Liczbą g nazywamy granicą f przy x dążącym do +∞ jeżeli dla każdego x argumentów (x_n) rozbieżnego do +∞ odpowiadającego mu ciąg wartości funkcji (f(x_n)) jest zawsze zbieżne do g.

f(x) = g

Jeżeli g jest równe +∞ lub -∞ to mówimy że g jest granicą niewłaściwą.

f (x) =   ± ∞ < −(f(x_n)) -> rozbieżny ciąg wartości

Przy wyznaczaniu granic funkcji można wykorzystywać wszystkie twierdzenia dotyczące granic ciągów. Jednakże dodatkowo:

1. $\operatorname{}{(1 + {\frac{1}{x})}^{x} = e}$

2. $\operatorname{}{\frac{\sin x}{x} = 1}$

3. $\operatorname{}{\frac{\text{sinkx}}{\text{kx}} = 1}$

4. $\operatorname{}{\frac{\text{sinkx}}{x} = k}$

Przykłady:

Wyznacz granice funkcji

1. $\operatorname{}{\frac{2x + {3x}^{2}}{5 - x} = \frac{\frac{2x}{x} + \frac{{3x}^{2}}{x}}{\frac{5}{x} - \frac{x}{x}} = \frac{2 - 3x}{\frac{5}{x} - 1} = \frac{2 + \infty}{0 - 1} = \frac{\infty}{- 1} = - \infty}$

2. $\operatorname{}{\left( x^{2} + {2x}^{2} - x + 5 \right) = \ x^{3}\left( 1 + \frac{{2x}^{2}}{x^{3}} - \frac{3x}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}} \right) = \ x^{3}\left( 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}} \right) = \ - \infty*1 = - \infty}$

3. ${\operatorname{}{2\frac{x + 3}{2x - 1} = 2}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

$\operatorname{}{\frac{x + 3}{2x - 1} = \ \frac{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{2x}{x} - \frac{1}{x}} = \ \frac{1 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x}} = \ \frac{1}{2}}$

1. $\operatorname{}{\ln{\frac{x^{2} + 3x + 5}{x^{2} + 2} = \ \ln{(\operatorname{}{\frac{x^{2} + 3x + 5}{3^{2} + 2}) = \ \ln =}}}}$1

$\operatorname{}{\frac{x^{2} + 3x + 5}{x^{2} + 2} = \ \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}} = \ \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x}}{1 + \frac{2}{x^{2}}} = \frac{1}{1} = 1}$

1. $\operatorname{}{(\sqrt{x - 2}} + \sqrt{x}) = \ \infty + \infty = \infty$

2. $\operatorname{}{\left( \sqrt{x^{2} + 2} - x \right) = \ + \infty - \left( - \infty \right) = + \infty + \infty = \infty}$

3. $\operatorname{}{({\frac{x + 6}{x})}^{x} = \left( 1 + \frac{6}{x} \right)^{x} = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = e} = {(1 + \frac{1}{\frac{x}{6}})}^{x} = {{\lbrack(1 + \frac{1}{\frac{x}{6}})}^{\frac{x}{6}}\rbrack}^{- 6} = \ e^{6}$

4. $\operatorname{}{\frac{sim3x}{5x} = \left( \frac{sin3x}{x}*\frac{1}{5} \right) = \ \frac{sin3x}{x}*\frac{1}{5} = 3*\frac{1}{5} = \frac{3}{5}}$

5. $\operatorname{}{\left( \frac{sin3x}{3x}*\frac{3}{5} \right) = \frac{sin3x}{3x}*\frac{3}{5} = 1*\frac{3}{5} = \frac{3}{5}}$

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej.

Niech będzie określona funkcja f w przedziale a, b. niech x a, b należy do przedziału a, b oraz x+x też należy do przedziału gdzie x jest to przyrost argumentu x.

Ilorazem różnicowym nazywamy wyrażenie postaci:

$\frac{f\left( x + x \right) - f(x)}{x}$ <- iloraz różnicowy.

Granica przy x dążącym do ilorazu różnicowego jest pochodną funkcji f.

$\operatorname{}{\frac{f\left( x + x \right) - f(x)}{x} = f^{'}(x)}$

f(x+x)

f(x)

f(przyrost funkcji)

f(x)

a x x+x b

Wyznaczyć definicje funkcji:

F(x+x)=2(x+x)² − 3(x+x) + 4 =  

$\operatorname{}\frac{2(x + {x)}^{2} - 3\left( x + x \right) + 4 - (2x^{2} - 3x + 4)}{x}$ =

$\operatorname{}\frac{2(x^{2} + 2*x*x + \left( {x)}^{2} \right) - 3x - 3x + 4 - 2x^{2} + 3x - 4}{x}$ =

$\operatorname{}{\frac{{2x}^{2} + 4xx + 2(x)^{2} - 3x - 2x^{2}}{x} = 4x - 3}$

Pochodne wybranych funkcji

1. C=0

2. (a*x)’ = c

3. (x^k)’= k*x^k-l

4. ($\frac{1}{x})' = \frac{1}{x^{2}}$

5. (${\sqrt{x}}^{1x} = \ \frac{1}{2\sqrt{x}}$

6. (a^x)’ = a^x*lna

7. (e^x)’ = e^x

8. (log_a x)’ = $\frac{1}{x*\text{lna}}$

9. (ln_x)’ = $\frac{1}{x}$

10. (sin x)’ = cos x

11. (cos x)’ = -sin x

12. (tg x)’ = $\frac{1}{\operatorname{}x}$

13. (ctg x)’ $\frac{- 1}{\operatorname{}x}$

Szczegóły różniczkowania (liczenia pochodnych)

1. (f (x) +g(x))’ = f’(x)+g’(x)

2. (f*g)’ = f’* g+ f*g’

3. $\left( \frac{f}{g} \right)^{'} = \ \frac{f^{'}*g - f*g'}{g^{2}}$

4. (c*f(x))^′ =  c * f^′(x)

Wyznaczyć Pochodne następujących funkcji.

1. f(x) =x⁶ − 4x⁵ + 5x − 12 + lnx

f’(x)=(x⁶-4x⁵+5x-12+lnx)’= (x⁶)’ – (4x⁵)’ +(5x)’ –(12)’+(lnx)’= (x⁶)’ -4*(x⁵)’+(5x)’+(12)’ +(lnx)’ = 6*x⁵-4*5x²+5-0+$\frac{1}{x}$= 6x⁵-20x⁴+5+$\frac{1}{x}$

1. f(x)= 2x²-3x+4

f’(x)=(2x²)’-(3x)’+4’=2*2x-3+0=4x+3

1. f(x)=tgx+ e^x

f’(x)=(tgx)’+(ex)’=$\frac{1}{\text{co}s^{2}x}$ +e^x

1. f(x)=$\sqrt[5]{x^{2}} = x^{\frac{2}{5}}$

f’(x)=$x^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}*x^{\frac{2}{5} - 1}$=$\frac{2}{5}*x^{- \ \frac{3}{5}}$

1. f(x) = $\frac{1}{x^{101}} = x^{101}$

f’(x)=(x⁻¹⁰¹)′ = ( − 101_*x^{−101 − 1}=(-101)*x^-102=-101*$\frac{1}{x^{102}}$

1. f(x)= 5^x*(2x+3)

f’(x)= (5^x)’ * (2x+3)+5^x*(2x+3)’ = 5^xln5*(2x+3)+5^x*2

1. f(x) = cos x *sin x

f’(x) =(cos x)’ * sin x+ cos x*(sin x)’ = -sin x *sin x+ cos x* cos x= -sin²x+cos²x

1. f(x) = $\frac{\sin x}{\cos\text{\ x}}$

f(x)= $\frac{(\sin{x)'*cos\ x - sin\ x*(\cos{x)'}}}{({\cos{x)}}^{2}} = \ \frac{\cos{x*\cos{x - \sin{x*\sin x}}}}{c\text{os}^{2}x} = \ \frac{\cos^{2}x - sin^{2}x}{\operatorname{co}x} = \ \frac{1}{\cos^{2}x}$

Pochodne wyższych rzędów

Jeżeli pochodna f’(x) istnieje w każdym punkcie pewnego przedziału i jest w nim różniczkowana to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną).

f’’(x)

(f’(x))’ = f’’(x)= f⁽²⁾(x)

(f’’(x))’ = f’’’(x)

(f’’’(x))’ = f’^V(x)

Wyznacz piątą pochodną funkcji

f(x)= 3x⁴+5x²+2x+4

f(x)=+*4x³+5*2x+2+0=12x³+10+2

f’’(x)= 12+3x²+10+0=36x²+10

f’’’(x)= 36+12x+0=72x

f’^v=72

f^v=0

MAX MAX MAX MAX

MAX MAX

MAX

X₂ X₄

X₁ X₃ X₅

MIN

MIN MIN MIN

MIN MIN

Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremu).

Jeżeli funkcja f różniczkowalna w przedziale a, b ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne (MIN lub MAX) to f(x₀) = 0

Warunek pierwszy: (dotyczy istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f ciągła w punkcie x₀ oraz na pochodną f’(x) w otoczeniu punku x₀ oraz:

1. następuje zmiana znaku z „-„ na „+” w otoczeniu punku x₀ funkcja f ma w punkcie x₀ na MIN lokalne

2. następuje zmiana znaku z „+” na „-„ w otoczeniu punktu x₀ to funkcja f ma w punkcie x₀ MAX lokalne

Warunek II dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum.

Jeżeli funkcja f spełnia następujące założenia:

1. ma pochodną f’’(x) w otoczeniu x₀

2. f’’(x) Gryga pochodna jest ciągłą w punkcie x₀

3. f(x) pierwsza = 0 oraz druga pochodna jest różne od zera to funkcja osiąga MAX lokalne jeżeli druga pochodna jest większa od zera to funkcja osiąga MIN lokalne.

Wyznaczamy pochodną f(x) f’(x) f’(X) = 0 =>wyznaczamy punkty x0 podejrzane o istnienie w nich ekstremów
I warunek dostateczny (rysunek pochodnej f’(x) „+” x0 „-„ = f(x0) „-„ x0 „-„ = f(x0)

Przykład:

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

1. f(x)= x³-$\frac{9}{2}x^{2} - 12x + 7$

f’(x)=2x²-$\frac{9}{2}*2x - 12 + 0 = 3x^{2} - 9x - 12$

f’(x) = 0 3x²-9x-12=0

x²-3x-4=0

a=1, b= -3 , c= -4

=b² − 4ac =   − 3² − 4 * 1 * (−4) = 9 + 16 = 25

X₁=$\frac{- b - \sqrt{}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2*1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{- 2}{2}$ produkty podejrzewane o istnienie ekstremo

X₂ = $\frac{- b + \sqrt{}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\backslash t$ x=-1

-1 4

W otoczeniu punktu x=-1 pochodna zmienia znak z „+” na „-„ tzn. że funkcja w tym punkcie osiąga MAXIMUM

MIN= f(x₀)=4³-$\frac{9}{2}*4^{2} - 12*4 + 7 = - 49$

1. f’’(x)=(3x²-9x-12)’= 3*2x-9-0=6x-9

f’’(-1)=6*(-1)-9=15<0w= -1MAX=13$\frac{1}{2}$

f’’(4) = 6*4-9=15>0 w=4 MIN=-49