3.2. TYCZENIE LINII W TERENIE

Przystępując do pomiaru długości pewnego odcinka, należy go uprzednio do tego pomiaru przygotować. Przygotowanie to polega na mechanicznym oczyszczeniu terenu przez usunięcie różnych przeszkód w postaci kamieni, krzewów, gałęzi itp., a następnie na wyznaczeniu na linii danego odcinka szeregu punktów pośrednich. Czynność wyznaczania punktów pośrednich nazywa się tyczeniem danego odcinka. Tyczenie odcinka, polegające na znajdowaniu punktów pośrednich i zaznaczaniu ich za pomocą tyczek, wykonuje się rozmaitymi sposobami w zależności od tego, w jakich warunkach terenowych przebiega dany odcinek.

Rys. 3.6

Najprostszy przypadek tyczenia zachodzi wówczas, gdy jest w terenie odcinek AB, przy czym teren jest na tyle płaski, że z p. A widać p. B i odwrotnie (rys. 3.6), czyli końce odcinka są nawzajem widoczne, odcinek zaś leży w terenie odkrytym i całkowicie dostępnym.

Dla wyznaczenia punktów pośrednich odcinka prostego stajemy w odległości paru kroków za jedną z tyczek końcowych i zwracamy się twarzą w kierunku tyczonego odcinka. Naatępnie robotnik (pomiarowy) bierze dodatkową tyczkę C i stawia ją między tyczkami A i B według wskazówek kierującego tyczeniem. Kierujący tyczeniem, stojąc za tyczką A, patrzy, czyli celuje wzdłuż prostej AB ustawiając się tak, aby tyczki A i B leżały jedna na pokryciu drugiej. Następnie ruchami rąk w lewo i w prawo kieruje pomiarowego tak, aby trzymana przez niego tyczka C również pokryła się z tyczkami A i B. W chwili, gdy wszystkie trzy tyczki pokrywają się ze sobą - p. C leży na prostej AB. Należy wbić tyczkę C w ziemię i wziąwszy następną tyczkę dodatkową D i dalsze - wyznaczać z kolei następne punkty pośrednie. Jako zasadę należy przyjąć tyczenie punktów pośrednich w kierunku „ku sobie”, czyli najpierw wyznaczać punkty pośrednie dalsze, tj. znajdujące się bliżej końca B, a potem kolejno coraz bliższe. W przeciwnym razie, bliższe tyczki zasłaniałyby nam tyczoną linię i dokładność tyczenia byłaby mała. Dla zwiększenia dokładności tyczenia można wziąć tyczki końcowe dłuższe, zaś tyczki pośrednie - krótsze.

Inny sposób tyczenia prostej w terenie będzie musiał być zastopowany w przypadku, kiedy między punktami A i B wyznaczającymi końce danego odcinka będzie się znajdowała jakaś wyniosłość terenowa uniemożliwiająca widzenie z p. A p. B i odwrotnie, czyli gdy końce odcinka są nawzajem niewidoczne, ale teren dostępny (rys. 3.7).

Rys. 3.7

W takim przypadku, tyczenie przeprowadzamy w następujący sposób. Dwóch pomiarowych z tyczkami C i D ustawia się - jeden na jednym zboczu w p. C, drugi zaś na drugim - w p. D₁, przy tym powinni oni ustawić się twarzami do siebie tak, aby każdy z nich widział oba końce tyczonego odcinka. Rzecz jasna, że p. C₁ i D₁, w których ustawią się pomiarowi nie będą od razu leżały na prostej AB (rys. 3.7), a przesunięcie ich na prostą AB do położenia C_n i D_n należy wykonać stopniowo w następujący sposób. Rozpoczyna tyczenie np. pomiarowy, który stoi w p. D₁ przesuwając drugiego, trzymającego tyczkę C₁ tak, aby ustawić go na prostej D₁A, tj. w p. C₂. Po przesunięciu tyczki C do C₂ - drugi pomiarowy trzymający tyczkę w p. C₂, przesuwa pierwszego z tyczką D, ustawiając go na prostej C₂B w p. D₃. Następnie pomiarowy C przesuwa się po raz drugi, ustawiając tyczkę w p. C₂ na prostej D₂A, z kolei zaś pomiarowy D przechodzi do D₃ na prostej C₂B. W ten sposób p. D₁, D₂, D₃ oraz C₁, C₂, znajdują się coraz bliżej prostej AB. W tym momencie, kiedy pomiarowy z tyczką C będzie widział tyczkę D_n na prostej C_nB, zaś równocześnie ten, który stoi w. p. D_n będzie widział tyczkę C_n na prostej D_nA - p. C_n i D_n będą znajdowały się na prostej AB.

Taki sposób tyczenia nazywa się tyczeniem metodą kolejnych przybliżeń. Po wyznaczeniu tym sposobem dwóch punktów pośrednich C_n i D_n na obu zboczach, następne punkty pośrednie należy wyznaczyć zwykłą metodą tyczenia „ku sobie”, tycząc kolejno najpierw partię odcinka AC, potem CD i wreszcie DB.

Zazwyczaj tyczenie krótkich odcinków, których długość nie przekracza 0,5km, przeprowadza się „na oko”, tj. bez użycia przyrządów optycznych. W przypadku tyczenia dłuższych odcinków, należy korzystać z lornetki polowej albo lunety. Niekiedy nawet krótkie odcinki prostych powinny być tyczone za pomocą lunety teodolitu.

3.3. PRZYRZĄDY DO BEZPOŚREDNIEGO POMIARU DŁUGOŚCI

Długość odcinka może być mierzona pośrednio (podrozdz. 3.8) lub bezpośrednio. Do wykonywania bezpośredniego pomiaru długości pewnego odcinka prostej w terenie służą specjalne narzędzia pomiarowe, wśród których najbardziej rozpowszechnione w praktyce geodezyjnej są taśmy stalowe i ruletki, a także łaty miernicze.

Taśma stalowa jest to wąska wstęga ze stali, szerokości ok. 15-20mm grubości ok. 0,4mm (rys. 3.8). Długość takiej taśmy stalowej wynosi 20m lub 50m. Najbardziej rozpowszechnione w użyciu są taśmy długości 20m. Taśma stalowa, którą nawija się na specjalną obręcz o średnicy 30cm, jest zakończona na obu końcach specjalnymi nakładkami metalowymi z uchwytami różnych typów (rys.3.8a,b,c). Taśma ta jest podzielona na odcinki metrowe, przy tym każdy metr jest oznaczony za pomocą blaszki przynitowanej na osi taśmy z wybitym na niej kolejnym numerem danego metra. Odcinki półmetrowe są oznaczane za pomocą okrągłych, małych blaszek, zaś odcinki co 1m - za pomocą małych, o średnicy ok. 1-2mm okrągłych dziurek.

Dla odczytywania odcinków mniejszych od 10cm należy posługiwać się dodatkową miarką z podziałem centymetrowym, bądź też, przy posiadaniu wprawy pomiarowej, oceniać je szacunkowo na oko. Taśmy są zazwyczaj cechowane dwustronnie, przy tym kierunek wzrastania podziału metrowego po obu stronach bywa albo zgodny, albo też przeciwny. Przy pomiarze należy uważać na kierunek wzrastania podziałki aby ustrzec się przed możliwością popełnienia grubego błędu.

Rys. 3.8 Rys. 3.9

Do każdej taśmy stalowej jest dołączony zawsze komplet szpilek (rys.3.9), w liczbie 10 lub 11 sztuk na 2 kółkach metalowych. Szpilki są to metalowa pręty o średnicy ok. 4-6mm, długości ok. 30cm, zaostrzone na końcu, służące przy pomiarze do oznaczania na gruncie kolejnych położeń końców taśmy. Dawniej, taśma bywała zaopatrzona dodatkowo w dwa kostury (rys. 3.10), czyli kije drewniane okute na ostro u dołu z poprzecznymi bolcami stalowymi przeznaczonymi do nakładania na nie uchwytów taśmy. W tym przypadku taśmę trzyma się bezpośrednio nie za uchwyty, lecz za włożone do tych uchwytów kostury. Drugim przyrządem służącym do pomiaru długości są łaty miernicze (rys. 3.11) Łata miernicza jest to rodzaj pręta (beleczki) drewnianego o długości 3 lub 5m i przekroju poprzecznym okrągłym lub eliptycznym.

Rys. 3.10

Rys. 3.11

Łata w przekroju podłużnym ma kształt nieco zwężający się ku końcom, a najgrubszy w środku (rys. 3.11a). Grubość łaty w środku wynosi ok. 40mm, a na końcach ok. 25mm. Drewno, użyte do wykonania łaty musi być suche, bez sęków oraz odpowiednio nasycone tłuszczem i pomalowane farbą olejną dla zabezpieczenia jej przed wypaczaniem pod wpływem wilgoci i przed pękaniem wskutek zmian temperaturowych. Cechowanie łaty jest wykonane w ten sposób, że poszczególne metry są oznaczone różnymi barwami, np. pierwszy metr biały, drugi czerwony lub czarny, trzeci znów biały itp., zaś decymetry są oznaczone przez wbite, na osi łaty, małe okrągłe gwoździki (rys. 3.11). Dokładniejszego cechowania nie ma; odczytywanie centymetrów odbywa się bądź za pomocą miarki z podziałką centymetrową, bądź przez szacowanie na oko. Końce łaty są obustronnie okute, przy tym jeden koniec ma okucie w postaci pryzmatu, którego ostrze jest pionowe, drugi - okucie pryzmatyczne, którego krawędź jest pozioma (rys. 3.11). Do przeprowadzenia pomiaru używamy zwykle kompletu, składającego się z trzech łat. Zarówno taśmy stalowe jak taż łaty, służą do pomiaru odcinków długich.

Trzecim przyrządem służącym do pomiaru małych długości są ruletki stalowe i płócienne (rys. 3.12). Ruletka stalowa jest, podobnie jak taśma stalowa, wstążką ze stali o szerokości ok. 1cm, cechowaną na całej swej długości (przez wytrawienie kwasem) z dokładnością do 1 lub 0,5cm. Są dwa typy ruletek stalowych. Do pierwszego z nich należą ruletki nawijane na oś poprzeczną i całkowicie schowane wewnątrz skórzanego lub ebonitowego futerału (rys. 3.12). W bocznej powierzchni futerału znajduje się otwór, przez który ruletkę można wyciągnąć. Na górnej powierzchni futerału, pośrodku, znajduje się korbka połączona z osią poprzeczną ruletki, za pomocą której nawijamy ruletkę na oś i chowamy wewnątrz futerału. Do drugiego typu należą ruletki bez futerału o konstrukcji pokazanej na rys. 3.13. Długość ruletek bywa różna: 5, 10, 20 lub 25m. Najbardziej rozpowszechnione w użyciu są ruletki 20m.

Rys. 3.12

Rys. 3.13

Ruletka parciana wygląda tak samo, jak ruletka stalowa z tą różnicą, że jest to wstążka wykonana z płótna, a nie ze stali. Płótno to oczywiście musi być odpowiednio spreparowane poprzez przegotowanie go w roztworach chemicznych w celu usztywnienia i zwiększenia jego odporności, zarówno na odkształcenia jak też na wpływ wilgoci atmosferycznej. Dla zwiększenia sztywności ruletki wplata się wzdłuż i w poprzek płótna druciki miedziane jako wkładki usztywniające. Ruletka parciana - podobnie jak stalowa - jest cechowana z dokładnością do 1 lub 0,5cm, przy czym działki podziału i napisy są malowane farbą olejną. Ruletkę płócienną nawija się na oś i podobnie jak stalową chowa się całą do futerału. Ruletki płócienne są mało dokładne, gdyż szybko ulegają rozciąganiu, a ponadto są mało odporne na zerwanie.

Zgodnie z obowiązującą w pracach geodezyjnych zasadą kontroli, każdy przyrząd służący do pomiaru długości musi być przed przystąpieniem do pomiaru bezwzględnie sprawdzony. Sprawdzenia przyrządu dokonuje się przez porównanie jego długości z wzorcem danej miary, bądź też z innym przyrządem, którego długość jest znana w sposób całkowicie pewny. Tego rodzaju sprawdzenie nazywamy komparacją przyrządu pomiarowego. Rzadko kiedy zdarza się, aby przyrząd pomiarowy posiadał długość rzeczywistą idealnie równą długości nominalnej. Taśma stalowa o nominalnej długości 20m zawsze będzie w rzeczywistości albo nieco krótsza albo dłuższa. Różnica między rzeczywistą długością danego przyrządu a jego długością nominalną nazywa się poprawką komparacyjną. Poprawka komparacyjna f_k przymiaru liniowego może być dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, czy długość rzeczywista taśmy jest większa, czy też mniejsza od jej długości nominalnej, czyli

f_k=l_rzecz.−L_nom. (3.1)

Poprawka komparacyjna powinna być uwzględniona rachunkowo, przy ostatecznym obliczeniu długości zmierzonej danym przymiarem, dla którego tę poprawkę określono. Uwzględnienie wpływu poprawki komparacyjnej na mierzoną długość polega na dodaniu jej do nominalnie obliczonej długości. Jeżeli np. zmierzona długość odcinka wynosi 120,00m (czyli sześć długości taśmy ), a wiadomo, że do pomiaru tego odcinka użyto taśmy stalowej 20m o poprawce komparacyjnej +5mm (czyli rzeczywista długość taśmy wynosiła 20,005 m), to wówczas poprawka komparacyjna f_k. dla całego zmierzonego odcinka wyniesie

f_k=n•(+0, 005m)= + 6 • 0, 005m = +0, 03m

W związku z tym oałkowita zmierzona długość będzie równa

120,00 + 0,03 = 120,03m .

Gdyby przy pomiarze pewnego odcinka jego nominalna długość była równa np. 160 m (8 długości taśmy), zaś użyta taśma miałaby poprawkę komparacyjną -5mm (czyli rzeczywista długość taśmy wynosiłaby 19,995m), wówczas poprawka komparacyjna dla całego zmierzonego odcinka wyniosłaby

f_k = n·(-0,005m) = -8·0,005m = -0,04m,

zaś ostateczna jego długość byłaby równa 160,00 + (-0,04) = 159,96m.

3.4. POMIAR DŁUGOŚCI TAŚMĄ STALOWĄ

Mając w terenie przygotowany do pomiaru, a więc oczyszczony i wytyczony odcinek AB, (rys. 3.14) angażujemy dwóch pomiarowych oraz zabieramy dwudziestometrową taśmę stalową z kompletem szpilek i rozpoczynamy pomiar. Rozwijamy taśmę, a jej początek - poprzeczną kreskę oznaczającą 0m taśmy umieszczoną na uchwycie (rys. 3.8a) lub nakładce (rys. 3.8b,c) - przykładamy w punkcie A. Następnie, układamy taśmę w linii mierzonego odcinka, kierując się tyczkami wyznaczającymi punkty pośrednie. Ułożeniem taśmy w linii odcinka kieruje pomiarowy idący przy zerze taśmy. Po ułożeniu taśmy dokładnie w linii danego odcinka, naciągamy ją sztywno- i na końcu wyprężonej taśmy drugi pomiarowy wbija pionowo szpilkę przy kresce poprzecznej oznaczającej 20m długości taśmy, zaznaczając w ten sposób pierwsze przyłożenie taśmy. Po wbiciu szpilki, obaj pomiarowi ostrożnie odejmują taśmę od szpilek oraz trzymając taśmę za uchwyty, posuwają się razem naprzód. Z chwilą, gdy pomiarowy trzymający taśmę za uchwyt początkowy dojdzie do wbitej w ziemię szpilki woła „stop” i przykłada zero taśmy dokładnie obok wbitej szpilki.

Rys. 3.14

Następnie, znowu układamy taśmę wzdłuż mierzonej linii AB, naciągamy ją sztywno, wbijamy drugą szpilkę na jej końcu. Następnie, pomiarowy idący przy zerze taśmy wyjmuje pierwszą szpilkę i znowu obaj posuwają się naprzód. Z chwilą, gdy taśma zostanie przyłożona 10 razy, wszystkie szpilki znajdą się u pomiarowego idącego na początku taśmy. Wówczas powinien on przekazać cały komplet - 10 szpilek - pomiarowemu idącemu na końcu taśmy, tj. pomiarowemu przedniemu. Każde przekazanie kompletu szpilek powinno być odnotowane w dzienniku pomiarowym. W ten sposób układa się taśmę n razy, aż wreszcie koniec ostatniego przyłożenia taśmy wypadnie poza punktem końcowym mierzonego odcinka. Wówczas, z podziałki na taśmie odczytujemy końcówkę pomiaru R i obliczamy całkowitą zmierzoną długość odcinka jako równą

D = n L + R (3.2)

gdzie: n - ilość całkowitych przyłożeń taśmy, L - długość nominalna taśmy, R - końcówka pomiaru.

Ilość całkowitych przyłożeń taśmy obliczamy, licząc ilość szpilek będących w ręku pomiarowego idącego przy zerze i doda- jąo ostatnią szpilkę wbitą w ziemię przy zerze taśmy. Oprócz tego, zazwyczaj dla kontroli, zapisujemy w dzienniku pomiaro­wym każde przyłożenie taśmy w następujący sposób. Rysujemy kwadraty z dwiema przekątnymi, przy czym każdy wierzchołek, bok i przekątna kwadratu oznaczają jedno przyłożenie taśmy - razem 10 przyłożeń. Niekiedy, szczególnie przy pomiarze tras drogowych, wygodniejsze jest użycie do pomiaru taśmy z kompletem 6 szpilek. Technika pomiaru jest taka sama jak. poprzednio z tym, że przekazywanie szpilek odbywa się co 100 m, co ułatwia kontrolę pomiarową.

Ponieważ kardynalną zasadą wszelkich prac pomiarowych, jak to już omawialiśmy poprzednio, jest zasada kontroli pomiaru, wobec tego wykonany pomiar odcinka należy zawsze powtórzyć. Jeżeli pierwszy pomiar rozpoczęliśmy w p. A i mierzyliśmy w kierunku p. B, to drugi - kontrolny - wykonujemy w kierunku przeciwnym, tj. zaczynając od p. B w kierunku p. A. Notowanie wyników pomiaru długości wykonujemy wg ustalonego schematu w specjalnym dzienniku pomiarowym. Schemat dziennika pomiarowego wraz z zapisem jest przedstawiony poniżej (tabl. 3.1).

Tablica 3.1. Dziennik pomiaru długości

Opisany powyżej sposób pomiaru (gdy taśmę układamy na gruncie) nazywamy pomiarem metodą bezpośrednio po terenie. Oprócz tego istnieje drugi sposób pomiaru odcinków w terenie polegający na pomiarze nie rzeczywistej długości odcinka, mierzonej po pochyłości terenu, lecz od razu jego rzutu poziomego. Pomiar rzutu danego odcinka wymaga każdorazowo układania taśmy nie po terenie, lecz w położeniu poziomym. Tego rodzaju pomiar nazywany pomiarem metodą schodkową. Może on mieć zastosowanie szczególnie przy pomiarze odcinków położonych na stromych skarpach.

Rys. 3.15

Pomiar metodą schodkową przeprowadzamy w sposób następujący: przykładamy zero taśmy dokładnie w punkcie początkowym mierzonego odcinka, następnie rozwinąwszy taśmę układamy ją wzdłuż mierzonego kierunku. Dalej, staramy się ułożyć taśmę w poziomie, osiągając to w następujący sposób. Na końcu taśmy zawieszamy tzw. pion (ciężarek metalowy na sznurku - rys. 3.15), który zwisa swobodnie tuż nad ziemią. Zmieniając pochylenie silnie naciągniętej taśmy, szukamy takiego jej położenia, które odpowiada najdalszemu wysunięciu pionu w kierunku mierzonego odcinka. Położenie to, jak wyjaśnia rys. 3.16, odpowiada poziomemu położeniu taśmy. W punkcie, w którym pion dotyka gruntu, wbijamy szpilkę, znacząc pierwsze przyłożenie taśmy. Dalej postępujemy analogicznie. Wynik pomiaru notujemy w dzienniku pomiarowym dodając w uwagach: pomiar schodkowy. Długość rzutu mierzonego odcinka obliczamy ze wzoru

D₀ = n L + R (3.3)

Rys. 3.16

gdzie: R - końcówka pomiaru, którą odczytujemy z podziałki na taśmie, zawieszając nad punktem końcowym mierzonego odcinka pion, odczytujemy R na podziałce taśmy w miejscu przecięcia pionu z taśmą.

Pomiar metodą schodkową za pomocą taśmy jest na ogół dość mało dokładny.

3.5. REDUKCJA POMIARU LINIOWEGO DO POZIOMU

Ze względu na to, że planem nazwaliśmy rzut wszystkich punktów i obiektów znajdujących się na danym obszarze na poziomą płaszczyznę odniesienia, wszelkie pomiary liniowe wykonane na terenie musimy przed narysowaniem ich na planie doprowadzić do poziomu. Czynność tę nazywamy redukcją odcinków do poziomu. Jeżeli pomiar został wykonany metodą schodkową, to redukcja do poziomu jest niepotrzebna, gdyż bezpośrednio pomierzony został rzut danego odcinka. Jeżeli jednak pomiaru dokonano po terenie, a tak właśnie zazwyczaj mierzymy, to dla zredukowania zmierzonej długości do poziomu, należy dodatkowo zmierzyć kąt α pochylenia terenu do poziomu. Znając wielkość kąta α oraz zmierzoną po terenie długość odcinka D, obliczamy jego zredukowaną długość, czyli rzut D₀ na płaszczyznę poziomą w łatwy sposób (rys. 3.17)

D₀ = D cosα (3.4)

Rys. 3.17

Jeżeli odcinek leży w terenie niejednakowo pochylonym do poziomu na całej swej długości, tj. na terenie o różnych spadkach, to redukcję do poziomu należy wykonać partiami, oddzielnie dla każdego kąta nachylenia terenu do poziomu (rys. 3.18). Różnicę między wielkością rzutu D₀ a długością rzeczywistą D danego odcinka nazywamy poprawką redukcyjną. Poprawka redukcyjna f_r jest równa

f_r = D₀ – D = D cosα - D (3.5)

f_r = D(cosα – 1) = -2D sin²(α/2) (3.6)

Rys. 3.18

Poprawka redukcyjna jest zawsze ujemna. W tabl. 3.2 podane są wartości jednostkowych poprawek redukcyjnych dla różnych wielkości kąta α nachylenia terenu do poziomu.

Podane w tabl. 3.2 wielkości, pomnożone przez zmierzoną (nominalną) długość D (w metrach) dają konkretne poprawki f_r dla danych długości (również w metrach).

Tabela 3.2. Tabela jednostkowych wielkości poprawek redukcyjnych. Całkowita poprawka redukcyjna ΔD = D 2 sin²(α/2)

α 2 sin2(α/2) α 2 sin2(α/2) α 2 sin2(α/2)

10’ 0,000004 1°30’ 0,000343 3°20’ 0,00169

15’ 0,000010 2°00’ 0,000609 3°30’ 0,00187

20’ 0,000017 2°30’ 0,000952 4°00’ 0,00244

25’ 0,000026 2°45’ 0,001152 4°30’ 0,00308

1° 0,000152 3°10’ 0,001527 5°30’ 0,00460

Kąty nachylenia terenu do poziomu mierzy się za pomooą koła pionowego tachimetrów (rozdz. 9).

3.6. OBLICZANIE OSTATECZNEJ DŁUGOŚCI MIERZONEGO ODCINKA

Przy pomiarze długości za pomocą taśmy stalowej (w praktyce inżynierskiej dłuższe odcinki mierzymy zazwyczaj taśmą), popełniamy szereg nieuniknionych błędów, które rzecz jasna wpływają na dokładność otrzymanego wyniku. Spośród tych błędów, niektóre mają charakter błędów systematycznych (regularnych), inne należą do kategorii błędów przypadkowych. Błędy systematyczne, których powstanie można z góry przewidzieć i obliczyć, powinny i mogą być z pomiaru wyeliminowane przez wprowadzenie odpowiednich poprawek do obliczenia ostatecznej wielkości zmierzonego odcinka. Do tej kategorii błędów należą błędy systematyczne spowodowane następującymi czynnikami:

1. błędem długości taśmy (poprawka komparacyjna),

2. nachyleniem terenu do poziomu (poprawka redukcyjna),

3. wpływem temperatury na rozszerzalność przyrządu pomiarowego (poprawka termiczna).

Wszystkie trzy wyżej wymienione błędy mogą i powinny być wyeliminowane z ostatecznego wyniku pomiaru w drodze rachunkowej, przez wprowadzenie do otrzymanej z pomiaru długości nominalnej odpowiednich poprawek. W związku z tym ostateczna wielkość zmierzonego odcinka będzie odpowiednio równa

d = D + f_k + f_r + f_t (3.7)

gdzie: D - jest to długość nominalna, otrzymana w wyniku bezpośredniego pomiaru, f_k - poprawka spowodowana wpływem poprawki komparacji taśmy, f_r - poprawka redukcyjna, ft - poprawka termiczna (na temperaturę).

Obliczenie wielkości kolejnych poprawek jest łatwe i proste. I tak, całkowity wpływ f_k poprawki komparacyjnej obliczamy następująco

$f_{k} = \sigma\left( n + \frac{R}{L} \right)\ $ (3.8)

gdzie: σ - poprawka komparacyjna taśmy użytej do pomiaru, czyli różnica między długością rzeczywistą a nominalną taśmy, n - ilość całkowitych przyłożeń taśmy przy pomiarze danego odcinka, L - długość nominalna taśmy, R - końcówka pomiaru.

Poprawka redukcyjna (p. 3.6) jest odpowiednio równa:

$$f_{r} = - 2D\ \sin^{2}\frac{\alpha}{2}$$

Poprawkę termiczną f_t obliczamy jako

f_t = n f_t (3.9)

gdzie: Afę - poprawka termiczna jedpej taśmy, n - ilość przyłożeń taśmy.

Poprawkę Δf_t obliczamy jako równą

f_t = k L (t−t₀) (3.10)

gdzie: k - współczynnik rozszerzalności cieplnej stali (0,000013), t - temperatura, w której wykonano pomiar, t₀ - temperatura, w której taśma była komparowana.

Poprawki komparacyjna i termiczna mogą być bądź dodatnie, bądź ujemne, a poprawka redukcyjna jest zawsze ujemna. Należy zwrócić uwagę na to, że w zasadzie błędy systematyczne, jako możliwe do rachunkowego wyrugowania, powinny być uwzględnione przy obliczeniu ostatecznej wielkości mierzonej długości. Jednakże w przypadku, gdy ich łączny wpływ na mierzoną wielkość jest wyraźnie mały, tj. mniejszy niż wymagana dokładność pomiaru, można nie uwzględniać wpływu odpowiednich poprawek. Przykładowo, dla pomiarów inżynierskich średniej dokładności można w praktyce pomijać całkowicie wpływ temperatury w polskich warunkach atmosferycznych, z wyjątkiem przypadku pomiarów przy b. silnych mrozach, co się zresztą rzadko zdarza. Poprawka komparacyjna taśmy do wielkości ±5mm może być również pominięta, podobnie jak poprawka redukcyjna dla kątów nachylenia terenu mniejszych od 2°30’. Oprócz wyżej omówionych błędów systematycznych występujących przy pomiarze długości, występują również dodatkowe jeszcze błędy przypadkowe, które wpływają na dokładność pomiaru. Do tej kategorii błędów należy np. błąd niedokładnego układania taśmy w linii mierzonego odcinka (rys. 3.19), o którym wiemy tylko to, że wpływa jednostronnie na mierzoną długość - zawsze zwiększając wynik pomiaru, błąd wynikający z nierównomiernego naciągania taśmy, błąd wynikający z jej zwisania czy wygięcia taśmy, np. przy pomiarze przez doły czy lokalne wzgórki i inne przeszkody. Wpływu tych błędów nie można wyeliminować rachunkowo, one też ostatecznie decydują o dokładności pomiaru.

Rys. 3.19

Przykład

Zmierzono odcinek AB bezpośrednio po terenie, otrzymując w wyniku pomiaru nominalną jego długość równą 80,00m. Kąt nachylenia terenu wynosił 3°, temperatura -15°C, poprawka komparacyjna taśmy σ = +0,005m (długość taśmy wynosiła więc 20,005m). Obliczyć ostateczną długość, uwzględniając odpowiednie poprawki.

Rozwiązanie

1. Wpływ poprawki komparacyjnej

f_k = +0,005·4 = +0,02m.

1. Wpływ poprawki redukcyjnej fr

f_r = -2 sin² (α/2) AB = -0.00137·60 = -0,11m.

1. Wpływ poprawki termicznej (przyjąwszy temperaturę komparacji jako równą +15°C)

f_t = 4·20·0,000013(-15° - 15°) =-0,03m.

Ostateczna długość odcinka AB równa się więc

AB = 80,00 + 0,02 - 0,11 - 0,03 = 79,88

Łączny względny wpływ wszystkich uwzględnionych poprawek

$$\frac{\text{AB}_{\text{zmierzone}} - \text{AB}_{\text{poprawione}}}{\text{AB}} = \frac{0,12}{80,00} = 0,0015$$

Z powyższego przykładu wnioskować możemy, że stosunkowo największy wpływ na mierzoną długość wywiera poprawka redukcyjna.

3.7. DOKŁADNOŚĆ POMIARÓW LINIOWYCH

Każdy bezpośredni pomiar liniowy zawsze zawiera pewien błąd spowodowany różnymi przyczynami. Jaka może być praktycznie wielkość tego błędu, ustalić można doświadczalnie na podstawie danych otrzymanych z całego szeregu pomiarów wykonanych w terenie. Rozległe badania nad tą sprawą doprowadziły do ustalenia pewnych wzorów empirycznych ustalających graniczne błędy pomiarowe, zwane błędami dopuszczalnymi. Oczywiście, wielkość tych błędów różna będzie dla różnych warunków lokalnych, gdyż wielkość błędu w dużej mierze zależy od ukształtowania terenu wzdłuż danego odcinka. Ogólny typ wzoru, określającego jaka jest dopuszczalna różnica dwóch pomiarów pewnego odcinka, brzmi:

$l_{\max} = al + b\sqrt{l} + c$ (3.11)

Gdzie: a, b, c - pewne współczynniki doświadczalne, różne dla różnych terenów, l - mierzona długość.

Gdybyśmy zechcieli określić pewną przeciętną dokładność, to wg współczynników zawartych w odpowiednich Instrukcjach pomiarowych Głównego Urzędu Geodezji i Kartografii moglibyśmy ustalić, te średnia względna dokładność pomiarów liniowych przy długościach nie przekraczających 300m wynosi około 1/1000 mierzonej długości, a w korzystnych warunkach i przy specjalnie starannym wykonaniu może być znacznie większa.

Przepisy GUGiK, klasyfikując rodzaj terenu na trzy kategorie I, II i III (kategoria I - teren płaski, odkryty, łatwy; kategoria II - teren średni; kategoria III - teren pofałdowany, gęsto podszyty, bagnisty), podają normy błędów dopuszczalnych dla terenów średnich, czyli kategorii II, dzieląc ponadto wartości błędów na cztery kategorie: A, B, C i D, zależnie od charakteru danego terenu, a tym samym wagi jego pomiarów.

Do kategorii A - zaliczone są np. tereny dużych miast, B - mniejsze miasta, C - małe miasta i osiedla, D - tereny wiejskie (rolnicze i leśne).

Dopuszczalne bezwzględne różnice przy dwukrotnym pomiarze długości odcinka l wyrażają się wg obowiązujących instrukcji GUGiK następującymi wzorami:

(3.12)

We wzorach tych "l" oznacza długość w metrach, błędy dopuszczalne otrzymuje się także w metrach. Jeżeli na podstawie wspomnianych instrukcji GUGiK zechcemy określić wartość błędów dopuszczalnych dla terenów kategorii I to należy normę otrzymaną z tabeli obniżyć o 20%, zaś dla terenu kategorii III - (trudnego) podnieść o 20%. Obliczając bezwzględną wielkość błędu dopuszczalnego wg powyższej normy dla odcinka o długości 200m, otrzymamy, że w przypadku kiedy znajduje się on w terenie kategorii A - błąd dopuszczalny wynosi 0,10m, kategorii B = 0,16m, kategorii C = 0,24m, a dla kategorii D = 0,36m.

4. TYCZENIE KĄTÓW PROSTYCH

Tyczenie kątów prostych lub rzutowanie prostokątne punktów na daną prostą występuje podczas licznych geodezyjnych prac pomiarowych, związanych z takimi zadaniami jak: zdjęcie szczegółów sytuacyjnych metodą ortogonalną, pomiary realizacyjne i połączone z nimi zakładanie osnów w postaci prostokątnych siatek, tyczenie fundamentów, osi, obrysów budynków i budowli prostokątnych, niwelacja przekrojów podłużnych i poprzecznych, niwelacja powierzchniowa siatkowa oraz inne. Do tyczenia kątów prostych z krótkimi (do 50m) odcinkami prostopadłymi służą węgielnice, natomiast do wyznaczania dłuższych prostopadłych (ponad 50m) wykorzystuje się teodolity. W razie braku tych przyrządów i przy mniej dokładnych pomiarach można zastosować sposoby oparte na pomiarach liniowych, podane niżej w ust. 4.1.

4.1. Tyczenie kątów prostych bez użycia węgielnicy

Wytyczenie kąta prostego z punktu pośredniego P' zaznaczonego na zadanej prostej AB, polega na wystawieniu z niego linii prostopadłej i ustaleniu jej kierunku poprzez wskazanie położonego na niej dowolnego punktu P. Zadanie to można wykonać za pomocą samych pomiarów liniowych poprzez zbudowanie następujących konstrukcji geometrycznych:

1. trójkąta równoramiennego, w którym odcinek PP' stanowi wysokość (rys. 4.1),

2. trójkąta prostokątnego, w którym odcinek PP' stanowi przyprostokątną (rys. 4.2),

3. dwóch trójkątów: równoramiennego i prostokątnego (rys. 4.3).

Rys. 4.1 Rys. 4.2

W pierwszym przypadku na prostej AB po obu stronach punktu P' odmierzamy równe odcinki o długości a, uzyskując punkty C, D, a następnie zataczamy z nich taśmą łuki o jednakowym promieniu b, przy czym b>a. W przecięciu łuków otrzymamy szukany punkt P, położony na prostopadłej do prostej AB. Wygodniejsze od zataczania łuków jest nałożenie do punktów C, D zer dwóch ruletek i uzyskanie punktu P na styku końców jednakowych miar odpowiadających założonej długości odcinka b na obu przymiarach.

Drugi sposób polega na odmierzeniu od punktu P' wzdłuż prostej AB znanej odległości b, stanowiącej jedną z przyprostokątnych P'Q w trójkącie prostokątnym PP'Q. Po ustaleniu długości a drugiej przyprostokątnej P'P, obliczamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa długość c przeciwprostokątnej PQ trójkąta.

$$c = PQ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

Następnie za pomocą dwóch ruletek odmierzamy zaplanowane odcinki, tj. a z punktu P' oraz c z punktu Q, otrzymując poszukiwany punkt P na prostopadłej po zetknięciu końców podanych miar.

Zamiast obliczania długości c z dowolnych miar, można zbudować specyficzny trójkąt prostokątny, zwany trójkątem egipskim (trójkątem 3-4-5), w którym boki mają następujące długości: a = 3 jednostki, b = 4 jednostki, c = 5 jednostek. Spełniają one warunek długości boków trójkąta prostokątnego wynikający z twierdzenia Pitagorasa: 3² + 4² = 5². Wybraną jednostką długości może być w tym przypadku 1 m lub dowolnie przyjęta odległość.

Rys. 4.3. Konstrukcja do wytyczenia bez węgielnicy dłuższej prostopadłej

Do tyczenia dłuższych prostopadłych bez użycia węgielnicy można zbudować w terenie konstrukcję pokazaną na rys. 4.3, złożoną z dwóch trójkątów: równoramiennego CDE i prostokątnego DP’P. Czynności początkowe są takie same jak przy wyznaczaniu trójkąta równobocznego, tzn. po obu stronach punktu P' odmierzamy równe długości a, znajdując na prostej AB punkty C, D. Następnie wyznaczamy położenie punktu E, odmierzając z punktu C odcinek CE = 2a, tworzący z prostą AB kąt wynoszący około 45°. W ten sposób zostanie utworzony trójkąt równoramienny CDE, o ramionach długości 2a, którego podstawą jest odcinek DE. Należy teraz zmierzyć jego odległość DE = 2b i obliczyć jej połowę, czyli pojedynczą długość b. Dla wyznaczenia położenia punktu P znajdującego się na prostej PP', prostopadłej do prostej AB, należy od znanego punktu D wzdłuż prostej DE odłożyć odcinek: c = DP, obliczony ze wzoru:

Wzór (4.1) jest przekształceniem proporcji: c:2a = a:b, wynikającej z podobieństwa trójkątów: CFD i PP’D.

Odmienny przypadek wyznaczenia długości prostopadłej do danej prostej AB, wychodzącej z punktu P stałego, zasłoniętego przez przeszkodę został opisany w ust. 11.3.4.

4.2. Węgielnice

Węgielnice są niewielkimi przyrządami przeznaczonymi przede wszystkim do wykonania dwóch zadań pomiarowych:

1. wystawiania prostopadłych z danego punktu na prostej,

2. wyznaczania rzutów prostokątnych wybranych punktów na daną prostą.

Węgielnice pryzmatyczne, podwójne można dodatkowo wykorzystać do tyczenia punktów pośrednich na prostej „ze środka”, czyli z wnętrza odcinka, a nawet do wyzna czania punktów położonych na łuku kołowym.

Spośród licznych, starszych i nieużywanych obecnie typów węgielnic, takich jak: węgielnice przeziernikowe, zwierciadlane, krzyżowe i niektóre pryzmatyczne, omówimy tylko węgielnicę zwierciadlaną, ponieważ współcześnie produkowana i stosowana węgielnica pryzmatyczna pięciokątna, odznacza się podobną zasadą działania. W obu typach węgielnic kąt prosty zostaje zbudowany po dwukrotnym odbiciu promieni świetlnych od dwóch zwierciadeł płaskich ustawionych względem siebie pod kątem 45°.

4.2.1. Węgielnica zwierciadlana (lustrzana)

Elementami optycznymi węgielnicy zwierciadlanej (rys. 4.4) są zamocowane we wspólnej oprawie dwa podłużne zwierciadła płaskie I, II, tworzące z sobą kąt dwuścienny 45°. Przednia część oprawy jest otwarta, zaś na jej bokach, nad zwierciadłami, wycięte są prostokątne okienka umożliwiające przenikanie promieni świetlnych do wnętrza węgielnicy. Do spodniej ścianki oprawy przymocowany jest uchwyt do trzymania węgielnicy w palcach i haczyk do zawieszania pionu sznurkowego.

Rys. 4.4. Węgielnica zwierciadlana

Rys. 4.5. Bieg promienia świetlnego w węgielnicy zwierciadlanej

Zasada działania tej węgielnicy opiera się prawie odbicia, zgodnie z którym promień padający i promień odbity leżą w jednej płaszczyźnie, prostopadłej do powierzchni zwierciadła, zaś kąty padania i odbicia są równe.

Na rysunku 4.5 przedstawiającym bieg promienia w węgielnicy zwierciadlanej występują dwa trójkąty CDE i CDP', dla których można zapisać warunki sumy kątów:

Warunek sumy kątów trójkąta CDE:

45° + (90°- α) + (90°- β) = 180°

skąd: α + β= 45°

Sumę kątów trójkąta CDP' wyraża zależność: 2α + 2β + ϕ = 180°,

Po uwzględnieniu w jednym równaniu powyższych związków uzyskanych z obu trójkątów otrzymamy:

2·45° + ϕ = 180°

a ostatecznie:

ϕ = 90°

Rys. 4.4. Węgielnica zwierciadlana

Z przedstawionego wyżej dowodu wynika, że po przejściu przez węgielnicę zwierciadlaną promienie: wchodzący i wychodzący tworzą z sobą kąt ϕ równy kątowi prostemu. Konstrukcja tej węgielnicy umożliwia więc wyznaczanie kątów prostych poprzez naprowadzenie pomocnika z tyczką widzianą przez obserwatora bezpośrednio na obraz tyczki A, której obraz jest widoczny w zwierciadle I, znajdującym się na wprost oka obserwatora (rys. 4.5).

4.2.2. Węgielnica pryzmatyczna pięciokątna (pentagonalna)

Węgielnicą pięciokątna podwójna (rys. 4.7) składa się z dwóch pryzmatów pięciokątnych (pentagonalnych) połączonych ze sobą we wspólnej obudowie. Pojedynczy pryzmat węgielnicy (rys. 4.6) ma postać szklanego graniastosłupa z dwiema posrebrzanymi ściankami, spełniającymi rolę zwierciadeł płaskich. Podstawa graniastosłupa jest specyficznym pięciokątem, którego jeden kąt jest prosty, zaś wszystkie pozostałe cztery kąty są równe i wynoszą 112,5°.

Metalizowane, boczne ścianki pryzmatu (rys. 4.6) tworzą po przedłużeniu kąt dwuścienny 45°, co powoduje, że przebieg promieni wewnątrz pryzmatu pentagonalnego odbywa się na identycznej zasadzie co w omówionej wcześniej węgielnicy zwierciadlanej, z czego wynika, że w punkcie przecięcia F promieni odbitych od zwierciadeł płaskich kąt utworzony przez promień świetlny wewnątrz pryzmatu jest równy 90° (rys. 4.8). Promień świetlny po przejściu przez pryzmat zmienia swój kierunek o kąt ϕ. Jak wynika z przedstawionego poniżej dowodu kąt ten jest także równy 90°.

Zgodnie z rys. 4.8 warunek sumy kątów w czworoboku EFG1 można zapisać następująco:

(90°+ ε) + 90°+ (90°- β) + 90° = 360° a stąd: β = ε

Z prawa załamania wynika zależność:

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = \frac{\text{sinμ}}{\text{sinε}} = n_{2 - 1}$$

gdzie: n2-1 - współczynnik załamania światła na granicy ośrodków: powietrza i szkła (≈1,5÷1,8). Biorąc pod uwagę udowodnioną wyżej równość kątów: β = ε z prawa załamania wynika także równość: α = µ.

Na podstawie sumy kątów w czworoboku P'G1E zapiszemy:

ϕ + 90° - α + 90° + 90 ° + µ = 360° czyli: ϕ = 90°+α - µ a stąd: ϕ = 90°

Rys. 4.6. Powstawanie obrazu w pryzmacie pentagonalnym

Rys. 4.7. Typy węgielnic pięciokątnych podwójnych

Rys. 4.8. Bieg promienia w pojedynczym pryzmacie pentagonalnym

Rys. 4.9. Układ pryzmatów pentagonalnych w węgielnicy podwójnej

Jak wynika z rysunku 4.8 pojedynczy pryzmat pentagonalny umożliwia wyznaczenie kąta prostego poprzez zgranie widocznego w pryzmacie na tle powierzchni zwierciadlanej obrazu tyczki ustawionej w punkcie B oraz tyczki w punkcie P, stojącej przed obserwatorem i widzianej przez niego bezpośrednio. Jeśli węgielnicą zawiera tylko jeden pryzmat, to nie widzimy tyczki znajdującej się po drugiej stronie obserwatora, czyli tyczki A, a więc nie możemy sprawdzić czy punkt P’ stanowiący spodek prostopadłej, rzeczywiście znajduje się na prostej AB. Aby obserwator mógł samodzielnie wtyczyć się na prostą AB węgielnica musi posiadać dwa pryzmaty pentagonalne (rys. 4.7), ustawione symetrycznie względem siebie, jeden na drugim. Węgielnica dwupryzmatyczna, pięciokątna umożliwia jednoczesne widzenie obrazów obu bocznych tyczek, które obserwator po wtyczeniu się na prostą doprowadza do koincydencji (rys. 4.9). Odbywa się to poprzez powolne przesuwanie się obserwatora z węgielnicą do przodu lub do tyłu w kierunku prostopadłym do prostej AB. Jeśli kierunek przemieszczania się jest właściwy, wówczas obrazy tyczek bocznych zaczynają się stopniowo schodzić aż do uzyskania efektu koincydencji. Wytyczenie punktu pośredniego następuje „ze środka” prostej (ściślej: z wnętrza odcinka). Punkt ten jest więc wierzchołkiem kąta 180°. Koincydencja trzeciej, prostopadłej tyczki, widzianej okiem nieuzbrojonym przez obserwatora patrzącego na wprost, świadczy o zrealizowaniu prostopadłości: PP’ i AB, która zachodzi podczas wykonania jednego z dwóch zadań polegających na:

• wystawieniu prostopadłej P'P z danego punktu pośredniego P' na prostej AB (tj. dany jest punkt P', wyznaczany P),

• rzutowaniu prostokątnym danego punktu P na prostą AB (dany jest punkt P, zaś wyznaczany P').

Rys. 4.10. Zgrywanie tyczek podczas pracy węgielnicą: a) poprawne: b) niewłaściwe.

Realizując pierwsze zadanie obserwator ustawia się nad uprzednio zaznaczonym punk­tem pośrednim P^/ i za pomocą umówionych sygnałów naprowadza pomocnika z tyczką na kierunek prostopadły. W drugim zadaniu tyczka na prostopadłej jest stała, zaś pożądany efekt zgrania trzech tyczek obserwator uzy­skuje poprzez własne przemieszczanie się z węgielnicą wzdłuż prostej AB. Po sprowa­dzeniu obrazów tyczek do pokrycia ostrze pionu zawieszonego na uchwycie węgielnicy wskazuje na prostej AB położenie rzutu pro­stokątnego P'.

Prawidłowe wyniki tyczenia węgielnicą otrzymuje się tylko przy pionowym ustawieniu wszystkich tyczek oraz samej węgielnicy (rys. 4.10a). Brak pionowości tych elementów, zwłaszcza niepionowe trzymanie węgielnicy w dłoni powoduje odchylanie się od pionu obrazów tyczek widzianych w pryzmatach co utrudnia obserwację efektu koincydencji (rys. 4.10b) i znacznie obniża dokładność tyczenia.

Węgielnicę można również wykorzystać do wytyczenia punktów pośrednich łuku kołowego o niewielkiej średnicy, której końce zostały zasygnalizowane tyczkami (rys. 4.11). Jedną z nich obserwator widzi bezpośrednio przed sobą, zaś drugą jako obraz w węgielnicy. Po przemieszczeniu się obserwatora tak, by nastąpiło zgranie tyczek, ostrze pionu węgielnicy wskaże punkt położony na łuku kołowym.

Dokładność wyznaczenia kierunku prostopadłego węgielnicą zależy od precyzji wykonania przyrządu oraz widoczności poszczególnych tyczek. W korzystnych warunkach oświetleniowych i terenowych błąd bezwzględny dα wyznaczenia kąta prostego węgielnicą waha się w granicach od ±1' do ±3', co odpowiada liniowemu wychyleniu poprzecznemu Δ, o wartości proporcjonalnej do długości prostopadłej d. Kąt dα wyrażony w minutach wyniesie:

$$d\alpha = \frac{}{d}\rho'$$

Wychylenie poprzeczne prostopadłej określimy więc wzorem:

$= d\frac{\text{dα}}{\rho'}$ (4.2)

Po podstawieniu do wzoru (4.2) danych: długość prostopadłej d = 50m oraz błąd odłożenia kąta prostego dα = ± 3', otrzymamy wartość wychylenia poprzecznego: Δ ≅ 4,4cm

Rys. 4.11. Tyczenie łuku kołowego za pomocą węgielnicy