zastosowanie matematyki

1. Czy każdy sygnał okresowy w postaci funkcji czasu można aproksymować trygonometrycznym szeregiem Fouriera?

Nie, musi spełniać warunki Dirichleta opisane poniżej:

1. Słaby – istnienia trygonometrycznego szeregu Fouriera (to że jest bezwzględnie całkowalna)

T0|f(t)|dt < ∞ - jest skończona

2. Silny – warunek zbieżności, czyli skończona liczba maximów i minimów w punktach nieciągłości


$$f\left( t \right) = \operatorname{}{\sum_{n = 0}^{\infty}{c_{n}\cos{(nw_{0} + \varnothing_{n})}}}$$

a w punktach nieciągłości :


$$f\left( t \right) = \frac{f\left( t_{0^{-}} \right) + f(t_{0^{+}})}{2}$$

2. Co łączy trygonometryczny i wykładniczy szereg Fouriera i dlaczego w analizie procesów technicznych stosujemy obydwie postacie szeregu?

Szereg trygonometryczny i wykładniczy łączy zależności między ich współczynnikami, taka że:


$$d_{n} = \frac{1}{2}(a_{n} - jb_{n})$$

Trygonometryczna postać szeregu Fouriera stosowana jest do interpretacji fizycznej, wykładnicza do obliczeń.

3. Jaką zaletę ma zastosowanie transformacji Laplace’a w rozwiązywaniu wektorowych równań różniczkowych?

Stosując transformatę Laplace’a nie musimy obliczać bezpośrednio sumy macierzowej funkcji wykładniczej $e^{\text{At}} = I + At + A^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \ldots$, która jest swego rodzaju szeregiem nieskończonym.

4. Jaką rolę spełnia funkcja Lapunowa w analizie stabilności układów dynamicznych? Porównaj ją z energią mechaniczną wahadła

Funkcja Lapunowa spełnia rolę energii układu dynamicznego (jest „fikcyjną energią”) dla modeli matematycznych, dla których nie jest łatwe określenie rzeczywistej funkcji nazywanej energią układu dynamicznego. Energia mechaniczna wahadła, która jest funkcją dodatnio określoną, zmniejsza się w sposób ciągły, aż do osiągnięcia stanu równowagi. Oznacza to, że pierwsza pochodna energii całkowitej względem czasu jest ujemnie określona. Funkcja Lapunowa stanowi uogólnienie tego faktu. Jeżeli układ dynamiczny ma asymptotycznie stabilny punkt równowagi, to energia tego układu zmniejsza się ze wzrostem czasu, aż do osiągnięcia minimum w stanie równowagi.

5.Jakie działania na wzór ewolucji naturalnej występują w algorytmie genetycznym?

-selekcja

-krzyżowanie

-mutacja

6. Uzupełnij zdanie: Jeżeli wT(n)*u(n)<0 i u(n)ϵ L1 to w(n+1)=w(n)+η*u(n), gdzie  w(n) to współczynnik wagowy, η to korekta, u(n) to sygnał, L1 to podzbiór sygnałów którym przypisywana jest wartość y=1, a T oznacza transponowanie macierzy


Wyszukiwarka