1. Podstawowe prawa elektrodynamiki

1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

Prawo to wiąże zmiennie pole magnetyczne z indukowanym przez to pole polem elektrycznym.

$\overrightarrow{E}$ – natężenie pola elektrycznego L – dowolny zamknięty kontur (przewodnik)

φ_B – strumień indukcji pola pola magnetycznego przez powierzchnię S na konturze L

$\overrightarrow{B}$ – indukcja pola magnetycznego

1. Prawo Ampere’a

Prawo Ampere’a wiąże indukcję pola magnetycznego z wywołującymi je prądem elektrycznym oraz zmiennym polem elektrycznym.

L – dowolny zamknięty kontur (przewodnik) µ - przenikalność magnetyczna ośrodka

ε – przenikalność elektryczna ośrodka I – całkowity prąd elektryczny

φ_E – strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię S

1. Prawo Gaussa dla elektryczności

Prawo Gaussa łączy strumień pola elektrycznego z ładunkiem wytwarzającym to pole.

φ_E – strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię S

q – całkowity ładunek zawarty na powierzchni S

1. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Prawo to głosi, że nie istnieją żadne źródła pola magnetycznego.

φ_B – strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię S

1. Przekształcenie równań elektrodynamiki do równań stanu metodą Hamiltona

2. Opis stanowy układu, zmienne stanu, wektor wymuszeń, wektor odpowiedzi.

1. Opis stanowy układu

Opis układu za pomocą równań stanu to sposób na przedstawienie układu dynamicznego za pomocą modelu matematycznego. Można to (na podstawie prostego modelu RLC) przedstawić następująco:

$$\frac{dx_{1}}{\text{dt}} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} + f_{1}(t)$$

$$\frac{dx_{2}}{\text{dt}} = a_{21}x_{2} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} + f_{2}(t)$$

⋮               ⋮           ⋮                         ⋮              ⋮   

$$\frac{dx_{n}}{\text{dt}} = a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{\text{nn}}x_{n} + f_{n}(t)$$

Gdzie x₁, x₂, x_n oznaczają prądy cewek i napięcia kondensatorów (czyli zmienne stanu). W opisie układu używa się zazwyczaj najmniejszej możliwej liczby zmiennych stanów, które są niezbędne do wyznaczenia pozostałych wielkości w obwodzie. Funkcje czasu f(t) związane są z wymuszeniami napięciowymi i prądowymi w ukłądzie (czyli od napięcia i częstotliwości zasilania układu).

1. Zmienne stanu

Zmienne stanu związane są z obecnością w układzie urządzeń magazynujących (na przykład cewki magazynujące energię elektryczną w polu elektromagnetycznym, kondensatory magazynujące energię w swoim polu elektrycznym, sprężyny magazynujące energię mechaniczną). Liczba zmiennych stanu jest więc równa liczbie takich obiektów w układzie. Są to wielkości, które zawierają informacje o zachowaniu się obiektu. Zmienne stanu są zazwyczaj funkcjami czasu.

1. Wektor wymuszeń

Wektor wymuszeń (sygnałów sterujących/źródłówych) to wektor wielkości wejściowych układu, które odpowiadają za wymuszenie odpowiedniego stanu układu. Wektor ten w przypadku układu RLC można rozróżnić na wektor prądowy i napieciowy. Wektor prądowy jest równy wszystkim prądom wpływającym do danego węzła, a wektor napięciowy jest równy sumie sił elektromotorycznych w kolejnych oczkach układu.

Wektor wymuszeń można zapisać następująco:

$$y\left( t \right) = \begin{bmatrix} y_{1}\left( t \right) \\ y_{2}\left( t \right) \\ \ldots \\ y_{n}\left( t \right) \\ \end{bmatrix}$$

1. Wektor odpowiedzi

Wektor odpowiedzi (sygnałów wyjściowych) to odpowiedź układu na wektor weściowy (wektor wymuszeń). Wektor ten zależy zarówno od wektora wymuszeń jak i samego układu; jest on zależny od tego, w jaki sposób układ zamienia sygnały wejściowe.

Ogólna postać wektora wymuszeń to:

$$u\left( t \right) = \begin{bmatrix} u_{1}(t) \\ u_{2}(t) \\ \ldots \\ u_{n}(t) \\ \end{bmatrix}$$

1. Przejście z postaci stanowej do transmitancji, Transformata Laplace’a

1. Przejście z postaci stanowej do transmitancji

Transmitancja to częstotliwościowy model układu.

Transmitancją operatorową G(s) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a sygnału wejściowego do tej samej transformaty sygnału wejściowego:

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$

Gdzie Y(s) – transformata Laplace’a sygnału wejściowego

U(s) – transformata Laplace’a sygnały wyjściowego

Dla układu z jednym wejściem i jednym wyjściem związek pomiędzy równaniami stanu a transmitancją jest równy

G(s) = C(sI − A)⁻¹B+D

Gdzie A, B, C – macierze reprezentujące daną transmitancję G.

Dla układu rzędu n=2 macierze stanu można zapisać:

$$\mathbf{A =}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}/\alpha \\ a_{21}\alpha & a_{22} \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{B =}\begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{21}\alpha \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12}/\alpha \\ \end{bmatrix}$$

α ≠ 0,  α ∈ R

1. Transformata Laplace’a

Transformata Laplace’a służy do transformowania funkcji z funkcji czasu na funkcję częstotliwości i przedstawia tę funkcję na płaszczyźnie zespolonej s.

Transformatę Laplace’a zapisuje się:

F(s) = ℒ{f(t)}=∫₀^∞e^−stf(t)dt

1. Pozostałe transformacje układów dynamicznych

1. Postać opisu zero-biegunowego

2. Postać bikwadratowa

Postać bikwadratowa to szczególny przypadek transmitancji operatorowej drugiego rzędu. Wykorzystywana jest często w teorii filtrów. Jej postać to:

$$T\left( s \right) = \frac{L(s)}{M(s)} = \frac{b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0}}{s^{2} + a_{1}s + a_{0}}$$

Kiedy $M\left( s \right) = s^{2} + \frac{\omega_{0}}{Q}s + \omega_{0}^{2}$

Gdzie ω₀ - pulsacja środkowa (rezonansowa) filtru Q - dobroć filtru

a) Odpowiedź impulsowa układu

Odpowiedzią impulsową nazywamy odpowiedź układu na wymuszenie przez wysoki i krótki impuls na wejściu. Znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala przewidywać jak układ będzie reagował na każdy inny impuls na wejściu układu. Reakcją układu na impuls jest splotem (iloczynem) sygnału wejściowego (impulsu) oraz odpowiedzi impulsowej tego układu.

Dla układu opisanego równaniami staniu zachodzi równość:

Dla powyższego wzoru równanie odpowiedzi układu to:

1. Filtrowanie jako splot sygnału i odpowiedzi impulsowej układu

Dyskretna odpowiedź cyfrowego filtru liniowego na odpowiedź impulsową pozwala okreslić całkowicie właściwości tego filtru. W przypadku podania na wejście układu sygnału, który ma zostać przefiltrowany, sygnałem wyjściowym będzie splot (iloczyn) sygnału wejsciowego oraz odpowiedzi impulsowej układu, czyli de facto sygnał filtrowany jest poprzez mnożenie sygnału wejściowego z charakterystyczną dla filtru odpowiedzią impulsową.

1. Układy typu NOI i SOI – definicje i różnice.

NOI – Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej

SOI – Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej

SOI to nierekursywny filtr cyfrowy. Jego reakcja na pobudzenie jest równa w czasie dla wystepowania na wejściu filtru sygnału wejściowego o niezerowej wartości. W filtrach takich brak układów sprzężenia zwrotnego. Filtry SOI wymagają większych mocy obliczeniowych oraz więcej pamięci operacyjnej niż filtry NOI. Zaletami filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej są przede wszystkim:

- łatwiejsze zaprojektowanie filtra

- łatwe stworzenie filtra, który może pracować bardzo wydajnie równolegle z innymi filtrami tego samego typu

- łatwe jest osiągnięcie liniowej fazy (odpowiedź filtra nie jest przesunięta w fazie względem jego wymuszenia).

NOI to rekursywny filtr cyfrowy. Teoretyczna odpowiedź na krótki sygnał wejściowy może być nieskończenie długa za sprawą wykorzystywania sprzężenia zwrotnego. Filtry NOI zużywają mało pamięci, a ich wykonanie powoduje, iż ich złożoność obliczeniowa jest bardzo niska, co skutkuje mniejszą niż w filtrach SOI wymaganą mocą obliczeniową maszyny, na której uruchomiono filtr. Filtry NOI z reguły zniekształcają fazę sygnału, ich zaprojektowanie jest znacznie trudniejsze, a z racji ich rekursywności możliwa jest utrata stabilności filtru.