1. Sens fizyczny i zastosowanie efektu tunelowego.

Według mechaniki klasycznej cząstka taka nie może przejść przez tę barierę, bo w obszarze I nie ma wystarczającej energii aby pokonać barierę.

Według mechaniki kwantowej istnieje pewne prawdopodobieństwo przejścia cząstki przez barierę potencjału U₀, chociaż energia całkowita cząstki padającej na barierę potencjału jest mniejsza od wysokości bariery (E < U₀).

Zjawisko takie nazywamy efektem tunelowym albo tunelowaniem

Przy rozwiązywaniu zagadnienia tunelowania cząstki korzystamy z amplitudowego równania Schrödingera:

Efekt tunelowy został wykorzystany w 1982 roku przez Binninga i Rohrera do konstrukcji skaningowego mikroskopu tunelowego (ang. skrót STM). Idea STM opiera się na kwantowo-mechanicznym tunelowaniu elektronów z jednej elektrody (ostrze mikroskopu) do drugiej (badany materiał) przez próżniową barierę potencjału znacznie wyższą od energii tunelujących elektronów (obszar pomiędzy ostrzem a badanym materiałem).

1. Wnioski wynikające z rozwiązania równania Schrődingera dla atomu wodoru.

Wnioski wynikające z rozwiązania równania Schrödingera:

Liczby kwantowe: główna n = 1, 2, 3, 4, 5, ...

orbitalna l = 0, 1, 2,..., (n -1)

orbitalną magnetyczna m = 0, ±1, ±2,..., ±l

W atomie wodoropodobnym elektron ma dyskretne widmo energetyczne;

wartości własne energii elektronu

promień orbitalu

Kołowe orbity elektronowe są szczególnym przypadkiem możliwych kształtów

orbitali elektronowych.

Głównej liczbie kwantowej n może odpowiadać pewna liczba orbitali o różnej

symetrii, których kształt określa orbitalna liczba kwantowa l.

Określa ona również orbitalny moment pędu elektronu :

Elektron opisanym liczbą kwantową l = 0 nazywamy elektronem typu s, liczbą l = 1, elektronem typu p, liczbą l = 2, elektronem typu d, liczbą l = 3, elektronem typu f , itd.

Każdemu elektronowi możemy przypisać ruch obrotowy

dookoła jego własnej osi; moment pędu odpowiadający

temu ruchowi wynosi:

s = ±1/2 - jest liczbą kwantową odpowiadającą

spinowemu momentowi pędu

Gdy atomy emitują promieniowanie elektromagnetyczne w obecności zewnętrznego pola magnetycznego, obserwuje się, że dana linia widmowa rozszczepia się na podpoziomy; odległość między nimi zależy od wielkości pola magnetycznego. Rozszczepienie to nosi nazwę zjawiska Zeemana.

Kierunek ustawienia wektora momentu pędu L w stosunku do zewnętrznego pola magnetycznego H jest skwantowany

Rzut wektora momentu pędu L na kierunek pola magnetycznego

m_l - orbitalna magnetyczna liczba kwantowa

Podobnie:

przestrzenna kwantyzacja spinowego momentu pędu L_s w kierunku pola magnetycznego H jest opisana spinową magnetyczną liczbą kwantową m_s = ±1/2 rzut spinowego momentu pędu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego jest opisany wzorem

1. Układy krystalograficzne i sieci Bravais’a, powstawanie i podział.

Sieć zbudowana w wyniku równoległego przemieszczenia (translacji) dowolnego węzła w trzech kierunkach nazywa się siecią translacyjną lub siecią Bravais’go.

Istnieje 14 różnych sieci Bravais’go, które dzielą się na 7 układów krystalograficznych

Układy krystalograficzne (7)	Sieci Bravais’go (14)
1. Układ regularny	1. komórka prosta 2. komórka centrowana przestrzennie 3. komórka centrowana ściennie
2. Układ tetragonalny	4. komórka prosta 5. komórka centrowana przestrzennie
3. Układ rombowy •	6. komórka prosta 7. komórka centrowana przestrzennie 8. komórka centrowana ściennie 9. komórka centrowana w podstawach
4. Układ jednoskośny	10. komórka prosta 11. komórka centrowana w podstawach
5. Układ trójskośny	12. komórka prosta
6. Układ heksagonalny	13. komórka prosta
7. Układ trygonalny	14. komórka prosta

1. Komórka prosta i elementarna, ilość atomów w komórce elementarnej.

Równoległościan zbudowany z wektorów translacji a, b, c nazywamy komórką elementarną. Ilość atomów przypadająca na komórkę elementarną, w zależności od położenia atomu:

• wewnątrz komórki - 1 atom

• na ścianie - 1/2 atomu

• na krawędzi - 1/4 atomu

• w narożu - 1/8 atomu

Do opisu komórki elementarnej kryształu należy znać sześć parametrów:

- trzy krawędzie komórki (a, b, c) – wektory translacji

- trzy kąty między nimi (α, β, γ)

Parametry te jednoznacznie określają całą sieć krystalograficzną.

Równoległościan zbudowany z tych wektorów nazywamy komórką elementarną.

Jeśli komórka elementarna zawiera węzły atomy tylko w swoich narożach, nazywa się komórką prostą. Na komórkę prostą zawsze przypada jeden atom.

1. Symetria, makroskopowe i strukturalne elementy symetrii.

Symetria jest właściwością figury geometrycznej, polegająca na tym, że przy określonych zmianach położenia figury, nowe położenia pokrywają się ściśle z położeniami pierwotnymi.

Przekształceniem symetrycznym nazywamy operację symetrii doprowadzającą do ścisłego nałożenia się części lub całej figury na siebie.

Przekształceniami symetrycznymi są:

- obroty wokół osi symetrii

- odbicie w płaszczyźnie symetrii

- przesunięcia

- inwersja

Symetria kryształów - prawidłowe powtarzanie się w przestrzeni jednakowych pod względem geometrycznym i fizycznym ścian, krawędzi i naroży

Symetria sieci krystalicznej - prawidłowe powtarzanie się w przestrzeni atomów, jonów lub cząsteczek, prostych sieciowych, płaszczyzn i komórek elementarnych

Makroskopowe elementy symetrii w krystalografii:

- środek symetrii

- oś symetrii (1, 2, 3, 4, ?, 6-cio krotna)

- płaszczyzna symetrii (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ?, 9 płaszczyzn)

? kryształy nie posiadają 5-cio krotnej oś symetrii, ponieważ nie mogłyby osiągnąć

minimum energii potencjalnej, nie posiadają również 8. płaszczyzn symetrii

Strukturalne elementy symetrii:

- translacja (przesuwanie punktu, zbioru punktów lub figury o określony odcinek, po drogach równoległych)

- śrubowa oś symetrii (złożenie działania osi symetrii i równoległej do niej translacji)

1. Defekty punktowe – podział i objaśnienie.

A) Defekty Frenkla:

a) powstawanie atomów międzywęzłowych oraz luk przy wewnętrznym odparowaniu,

b) powstawanie atomów międzywęzłowych oraz luk na skutek przejścia atomów powierzchni do wnętrza kryształu

B) Defekty Schottky’ego:

a) powstawanie luki na skutek „całkowitego wyparowania” atomu z powierzchni,

b) powstawanie luki na skutek „częściowego wyparowania”atomu

Defekt Frenkla i Schottky’ego wywierają duży wpływ na procesy zachodzące w krysztale. Stają się one centrami rozpraszającymi nośniki ładunku. Wywierają zatem silny wpływ na właściwości optyczne, magnetyczne, mechaniczne czy dynamiczne kryształów.

Defekt Frenkla

powstawanie atomów międzywęzłowych oraz luk przy wewnętrznym odparowaniu oraz na skutek przejścia atomów z powierzchni do wnętrza kryształu

Defekt Schottky’ego

powstawanie luk na skutek „całkowitego lub częściowego wyparowania” atomu z powierzchni

C) Błędy ułożenia

Błędy ułożenia są kolejnym bardzo powszechnym defektem strukturalnym. Polegają na tym, że jedna płaszczyzna sieciowa jest przesunięta w stosunku do innej płaszczyzny o pewien wektor, który nie jest współmierny z żadnym wektorem translacji danego kryształu. Zaburzenie takie występuje w strukturach o gęstym upakowaniu np. w metalach.

D) Centra barwne

Centa barwne są szczególnym rodzajem defektów typu chemicznego. Występują w kryształach jonowych, powodując specyficzne zabarwienie tych kryształów. Obecność takiego defektu powoduje pojawienie się dodatkowego ładunku elektrycznego, którego wartość i znak zależą do rodzaju defektu. Centrami barwnymi mogą być elektrony (zastępujące aniony) zamknięte w anionowych węzłach sieci lub dziury elektronowe w pobliżu węzła kationowego. Do centrów barwnych można zaliczyć też elektrony zlokalizowane w pobliżu dodatnich jonów domieszek.

• Centra barwne są to defekty (punktowe) w krysztale, które absorbują światło z zakresu widzialnego

• Centra barwne często powstają wskutek napromieniowania kryształu.

Promieniowanie może być naturalne lub sztuczne. Promieniowanie wybija elektron z jakiegoś atomu a defekt (np. brak jonu ujemnego) wiąże ten elektron. Układ związany: defekt i elektron może absorbować światło.

E) Wzbudzenia kryształu

Specyficznym rodzajem defektów sieci krystalicznej są różnego rodzaju wzbudzenia kryształów. Wykazują one właściwości zbliżone do właściwości korpuskularnych i dlatego mogą być traktowane jako tzw. quasi-cząstki.

Przykładem mogą być drgania cieplne sieci krystalicznej nazywane fononami lub lokalne deformacje sieci wywołane elektronami przewodnictwa.

1. Defekty liniowe – dyslokacje, rdzeń dyslokacji.

Dyslokacja jest bardzo ciekawym obiektem fizycznym. Jej istnienie powoduje, że każde ciało, również niemetaliczne, można z łatwością deformować plastycznie.

Dyslokacja odgrywa istotną rolę w największych ze wszystkich deformacji spotykanych na Ziemi – podczas wstrząsów tektonicznych. Dawniej powodowały one powstawanie kontynentów, dzisiaj powodują przesuwanie się mas lądowych.

Defekty liniowe, zwane dyslokacjami, mają jeden wymiar znacznie większy w porównaniu z dwoma pozostałymi. Wokół nich następuje zniekształcenie sieci.

Dyslokacje:różnią się orientacją, sposobem powstawania i własnościami, wprowadzają zaburzenie układu atomów ułatwiające ich przesuwanie się względem siebie pod wpływem naprężeń, a więc umożliwiają odkształcenie plastyczne, są ośrodkami nagromadzenia energii odkształcenia, odgrywają rolę w dyfuzji, przemianach fazowych, korozji i innych procesach.

Przez dyslokację będziemy rozumieli defekt w budowie sieci krystalicznej danego kryształu, polegający na przesunięciu dowolnego obszaru sieci krystalicznej względem pozostałej części tak by została zachowana spójność sieci, a jej ciągłość była zaburzona tylko wzdłuż jednej linii – linii dyslokacyjnej.

Typ oddziaływań	Typ wiązań
Silne	Kowalencyjne (walencyjne)
	Jonowe
	Metaliczne
Słabe	Wodorowe
	Molekularne (van der Waalsa)

Rozróżnia się dwa zasadnicze rodzaje defektów liniowych: dyslokację krawędziową i dyslokację śrubową. Pierwszą odkryli w 1934 r. Taylor, Orowan i Polanyi, drugą w 1939 r. – Burgers.

1. Wiązania w ciałach stałych i cząsteczkach.

Przy omawianiu budowy ciał stałych pojawia się zagadnienie sił wiązania, które utrzymują poszczególne atomy czy jony w krysztale. Rozróżniamy 5 typów takich wiązań. Wszystkie typy wiązań mają wspólne elektromagnetyczne pochodzenie, ale pomiędzy nimi nie ma ostrych granic. Różnica między typami wiązań polega na rozkładzie elektronów wokół atomów i cząsteczek, które tworzą kryształ.

Wiązanie kowalencyjne (walencyjne)

Jest podstawowym wiązaniem chemicznym. W fizyce ciała stałego pojawia się w grupie półprzewodników, występuje też w wielu izolatorach. W wiązaniu kowalencyjnym, siły przyciągania powstają w wyniku koncentracji elektronów wzdłuż linii łączącej sąsiednie jądra atomowe (spiny elektronów w wiązaniu są antyrównoległe). Siły odpychania, podobnie jak we wszystkich ciałach stałych, powstają dzięki oddziaływaniu wynikającemu z zakazu Pauliego (spiny równoległe).

Charakterystyczne właściwości materiałów posiadających wiązanie kowalencyjne:

związki te charakteryzują się bardzo wysoką twardością

posiadają wysokie temperatury topnienie i wrzenia

dla czystych materiałów mają słabe przewodnictwo w niskich temperaturach

nie rozpuszczają się w popularnych rozpuszczalnikach

w stanie skroplonym nie ulegają dysocjacji elektrolitycznej

reakcja chemiczne między tymi związkami polegają na rozrywaniu wiązań i

tworzeniu innych, nowych wiązań

w stanie stałym tworzą sieć krystaliczną zbudowaną z atomów lub cząsteczek

Wiązanie jonowe

Wiązanie jonowe jest wiązaniem wynikającym z elektrostatycznego oddziaływania jonów o ładunkach przeciwnych znaków. Kryształy jonowe są utworzone z dodatnich i ujemnych jonów. Jony są tak rozmieszczone, że kulombowskie siły przyciągania pomiędzy jonami o przeciwnych znakach są większe od sił odpychania pomiędzy jonami o tych samych znakach.

Charakterystyczne właściwości materiałów posiadających wiązanie jonowe.

silna absorpcja w podczerwieni

• dla czystych materiałów słabe przewodnictwo prądu w stanie stałym i w niskich
  temperaturach

dobre przewodnictwo prądu w stanie ciekłym i wysokich temperaturach

w stanie stałym tworzą jonową sieć krystaliczną, która jest elektroobojętnym

zbiorem kationów i anionów

są twarde i posiadają wysoką temperaturę topnienia

rozpuszczają się w rozpuszczalnikach polarnych

Wiązanie metaliczne

Wiązanie metaliczne jest uwarunkowane obecnością elektronów przewodnictwa, zachowujących się podobnie jak elektrony swobodne, tworzące gaz elektronowy. Elektrony te oddziałują z dodatnimi jonami sieci, tworząc swoisty rodzaj wiązania, nie występujący w cząsteczkach.

Wiązanie metaliczne może istnieć tylko w stanie stałym lub ciekłym (rtęć).

Charakterystyczne właściwości materiałów posiadających wiązanie metaliczne.

dobre przewodnictwo elektryczne i cieplne

połysk, plastyczność (kowalność, ciągliwość)

zdolność do emisji termoelektrycznej i fotoelektrycznej

ujemny temperaturowy współczynnik przewodnictwa elektrycznego

Wiązanie wodorowe

Wiązanie wodorowe ma charakter wiązania jonowego. Stanowi ważną część oddziaływania pomiędzy cząsteczkami H₂O i jest odpowiedzialne za niezwykłe właściwości wody i lodu

Wiązanie wodorowe w decydujący sposób wpływa na kształt przestrzenny i rozmiary
geometryczne wielu makrocząsteczek, szczególnie białek i kwasów nukleinowych

Jest bardzo istotne w procesach polimeryzacji (powstawanie grup cząsteczek z wielu

cząsteczek) kwasu fluorowodoru i kwasu mrówkowego

Jest odpowiedzialne za łączenie się dwóch łańcuchów cząsteczki DNA

Powstaje pomiędzy atomami o największej elektroujemności: np. F, O, Cl, N, C

Wiązanie molekularne (van der Waalsa)

Natura sił van der Waalsa jest elektrostatyczna. Pojawiają się one jako skutek oddziaływań powłok elektronowych atomów i cząsteczek. Istotne są dwie wielkości charakteryzujące te powłoki: dipolowy moment elektryczny oraz polaryzowalność określająca wartość indukowanego przez zewnętrzne pole elektryczne momentu dipolowego atomu lub cząsteczki.

1. Charakterystyka odmian polimorficznych węgla.

Struktura grafitu powstaje w wyniku powiązania warstw siłami van der Waalsa. Warstwy mogą się względem siebie łatwo przemieszczać przez poślizg, co powoduje, że grafit jest miękki i może być wykorzystywany jako smar, a ze względu na swój czarny kolor również jako ołówek.

Podobną sytuację mamy w węglowych nanorurkach, można je w pierwszym przybliżeniu traktować jak walcowato zwinięte warstwy grafitowe; gdyby udało się zrobić z nich makroskopowe włókna, to miałyby one olbrzymią wytrzymałość na zerwanie.

Diament możemy otrzymać z grafitu w wyniku przemiany fazowej, zachodzącej pod wpływem działania bardzo wysokiego ciśnienia i temperatury.

Każdy atom C tworzy wiązania kowalencyjne nie z trzema, jak w przypadku grafitu, ale z czterema sąsiadami. Powstaje silnie związana struktura trójwymiarowa, nadająca diamentowi specjalne właściwości: przezroczystość, twardość i duży współczynnik załamania światła (stąd zastosowania jubilerskie).

Fullereny, są stabilnymi kryształami cząsteczkowymi, układającymi się w regularną strukturę zwarcie upakowanych cząsteczek, przypominających puste piłki. Każdy atom węgla w takiej cząsteczce ma, podobnie jak w graficie, trzech sąsiadów, tworzących jednak nie płaszczyznę, jak w przypadku grafitu, ale powiązaną kowalencyjnie sferyczną powłokę. Kryształy fullerenów są trwałe, łatwo rozpuszczalne, temperatura sublimacji w próżni wynosi ok. 400°C. Są miękkie jak grafit, lecz przy ściskaniu wykazują twardość podobną do diamentu.

Grafen – dwuwymiarowa warstwa węgla Grubość materiału wynosi jeden atom, tę formę określa się jako dwuwymiarową (dokładniej dwuwymiarową strukturę atomów węgla ułożonych w sieć heksagonalną). Długość wiązań węgiel-węgiel wynosi ok. 1,42 Å, czyli 0,142 nanometra. Atomy węgla tworzą w grafenie płaską, praktycznie dwuwymiarową siatkę o sześciokątnych oczkach, której struktura przypomina plaster miodu.

1. Badania struktury kryształów – opis metod.

• metody dyfrakcyjne analizuje się przestrzenny rozkład intensywności ugiętych fal

• metody mikroskopowe ugięte fale można zogniskować za pomocą soczewek, zmusić do interferencji i w wytworzyć obraz badanego obiektu

• metody spektroskopowe analizuje się skład widmowy emitowanych fal w pewnym kierunku

W skaningowym mikroskopie tunelowym pomiędzy ostrze a próbkę przykłada się niewielkie napięcie, a mierzonym sygnałem jest prąd tunelowy

Metody neutronowe stosowane są do badania struktury kryształów magnetycznych, ponieważ moment magnetyczny neutronów oddziałuje z momentem magnetycznym elektronów w badanym krysztale, a w niemetalach – z jądrami atomów.

Dyfrakcja rentgenowska Promieniowanie rentgenowskie jest wytwarzane:

• przez hamowanie elektronów na antykatodach metalowych,

• przez niesprężyste wzbudzanie elektronów powłokowych atomów antykatody

Metoda Laue’go. Źródło promieniowana daje wiązkę promieni rentgenowskich w zakresie od 0.2 Å do 2 Å. Szczelina formuje wiązkę dobrze skolimowaną. Wymiary próbki mogą być rzędu 1 mm³. Klisze są tak ustawione aby mogły rejestrować ugięte wiązki promieniowania przechodzącego i odbitego.

Metoda obracanego kryształu

W doświadczeniu Laue’go stosuje się zmienną długość fali, natomiast w tej metodzie stosuje się wiązkę monochromatyczną, ale rozwiązanie równań Laue’go realizowane jest poprzez ciągłą zmianę kątów, które tworzy promień padający z osiami krystalograficznymi.

Metoda proszkowa (Debye’a – Scherrera)

Schemat komory proszkowej Debye’a – Scherrera, którą stosujemy do badania materiałów polikrystalicznych (proszkowych). Wśród wielu ziarenek proszku o statystycznej orientacji przestrzennej, znajduje się takie ziarenka, dla których będzie spełniony warunek Bragga.

Każda płaszczyzna odbijająca w krysztale wybiera z wiązki padającej taką długość fali, aby spełnić równania Bragga :

1. Sens fizyczny sieci odwrotnej, konstrukcja geometryczna.

Sieć odwrotna ułatwia interpretację obrazów dyfrakcyjnych uzyskiwanych metodami: rentgenografii, elektronografii i neutronografii. Pojęcie sieci odwrotnej wykorzystuje się również w teorii pasmowej ciała stałego do opisania ruchu elektronów w polu krystalicznym.

Ruchy elektronów i ewentualnie ich odbicia od płaszczyzn sieciowych kryształu zachodzą w sieci rzeczywistej, natomiast związane z tym ruchem zmiany energii, wektory falowe itp. bada się w sieci odwrotnej.

Sieć odwrotna jest tworem geometrycznym abstrakcyjnym, sprzężonym przestrzennie i wymiarowo z rzeczywistą siecią krystaliczną.

Podstawowe właściwości sieci odwrotnej:

Sieć odwrotna jednoznaczne odpowiada krystalograficznej sieci przestrzennej,

niezależnie od wyboru wektorów translacji podstawowej

Istnieje jednoznaczne przyporządkowanie kierunków sieci przestrzennej i sieci

odwrotnej do niej,

nie ma natomiast odpowiedniości między węzłami zerowymi (początkowi układu sieci

odwrotnej odpowiada płaszczyzna sieci przestrzennej nieskończenie odległa od jej

węzła zerowego)

Sieć przestrzenna i sieć odwrotna należą do tego samego układu krystalograficznego

Objętość komórki elementarnej sieci przestrzennej V i objętość sieci odwrotnej V ^*

spełniają zależność V V ^* = (2π)³

Konstrukcja geometryczna

Z dowolnego węzła sieci przestrzennej – przyjętego za początek układu osi współrzędnych – prowadzimy normalne do wszystkich płaszczyzn sieciowych zgodnie z warunkiem sprzężenia przestrzennego a^* x b = a^* x c = b^* x c = b^* x a = c^* x a = c^* x b = 0

Następnie, zgodnie z warunkiem sprzężenia wymiarowego

| a^* | = 1/ d₁₀₀ | b^* | = 1/ d₀₁₀ | c^* | = 1/ d₀₀₁ odkłada się na normalnych, licząc od punktu początkowego sieci odwrotnej, odcinki o długości 1/ d_hkl. Na ich końcach znajdują się punkty, zwane węzłami sieci odwrotnej, reprezentujące odpowiednie płaszczyzny sieci krystalograficznej.

1. Powstawanie fononów akustycznych i optycznych.

Drgania akustyczne nie różnią się w istotny sposób od drgań powstających w jednorodnym łańcuchu atomowym. Zawierają całe widmo drgań dźwiękowych, które są możliwe do wzbudzania w łańcuchu dwuatomowym. Dominują w niskich temperaturach dzięki małej energii potrzebnej do wzbudzania. Energia tych drgań jest proporcjonalna do pędu niesionego przez nie. Drgania akustyczne charakteryzują się tym, że znikają dla wektora falowego równego zero (k = 0). Wówczas częstotliwość drgań akustycznych jest proporcjonalna do wektora falowego k

Drgania akustyczne odgrywają podstawową role przy określaniu cieplnych właściwości kryształów

Drgania optyczne pojawiają się nie tylko w kryształach o dwóch różnych rodzajach atomów. Powstają również, gdy kryształ zbudowany jest z tego samego rodzaju dwóch, przenikających się łańcuchów atomowych. Wówczas drgania optyczne powstają w wyniku drgań jednego łańcucha atomowego względem drugiego. Drgania optyczne odgrywają podstawową rolę w procesach oddziaływania światła z kryształem. Powodują rozsuwanie się w sieci sąsiednich atomów, wywołując powstawanie elektrycznych momentów dipolowych, z którymi może oddziaływać promieniowanie elektromagnetyczne.

Drgania akustyczne i optyczne mogą być, ze względu na kierunek wychyleń atomów sieci krystalicznej w stosunku do kierunku rozchodzenia się drgania, drganiami podłużnymi lub poprzecznymi.

drgania optyczne (drgania w przeciwnej fazie) fonony optyczne

drgania akustyczne (drgania w zgodnej fazie) fonony akustyczne

1. Porównanie założeń modeli ciepła właściwego ciał stałych.

MODELE:

klasyczny

Einsteina

Debye’a

dla wysokich temperatur - wszystkie modele dają podobne wyniki

dla niskich temperatur - model klasyczny jest niepoprawny

MODEL KLASYCZNY

Ciepło właściwe uzyskuje się w wyniku różniczkowania energii

wewnętrznej sieci krystalicznej względem temperatury.

Określmy zatem całkowitą energię wewnętrzną drgań sieci krystalicznej

Założenia:

- wszystkie drgania normalne to klasyczne oscylatory harmoniczne

- są one niezależne od siebie

- wszystkie drgają z taką samą częstotliwością

MODEL EINSTEINA

Założenia:

- wszystkie drgania normalne to kwantowe oscylatory harmoniczne

- dla trójwymiarowej sieci krystalicznej, złożonej z N atomów,

przyjmuje się 3N niezależnych drgań

- wszystkie drgają z taką samą częstotliwością

Przez kwantowe oscylatory harmoniczne rozumiemy nie oddzielne atomy, lecz drgania kolektywne sieci krystalicznej nazywane fononami, czyli kwantami drgań cieplnych

MODEL DEBYE’A

Założenia:

- wszystkie drgania normalne to kwantowe oscylatory harmoniczne

- jednemu wektorowi falowemu q odpowiadają 3 fonony, spolaryzowane

we wzajemnie prostopadłych kierunkach (1LA + 2TA)

- częstotliwość drgań oscylatorów harmonicznych jest proporcjonalna do

wektora falowego w całym zakresie zmienności - ω = vq

1. Model Debye’a ciepła właściwego ciał stałych.

MODEL DEBYE’A

Założenia:

- wszystkie drgania normalne to kwantowe oscylatory harmoniczne

- jednemu wektorowi falowemu q odpowiadają 3 fonony, spolaryzowane

we wzajemnie prostopadłych kierunkach (1LA + 2TA)

- częstotliwość drgań oscylatorów harmonicznych jest proporcjonalna do

wektora falowego w całym zakresie zmienności - ω = vq

15. Polaryzowalność ciał stałych ?

W wyniku oddziaływania promieniowania z materią indukuje się elektryczny moment dipolowy

α - polaryzowalność cząsteczki

charakteryzuje zdolność powłok elektronowych atomu (chmury elektronowej) do ulegania deformacji pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego

jest związana z ruchliwością elektronów cząsteczki (atomu)

jest funkcją kształtu i wielkości cząsteczki i ma wymiar objętości

wartość polaryzowalności jest zawsze różna od zera i jest różna dla różnych kierunków w cząsteczce − mniejsza polaryzowalność dla wiązania pojedynczego, większa dla wiązań wielokrotnych (istnieją również cząsteczki posiadające jednakowe wartości polaryzowalności we wszystkich kierunkach − są to cząsteczki izotropowe)

Polaryzowalność całkowitą α można rozdzielić na trzy części:

polaryzowalność dipolowa α_d, zależna do orientacji cząsteczki lub atomu

polaryzowalność elektronowa α_e i polaryzowalność atomowa (jonową) α_a,

obie zależne od deformacji

w materiałach niejednorodnych pojawia się jeszcze polaryzowalność związana z niejednorościami, która powstaje w wyniku gromadzenia się ładunku na granicach obszarów niejednorodnych (defekty punktowe, granice ziaren, dyslokacje, linie dyslokacyjne).

Polaryzowalność ta nie ma znaczenia fizycznego, lecz jest istotna w praktyce, ponieważ większość materiałów izolacyjnych jest niejednorodna.

16.  Statystyki kwantowe i klasyczna?

Jakie są zatem różnice pomiędzy statystyką klasyczną Maxwella-Boltzmana (M-B) a statystykami kwantowymi Bosego-Einsteina (B-E) i Fermiego-Diraca (F-D)?

Statystyka klasyczna Maxwella-Boltzmana:

Cząsteczki gazu doskonałego są cząsteczkami bardzo małymi, podlegają prawom mechaniki klasycznej

Stan dowolnej cząsteczki jest jednoznacznie określony przez podanie

współrzędnych położenia i prędkości lub pędów

Cząsteczki gazu odznaczają się indywidualnością, która pozwala odróżnić daną cząsteczkę od innych

• Przestawienie miejscami dwóch cząsteczek znajdujących się w różnych stanach jest połączone z przejściem układu z jednego stanu do drugiego

Dla statystyk kwantowych Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca obowiązują następujące założenia:

znaczenie fizyczne mają jedynie takie cząstki, których rozmiary komórek elementarnych nie są mniejsze od ħ³

wszystkie cząstki są identyczne, przestawienie dwóch cząstek miejscami nie prowadzi do nowego stanu

Rozkład Fermiego - Diraca dla elektronów swobodnych

Energia elektronów ściśle związanych z atomami jest skwantowana. Zmiany temperatury nie mogą spowodować zmian poziomów energetycznych elektronów związanych z atomami (średnia energia kinetyczna atomu w temperaturze pokojowej wynosi ok. 0,025 eV) Elektrony zewnętrzne (elektrony swobodne) są bardzo słabo związane z atomami i mogą swobodnie poruszać się wewnątrz metalu w przestrzeni między atomami.

Dla elektronów swobodnych metal jest swego rodzaju studnią potencjału. Aby elektrony mogły wyjść ze studni, muszą wykonać pracę, potrzebną na pokonanie sił wiązania, utrzymujących je w metalu.

17. Rozkład Fermiego-Diraca dla elektronów w metalu.

Energia elektronów ściśle związanych z atomami jest skwantowana. Zmiany temperatury nie mogą spowodować zmian poziomów energetycznych elektronów związanych z atomami (średnia energia kinetyczna atomu w temperaturze pokojowej wynosi ok. 0,025 eV)

Elektrony zewnętrzne (elektrony swobodne) są bardzo słabo związane z atomami i mogą swobodnie poruszać się wewnątrz metalu w przestrzeni między atomami.

Dla elektronów swobodnych metal jest swego rodzaju studnią potencjału. Aby elektrony mogły wyjść ze studni, muszą wykonać pracę, potrzebną na pokonanie sił wiązania, utrzymujących je w metalu.

Poziomem Fermiego w metalu nazywamy ostatni obsadzony poziom energetyczny

17. Powstawanie pasm energetycznych – model silnie związanych elektronów.

17. Pojęcia strefy Brillouina, pojęcie dziury.

17. Sens fizyczny masy efektywnej.

Masa efektywna elektronu

Zawsze w krysztale dla elektronów musi istnieć pasmo energii dozwolonej oraz pasmo energii zabronionej.

Ruch elektronu w krysztale różni się od ruchu elektronu swobodnego tym, że wewnątrz kryształu zachodzi oddziaływanie pomiędzy poruszającymi się elektronami a atomami czy jonami kryształu. Można udowodnić, że ruch elektronu wewnątrz kryształu należy traktować jak ruch swobodnego elektronu w próżni, przypisując mu masę efektywną m^*. Masa ta jest z reguły mniejsza od masy elektronu swobodnego.

Jest ona pojęciem teoretycznym, może zatem być zarówno dodatnia, jak i ujemna.

Wzór ten definiuje masę efektywną elektronu poruszającego się w polu okresowym sieci. Oczywiście dla elektronu swobodnego otrzymamy, że jego masa efektywna jest równa masie elektronu m^* = m.

17. Energia Fermiego dla metalu i półprzewodnika.

Z przedstawionych rozważań wynika, że poziom Fermiego dla półprzewodników jest zdefiniowany jako poziom oddzielający stany całkowicie zapełnione w półprzewodniku od stanów całkowicie pustych.

Przez stany całkowicie zapełnione należy rozumieć pasmo walencyjne dla półprzewodników samoistnych lub poziom donorowy dla półprzewodników typu n. Natomiast przez stany całkowicie puste należy rozumieć pasmo przewodnictwa dla półprzewodników samoistnych lub poziom akceptorowy dla półprzewodników typu p.

?

17. Podział i powstawanie półprzewodników.

Podział półprzewodników

typ nośników prądu : a) półprzewodniki elektronowe b) półprzewodniki jonowe

W półprzewodnikach jonowych nośnikami prądu są jony. Nie znajdują one zastosowania, bo ciągły ruch jonów prowadzi do zniszczenia półprzewodnika. Półprzewodniki elektronowe, w których nośnikami prądu są elektrony i dziury mają praktyczne znaczenie

Półprzewodniki elektronowe

1. półprzewodniki samoistne b) półprzewodniki domieszkowe

Przewodnictwo w półprzewodnikach samoistnych jest uwarunkowane przejściem elektronów z zapełnionego pasma walencyjnego do pustego pasma przewodnictwa.

W półprzewodnikach domieszkowych przewodnictwo jest uwarunkowane różnicą energetyczną poziomów atomu kryształu i atomu domieszki. W półprzewodnikach domieszkowych istnieją poziomy domieszkowe, tzn. donorowe i akceptorowe, warunkujące przewodnictwo takiego półprzewodnika

Poziom Fermiego w półprzewodnikach będzie oddzielał stany obsadzone od stanów pustych

17. Położenie poziomów Fermiego dla półprzewodnika samoistnego, typu n i typu p.

?