 . 1,13 = 9040
FV
PV = n . a
r
1 + a
Zad. 4/
Jaką kwotę należy wpłacić, aby przy oprocentowaniu 5% i kapitalizacji co 20 lat po 40 latach zgromadzić 5000 zł. ?
5000 5000
PV = 40 . 0,05 = PV 4 = 1250
0,05
1 +0,05
Regularne płatności :
1/ Wpłaty dokonywane są na początku lub na końcu rocznego okresu
(okres roczny – rozpoczyna się w dowolnym dniu roku).
2/ Wielkość wpłat jest jednakowa.
3/ Oprocentowanie jest stałe, a kapitalizacja roczna.
I PMT PMT PMT II PMT PMT PMT
P P
V P V FV
A V A
A
1/ Wpłaty dokonywane na początku roku :
(1 + r) n+1 - (1 + r)
FVA = PMT . r
FVA – wartość przyszła
PMT- wartość jednorazowej wpłaty
r- oprocentowanie
n- liczba lat
Zad. 1/ Jaką kwotę zgromadzimy wpłacając przez 4 lata na początku każdego roku
1 000,00 zł. , jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 20%.
(1 + 0,2) 5 - (1 + 0,2)
FVA = 10000 . 0,2
(1,2) 5 - (1,2) 2,49 – 1,2 1,29 1290
FVA = 10000 . 0,2 = 0,2 =1000 . 0,2 = 0,2 = 6450,00 zł.
Spr. 1000 1000 1000 1000
FV = PV (1+r) n
2073,60 FV = 1000 . (1,2) 4
1728 FV = 1000 . (1,2) 3
1440 FV = 1000 . (1,2) 2
1200 FV = 1000 . (1,2) 1
6441,60
FVA . r
PMT = (1+r) n+1 – (1+r)
PMT < FVA
FVA musi być większe. Równe, gdy nie ma oprocentowania
Zad. 2/ Jaką kwotę należy wpłacać przez 4 lata na początku każdego roku, aby przy
oprocentowaniu 7,2% uzyskać 20 000 zł.?
20 000 . 0,072 1440 1440 1440
PMT = (1+0,072) 4+1 – (1+0,072) = (1,072)5 – (1,072) = 1,42-1,072 = 0,35 = 4114,29
2/ Wartość obecna PVA
FVA (1 + r) n+1 - (1 + r)
PVA = (1+r) n = PMT r (1 + r) n
Zad. 3/ Obliczyć obecną wartość 4 wpłat dokonanych na początku każdego roku w wysokości
5 000 zł. jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 4,6%.
(1 + 0,046)5-(1 + 0,046) (1,046)5-1,046 1,252 – 1,046 0,206
PVA= 5000 0,046 (1 + 0,046) 4 = 5000 0,046 (1,046)4 = 5000 0,046 . 1,197= 5000 0,055=18 727,27
(Powinno wyjść 18 718 zł. – gdy wyliczymy na kalk. bez zaokrągleń, ale wpisując do zad. wartość do 3 miejsc po przecinku)
PVA < PMT < FVA
3/ Wpłaty na koniec roku
(1 + r) n - 1
FVA = PMT r
Zad. 4/
Jaką kwotę uzyskamy wpłacając przez 4 lata na końcu każdego roku 3 000 zł., jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 10%.
(1 + 0,10) 4 – 1 (1,1)4– 1 1,464 – 1 0,464 1392
FVA = 3000 0,10 = 3000 0,1 = 3000 0,1 =3000 0,1 = 0,1 = 13 920 zł.
Spr. 3000 3000 3000 3000
FV = PV (1+r) n
3993 FV = 3000 . (1,1) 3
3630 FV = 3000 . (1,1) 2
3300 FV = 3000 . (1,1) 1
3000
13923
FVA . r
PMT= (1 + r) n - 1
Zad 5/
Jaką kwotę należy wpłacać przez 4 lata na końcu każdego roku, aby przy oprocentowaniu
10,3% uzyskać 40 000 zł.?
40000 . 0,103 4120 4120 4120
PMT= (1 + 0,103)4 - 1 = (1,103) 4- 1 = 1,480 – 1 = 0,48 = 8583,33 zł.
FVA (1 + r)n - 1
PVA = (1+r) n = PMT r (1 + r) n
Zad. 6/
Jaką kwotę należy wpłacić, aby przez kolejne 5 lat móc wypłacać na końcu każdego roku 4000 zł., jeżeli oprocentowanie lokaty wynosi 6,8% ?
(1 + 1,068)5 - 1 (1,068)5 – 1 1,389 – 1 0,389
PVA = 4000 0,068 (1 + 0,068)5 = 4000 0,068 (1,068)5 = 4000 0,068 . 1,389 = 4000 0,094 =
1556
= 0,094 = 16 553,19 zł.
Dyskonto weksla
d . t
K = S 1 365
K – kwota zdyskontowana , czyli kwota którą uzyskamy przy oddaniu weksla
S – suma wekslowa (wartość nominalna – kwota na którą weksel był wystawiony)
d – stopa dyskontowa stosowana przez bank
t – czas w dniach do wykupu weksla
Zad. 1/ Jaką kwotę uzyska przedsiębiorstwo oddają do dyskonta weksel o wartości 12 000
i terminie wykupu 17 dni jeżeli bank stosuje stopę dyskontową = 20% ?
Liczyć bardzo dokładnie – do 7,8 miejsc po przecinku!
I sposób
0,20 . 17 3,4
K = 12 000 ( 1 - 365 ) = 12 000 ( 1 - 365) = 12 000 ( 1 – 0,00931506) =
= 12 000 . 0,990684932 = 11 888,22
II sposób - wtedy liczymy do 2 miejsc po przecinku
S . d . t 12 000 . 0,20 . 17 40 800
O = 365 = 365 = 365 = 111,78
K = S – O = 12 000 – 111,78 = 11 888,22
Wzór na wartość pośrednią
Ws – Wk 60 - 30
Stopa zwrotu z inwestycji Wk np. Wk = 30, Ws = 60 60 = 1
Ws – wartość sprzedaży
Wk – wartość kupna
Ws – Wk 365
R = Wk . t
R – rentowność weksla w skali roku
Rzeczywisty koszt kredytu wekslowego dla przedsiębiorstwa, a dla banku to rentowność weksla.
12 000 – 11 888,22 365 111,78 365 40799,7
R = 11 888,22 . 17 = 11 888,22 . 17 = 202 099,74 = 0,20187 (tak zaokrąglać!)
Wycena obligacji
K1 + K2 + + Kn + Wn
Co =(1+YTM)1 (1+YTM)2 ……… (1+YTM)n (1+YTM)n
Co – cena obligacji
K1, K2, Kn – odsetki od obligacji ,kupony czas w latach do wykupu obligacji
Wn – wartość nominalna
YTM – wymagana stopa zwrotu inwestora (może być rynkowa stopa %)
n –czas w latach do wykupu obligacji
Co = $\frac{K_{1}}{(1 + YTM)}$ + $\frac{K_{2}}{(1 + YTM)}$ +$\frac{K_{n}}{{(1 + YTM)}^{n}}$ +$\frac{W_{n}}{{(1 + YTM)}^{n}}$
Zad.
Obliczyć cenę obligacji czteroletniej o wartości nominalnej 8000 zł i oprocentowaniu 7,5%, jeżeli wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 10 %
K= 600 , bo jest to stałe oprocentowanie ⇒ 8000 • 7,5% = 600
Co= $\frac{600}{{(1 + 0,1)}^{1}}$ + $\frac{600}{{(1 + 0,1)}^{2}}$ + $\frac{600}{{(1 + 0,1)}^{3}}$ +$\frac{600}{{(1 + 0,1)}^{4}}$ +$\frac{8000}{{(1 + 0,1)}^{4}}$ = 7366,03
Obligacje zerokuponowe do poprzednich zadań.
Obligacja ta musi być sprzedawana z dyskontem , bo inaczej inwestor by nic nie zarobił.
Zad.
Obliczyć cenę obligacji 35 letniej o wartości nominalnej 6000 i oprocentowaniu 5%, jeżeli wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 7%.
Kupon %% , czyli 300 ł
Z tablic na FV
$\frac{6000}{{\ (1,07)}^{35}}$ = $\frac{6000}{10,6766}$ = 561,9767
Lub PV
$\frac{6000}{{\ (1,07)}^{35}}$ = 562,2
PVA =PMT $\frac{{(1 + r)}^{\text{n\ }} - \ 1}{r}$
PVA = 12,9477 • 300 = 3884,31
Z poprzedniego 561,98 + 3884,31 = 4446,29 - na teście nie będzie
Oprocentowanie efektywne kredytu (lokaty)
r oprocentowanie nominalne
ref = (1+ a )a - 1
ilość kapitalizacji w ciągu roku
Zad 1/ Która z lokat jest najkorzystniejsza?
a/ 10,6% kapitalizacja roczna
b/ 10,2% kapitalizacja półroczna
c/ 10% kapitalizacja kwartalna
0,106
a/ ref = (1+ 1 )1 -1 = 1,106-1 = 0,106 Odp. a
0,102
b/ ref = (1+ 2 )2 -1 = (1,051) 2 -1 = 0,1046
0,10
c/ ref = (1+ 4 )4 -1 = (1,025)4 -1 = 0,1038
Minimalne oprocentowanie kredytu
ref
BEP = 1 – R
rezerwa obowiązkowa
Zad 2/ Obliczyć minimalne oprocentowanie kredytu jeżeli bank przyjmuje lokaty kwartalne na 10%, a rezerwa obowiązkowa wynosi 6,5 %.
0,1038 0,1038
BEP = 1 – 6,5% = 1-0,065 = 0,1110 wzrosło o 0,0072 pkt procentowych
Amortyzacja kredytu – 10 pkt. na teście !!!
Zad. 1/
Sporządzić plan amortyzacji kredytu 4 –letniego o wartości 8 000 i oprocentowaniu 10%.
Spłata w równych ratach kapitałowych.
| Stan początkowy | Rata | Odsetki | Płatność | Stan końcowy |
|---|---|---|---|---|
| 8000 | 2000 | 800 | 2800 | 6000 |
| 6000 | 2000 | 600 | 2600 | 4000 |
| 4000 | 2000 | 400 | 2400 | 2000 |
| 2000 | 2000 | 200 | 2200 | 0 |
Jeżeli są równe raty to stan końcowy musi wynieść 0.
Zad. 2/
Sporządzić plan amortyzacji kredytu 2 –letniego o wartości 5 000 i oprocentowaniu 10%.
Spłata w równych kwotach płatności.
| Stan początkowy | Rata | Odsetki | Płatność | Stan końcowy |
|---|---|---|---|---|
| 5000 | 2381 | 500 | 2881 | 2619 |
| 2619 | 2619,1 | 261,9 | 2881 | -0,1 |
Najpierw wpisz odsetki, potem oblicz ile wynosi płatność, odejmij odsetki od płatności i wpisz ratę, odejmij ratę od stanu początkowego i masz stan końcowy.
(1 + r) - 1
A = S (1 + r) n (1 + r)n – 1
oprocentowanie
liczba lat w których spłacamy kredyt
kwota płatności
kwota kredytu do spłacenia
(1 + 0,1) – 1 1,1 – 1 0,1 605
A = 5000 (1 + 0,1) 2 (1 + 0,1)2 – 1 = 5000 (1,1)2 1,21-1 = 5000 . 1,21 0,21 = 0,21=2880,95
Z tych zadań wynika, że lepiej spłacać kredyt w równych ratach niż w równych kwotach płatności.
Zad. 3/
Sporządzić plan amortyzacji kredytu 4 –letniego z 2-letnim okresem karencji z regularnymi płatnościami odsetkowymi o wartości 6 000 i oprocentowaniu 15%.
Spłata w równych ratach kapitałowych.
| Stan początkowy | Rata | Odsetki | Płatność | Stan końcowy |
|---|---|---|---|---|
| 6000 | - | 900 | 900 | 6000 |
| 6000 | - | 900 | 900 | 6000 |
| 6000 | 3000 | 900 | 3900 | 3000 |
| 3000 | 3000 | 450 | 3450 | 0 |
Zad. 4/
Sporządzić plan amortyzacji kredytu 4 –letniego z 2-letnim okresem karencji bez regularnych płatności odsetkowych o wartości 5 000 i oprocentowaniu 20%.
Spłata w równych ratach kapitałowych.
| Stan początkowy | Rata | Odsetki | Płatność | Stan końcowy |
|---|---|---|---|---|
| 5000 | - | - | - | 6000 |
| 6000 | - | - | - | 7200 |
| 7200 | 3600 | 1440 | 5040 | 3600 |
| 3600 | 3600 | 720 | 4320 | 0 |
Tarcza podatkowa – odsetki od kredytów stanowią koszt uzyskania przychodu.
rp = r (1-p)
stawka podatkowa płacona przez podmiot
oprocentowanie kredytu
rzeczywisty koszt kredytu uwzględniający zobowiązanie podatkowe
Zad. 5/
Obliczyć rzeczywisty koszt kredytu jeżeli jego oprocentowanie wynosi 18%, a podmiot płaci 19% podatek.
rp = 0,18 (1-0,19) = 0,18 – 0,81 = 0,1458