27. Wyprowadź wzór ze wzoru oraz z relacji Gibbs’a-Duhem’a

Przepisane z książki

Odnosi się do zjawiska dyfuzji – rozprzestrzeniania, mieszania się – kilku populacji (np zbioru cząstek)

Kiedy kilka populacji jednocześnie ulega dyfuzji to przepływ jednej polulacji wpływa na przepływ drugiej itd. czyli ich przepływy są sprzężone.

• Generacja entropii na jednostkę objętości powiązana z jednoczesną dyfuzją kilku populacji:

J_k – strumień masy populacji k

μ_k – potencjał chemiczny populacji k

(To chyba nie potrzebne ale było w książce...)

• W warunkach izotermicznych powiązane prawa liniowe?:

$$J_{i} = - \sum_{k}^{}\frac{L_{\text{ik}}}{T}\nabla\mu_{k}$$

• Dla jednoczesnej dyfuzji kilki populacji w warunkach izotermicznych mozna zapisać uogólnione prawo Fick’a w postaci:

$$J_{i} = - \sum_{k}^{}D_{\text{ik}}\nabla n_{k}(x)$$

D_ik – współczynnik dyfuzji (danego związku)

n_k(x) – koncentracja [1/m^3] składnika k w pozycji x.

• Relacja Gibbs’a-Duhem’a – określa związek między zmianami potencjałów chemicznych składników układu

$$\sum_{i = 1}^{I}{N_{i}\text{dμ}_{i}} = - SdT + Vdp$$

N_i – Ilość moli składnika i

dμ_i – nieskończenie mały przyrost potencjału chemicznego składnika i

• „Relacja Gibbs’a-Duhem’a mówi, że nie wszystkie potencjały chemiczne (czyli siły $- \frac{\nabla\mu_{k}}{T}$) są niezależne. Dla układu dwuskładnikowego, gdy T i p są stałe mamy:”

n₁dμ₁ + n₂dμ₂ = 0,       dμ_k = dr * ∇μ_k

$$n_{1}{\nabla\mu}_{1} + n_{2}\nabla\mu_{2} = 0,\ \ \ \ \ \ \nabla\mu_{2} = - \frac{n_{1}}{n_{2}}{\nabla\mu}_{1}$$

• Z tego wszystkiego liczymy dla układu dwuskładnikowego:

$$\sigma = - \sum_{k}^{}{J_{k}\frac{\nabla\mu_{k}}{T}} = - \left( J_{1}\frac{\nabla\mu_{1}}{T} + J_{2}\frac{\nabla\mu_{2}}{T} \right) = - \frac{1}{T}\left( J_{1}\nabla\mu_{1} + J_{2}\nabla\mu_{2} \right) = - \frac{1}{T}\left( J_{1}\nabla\mu_{1} - {\frac{n_{1}}{n_{2}}J}_{2}{\nabla\mu}_{1} \right)$$

$$\sigma = - \frac{1}{T}\left( J_{1} - {\frac{n_{1}}{n_{2}}J}_{2} \right)\nabla\mu_{1}$$