1. OPTYMALNY PLAN PRODUKCJI

1.1 Znaczenie parametrów

a_ij - jednostkowe zużycie i-tego środka produkcji

b_i - maksymalne dostępne zasoby i-tego środka produkcji w rozważanym okresie czasu,

C_j - zysk jednostkowy dla wyrobu j-tego rodzaju

1.2 Zmienne decyzyjne:

x_j - wielkość produkcji j-ego wyrobu

1.3 Ogólny model matematyczny

c1x1 +c2x2 + … cnxn -> max (łączny zysk ze sprzedaży wyrobów)

przy ograniczeniach

rzeczywiste zużycie

środków produkcji <=

maksymalne dostępne zasoby

środków produkcji

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n <= b1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n <= b2

am1x1 + am2x2 + … amnxn <= bm

x1 >= 0, x2 >=0 … xn >=0 ilości wyrobów nie mogą być ujemne

1.4 Słowny opis zadania

Należy określić, które wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając posiadanych zasobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk ze sprzedaży tychże wyrobów w pewnym ustalonym okresie czasu.

2. OPTYMALNA DIETA

2.1 Znaczenie parametrów

a_ij - zawartość i-tego składnika odżywczego na jednostkę j-tego produktu

b_i – minimalne wymagane spożycie i-tego składnika odżywczego w rozważanym okresie

c_j - cena jednostkowa dla j-tego produktu

2.2 Zmienne decyzyjne

X_j - wielkość zakupu (i spożycia) j-ego produktu spożywczego.

2.3 Ogólny model matematyczny

c1x1 +c2x2 + … cnxn -> min (łączny koszt zakupu produktów)

przy ograniczeniach

rzeczywiste spożycie

składników odżywczych <=

minimalne wymagane spożycie

składników odżywczych

rzeczywiste spożycie

składników odżywczych >=

maksymalne dopuszczane spożycie

składników odżywczych

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n >= b1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n >= b2

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n <= d1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n <= d2

am1x1 + am2x2 + … amnxn >= bm

am1x1 + am2x2 + … amnxn <= dm

x1 >= 0, x2 >=0 … xn >=0

ilości składników nie mogą być ujemne

2.4 Słowny opis zadania

Należy zaplanować, które produkty spożywcze i w jakich ilościach należy zakupić aby zminimalizować łączne koszty ich zakupu w rozważanym okresie, dostarczając przy tym co najmniej tyle składników odżywczych, ile wymagają normy.

3. OPTYMALNA MIESZANKA

3.1 Znaczenie parametrów

a_ij – zawartość procentowa i-tego składnika w jtej mieszance „składowej”

b_i / d_i – minimalne wymagane/maksymalne dopuszczalne zawartości procentowe i-tego

składnika w mieszance „docelowej”

c_j – cena jednostkowa dla j-tej mieszanki „składowej”

3.2 Zmienne decyzyjne

X_j – ilość j-tej mieszanki „składowej”

3.3 Ogólny model matematyczny

c1x1 +c2x2 + … cnxn -> min (łączny koszt 1 jednostki mieszanki docelowej)

przy ograniczeniach

rzeczywista % zawart składników w mieszance docelowej <=

minimalna wymagana zawartość % składników w mieszance docelowej

rzeczywista % zawart składników w mieszance docelowej =>

maksymalna dopuszczalna zawartość % składników w mieszance docelowej

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n >= b1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n >= b2

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n <= d1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n <= d2

am1x1 + am2x2 + … amnxn >= bm

am1x1 + am2x2 + … amnxn <= dm

lub w wesji „dokładnej” !

rzeczywista % zawart składników w mieszance docelowej =

wymagana zawartość % składników w mieszance docelowej

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n = b1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n = b2

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n = d1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n = d2

am1x1 + am2x2 + … amnxn = bm

am1x1 + am2x2 + … amnxn = dm

x1 >= 0, x2 >=0 … xn >=0

ilość mieszanek składowych nie mogą być ujemne

x1 + x2 + … xn = 1

ilości mieszanek „składowych”

muszą się sumować do 1 (1 jednostki mieszanki „docelowej”)

3.4 Słowny opis zadania

Należy zaplanować, które mieszanki „składowe” i w jakich ilościach (lub udziałach procentowych) należy zakupić aby zminimalizować łączny koszt 1 jednostki mieszanki „docelowej”, zapewniając przy tym, że zawartości składników w mieszance „docelowej” będą takie jak przewidują wymagania (dolne lub górne normy, lub równe tym normom w przypadku wersji dokładnej)

4. OPTYMALNY ROZKRÓJ – MIN LICZBA POCIĘTYCH PÓŁFABRYKATÓW4.1 Znaczenie parametrów

a_ij – liczba detali i-tego typu otrzymanych po pocięciu półfabrykatu na j-ty sposób

b_i – wymagana liczba detali, która ma powstać po pocięciu półfabrykatów

c_j – ilość odpadów przypadająca na j-ty sposób cięcia

4.2 Zmienne decyzyjne

X_j – liczba półfabrykatów pociętych na j-ty sposób

4.3 Ogólny model matematyczny

x1 +x2 + … xn -> min (łączna liczba pociętych półfabrykatów)

przy ograniczeniach

rzeczywiste liczby wyprodukowanych detali <=

minimalne wymagane liczby detali

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n >= b1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n >= b2

am1x1 + am2x2 + … amnxn >= bm

lub w wesji „dokładnej” !

x1 +x2 + … xn -> min (łączna liczba pociętych półfabrykatów)

c1x1 +c2x2 + … cnxn -> min (łącznea liczba odpadów)

rzeczywiste liczby wyprodukowanych detali =

wymagane liczby detali

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n = b1

a21x2 + a22x2 + … a2nx2n = b2

am1x1 + am2x2 + … amnxn = bm

x1 >= 0, x2 >=0 … xn >=0

ilości pociętych półfabrykatów nie mogą być ujemne

x1, x2, xn – liczby całkowite

liczba pociętych półfabrykatów musi być całkowita

4.4 Słowny opis zadania

Należy zdecydować, ile półfabrykatów należy pociąć na każdy ze sposobów, aby zminimalizować łączną liczbę pociętych półfabrykatów (+ łączna liczbę odpadów w wersji dokładnej) produkując przy tym co najmniej zadaną liczbę detali wszystkich wymaganych typów.

5. OPTYMALNY ROZKRÓJ – MAX LICZBA KOMPLETÓW

5.1 Znaczenie parametrów

a_ij – liczba detali i-tego typu otrzymanych po pocięciu półfabrykatu na j-ty sposób

b_i – wymagana liczba detali, która ma powstać po pocięciu półfabrykatów

c_j – ilość odpadów przypadająca na j-ty sposób cięcia

d₁ – liczba stuk detali typów 1…n jakie wchodzą w skład kompletu

5.2 Zmienne decyzyjne

X_j – liczba półfabrykatów pociętych na j-ty sposób

Z – liczba wyprodukowanych kompletów

5.3 Ogólny model matematyczny

Z -> max (liczba wyprodukowanych kompletów detali)

przy ograniczeniach

rzeczywiste liczby wyprodukowanych detali <=

wymagana liczby detali (liczba szt kompletów x liczba szt w komplecie)

a11x1 + a12x2 + … a1nx1n = d1z

am1x1 + am2x2 + … amnxn >= dmz

5.4 Słowny opis zadania

Należy zdecydować, ile półfabrykatów należy pociąć na każdy ze sposobów, aby zmaksymalizować liczbę kompletów detali.

6. ZADANIE TRANSPORTOWE

6.1 Znaczenie parametrów

d_i – możliwości dostawców

o_i – zapotrzebowanie odbiorców

c_ij – koszty przewiezienia jednostki towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

6.2 Zmienne decyzyjne

X_ij – ilość towaru przewieziona od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

6.3 Ogólny model matematyczny

c11x11 + c12x12 + … c1nx1n +

c21x21 + c22x22 + … c2nx2n + …

cm1xm1 + cm2xm2 + … cmnxmn -> min (łączny koszt przewiezienia całego towaru na wszystkich trasach)

przy ograniczeniach

a) zadanie zbilansowane

warunki bilansowe dla dostawców

od każdego z dostawców będzie wywieziony towar

x11 + x12 + … x1n = d1

x12 + x22 + … x2n = d2

xm1 + xm2 + … xmn = dm

warunki bilansowe dla odbiorców

każdy z odbiorców dostanie tyle towaru ile potrzebuje

x11 + x12 + … xm1 = o1

x12 + x22 + … xm2 = o2

xm1 + xm2 + … xmn = on

b) nadmiar u dostawców

warunki bilansowe dla dostawców

przynajmniej od jednego z dostawców nie będzie wywieziony cały towar

x11 + x12 + … x1n <= d1

x12 + x22 + … x2n <= d2

xm1 + xm2 + … xmn <= dm

warunki bilansowe dla odbiorców

każdy z odbiorców dostanie tyle towaru ile potrzebuje

x11 + x12 + … xm1 = o1

x12 + x22 + … xm2 = o2

xm1 + xm2 + … xmn = on

c) nadmiar u odbiorców

warunki bilansowe dla dostawców

od każdego z dostawców będzie wywieziony towar

x11 + x12 + … x1n = d1

x12 + x22 + … x2n = d2

xm1 + xm2 + … xmn = dm

warunki bilansowe dla odbiorców

przynajmniej jeden z odbiorców nie dostanie tyle towaru ile potrzebuje

x11 + x12 + … xm1 <= o1

x12 + x22 + … xm2 <= o2

xm1 + xm2 + … xmn <= on

X_ij >= 0, i=1…m, j=1…n

ilość towaru nie może być ujemna

6.4 Słowny opis zadania

Należy zaplanować, ile towaru należy przewieźć po każdej z tras, aby zminimalizować koszty przewozu w rozważanym okresie wykorzystując przy tym możliwości dostawców i zaspokajając potrzeby odbiorców

7. ZADANIE TRANSPORTOWO-PRODUKCYJNE

7.1 Znaczenie parametrów

d_i – możliwości dostawców

o_i – zapotrzebowanie odbiorców

c_ij – koszty przewiezienia jednostki towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

b_i – koszty jednostkowe produkcji towaru u dostawców-producentów

7.2 Zmienne decyzyjne

X_ij – ilość towaru przewieziona od i-tego producenta-dostawcy do j-tego odbiorcy

7.3 Ogólny model matematyczny

(łączny koszt przewiezienia towaru na wszystkich trasach)

(c11x11 + c12x12 + … c1nx1n +

c21x21 + c22x22 + … c2nx2n + …

cm1xm1 + cm2xm2 + … cmnxmn) +

[łączny koszt wyprodukowania całego towaru u wszystkich

producentów]

[b1(x11 + x12 + … x1n) +

b2 (x21 + x22 + … x2n) + …

bm(xm1 + xm2 + … xmn)] -> min

przy ograniczeniach

warunki bilansowe dla dostawców

przynajmniej od jednego z dostawców-producentów

nie będzie wywieziony cały towar

x11 + x12 + … x1n <= d1

x12 + x22 + … x2n <= d2

xm1 + xm2 + … xmn <= dm

warunki bilansowe dla odbiorców

każdy z odbiorców dostanie tyle towaru ile potrzebuje

x11 + x12 + … xm1 = o1

x12 + x22 + … xm2 = o2

xm1 + xm2 + … xmn = on

X_ij >= 0, i=1…m, j=1…n

ilość towaru nie może być ujemna

7.4 Słowny opis zadania

Należy opracować taki plan przewozu jednorodnego produktu od m-producentów do n-odbiorców aby wykorzystać możliwości dostawców i zaspokoić potrzeby odbiorców minimalizując przy tym koszt wyprodukowania i przewiezienia towaru.

8. STANOWISKA PRACY

8.1 Znaczenie parametrów

a_ij – miara efektywności dla i-tego pracownika na j-tym stanowisku

8.2 Zmienne decyzyjne

X_ij – wskaźnik przyjmujący wartość 1 lub 0, określa czy i-ty pracownik jest przydzielony do j-tego stanowiska

8.3 Ogólny model matematyczny

a11x11 + a12x12 + … a1nx1n +

a21x21 + a22x22 + … a1nx2n + …

am1m1 + am2xm2 + … amnxmn -> min (lub max)

przy ograniczeniach

a) liczba pracowników = liczba stanowisk

każdy pracownik jest przydzielony do dokładnie 1 stanowiska

x11 + x12 + … x1n = 1

… Xm1 + xm2 + … xmn = 1

każde stanowisko jest obsadzone przez dokładnie 1 pracownika

… X11 + x21 + … xm1 = 1

… X1n + x2n + … xmn = 1

b) liczba pracowników > liczba stanowisk

każdy pracownik jest przydzielony do 1 stanowiska lub nieprzydzielony

… Xm1 + xm2 + … xmn <= 1

x11 + x12 + … x1n <= 1

każde stanowisko jest obsadzone przez dokładnie 1 pracownika

… X11 + x21 + … xm1 = 1

… X1n + x2n + … xmn = 1

c) liczba pracowników < liczba stanowisk

każdy pracownik jest przydzielony do dokładnie 1 stanowiska

…x11 + x12 + … x1n = 1

Xm1 + xm2 + … xmn = 1

każde stanowisko jest obsadzone przez 1 pracownika lub nieobsadzone

… X11 + x21 + … xm1 <= 1

…X1n + x2n + … xmn <= 1

X_ij >= 0, i=1…m, j=1…n