Wycena obligacji

$$P = \sum_{}^{}\frac{C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}$$

P – cena obligacji

C_t – dochód z tytułu posiadania obligacji

YTM – wymagana stopa zwrotu

Wartość kuponu

K = r × Wn

r – oprocentowanie

Wn – wartość nominalna

Wartość przyszła FV

FV = PV(1+r)ⁿ

Wartość przyszła wpływów

FV_n = K₁(1 + r_e)^n − 1 + K₂(1 + r_e)^n − 2 + … + K_n − 1(1 + r_e)¹ + K_n + Wn

FV_n – przyszła wartość wpływów

r_e – stopa reinwestycji

n – czas w latach do wykupu

Zrealizowana stopa dochodu

$$\text{RCY} = \sqrt[n]{\frac{FV_{n}}{P}} - 1$$

Duration – średni termin wykupu obligacji

$$D = \frac{\frac{1K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \ldots + \frac{n(K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{n}}}{P}$$

Zmiana wartości obligacji (duration)

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D\frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - \left( 1 + \text{YTM}_{0} \right)}{1 + \text{YTM}_{0}}$$

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}}\ lub\ P\ lub\ X\ czyli\ zmiana\ ceny$$

P₀ – cena obligacji przed zmianą YTM

P₁ – cena obligacji po zmianie YTM

YTM₀ – YTM przed zmianą

YTM₁ – YTM po zmianą

D – średni termin wykupu

Zmodyfikowany średni termin wykupu

$$MD = \frac{D}{(1 + \text{YTM}_{0})}$$

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - MD(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})$$

Duration portfela

$$D_{p} = \sum_{t = 1}^{n}{w_{i}D_{i}}$$

D_p – średni termin wykupu portfela obligacji

w_i – udział i-tej obligacji w portfelu

D_i – średni termin wykupu i-tej obligacji

n – każda obligacja w portfelu

Wypukłość obligacji

$$C = 0,5\frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t(t + 1)C_{t}}{(1 + YTM)^{t}}}{P(1 + YTM)^{2}}$$

Wypukłość obligacji (4 lata) – będzie podany na zaliczeniu

$$C = 0,5\left( \frac{\frac{1 \times 2 \times K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2 \times 3 \times K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \frac{3 \times 4 \times K}{{(1 + YTM)}^{3}} + \frac{4 \times 5 \times (K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{4}}}{P\left( 1 + YTM \right)^{2}} \right)$$

Zmiana wartości obligacji (duration + wypukłość obligacji)

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - MD\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right) + C\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right)^{2}$$

YTM₀ – YTM przed zmianą

YTM₁ – YTM po zmianie

Wycena akcji

$$P = \sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$

P – cena akcji

C_t – dochód z tytułu posiadania akcji w okresie t

YTM – wymagana stopa zwrotu inwestora

Model zdyskontowanych dywidend

$$P = \sum_{t = 1}^{\infty}\frac{D_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$

$$P = \frac{D_{1} + P_{1}}{(1 + {\text{YTM})}^{1}}$$

D₁ – dywidenda płacona po roku

P₁ – cena akcji po roku (sprzedaż)

Okres 4 - letni

$$P = \frac{D_{1}}{({1 + \text{YTM})}^{1}} + \frac{D_{2}}{({1 + \text{YTM})}^{2}} + \frac{D_{3}}{({1 + \text{YTM})}^{3}} + \frac{D_{4} + P_{4}}{({1 + \text{YTM})}^{4}}$$

Model stałej dywidendy

$$P = \frac{D}{\text{YTM}}$$

P – cena

D – poziom wypłaconej dywidendy

YTM – wymagana stopa zwrotu

Model stałego wzrostu dywidendy Gordona – Shapiro

$$P = \frac{D(1 + g)}{(YTM + g)}$$

g – stopa przyrostu dywidendy

Stopa zwrotu z inwestycji

$$R_{t} = \frac{P_{t} - P_{t - 1} + I}{P_{t - 1}}$$

I – dodatkowe wpływy z tytułu posiadania akcji (dywidendy)

Oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji

$$\overset{\overline{}}{R} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}R_{i}}{n}$$

$\overset{\overline{}}{R}$ - średnia stopa zwrotu z instrumentu

R_i - stopa zwrotu z i-tego okresu

n – liczba okresów (liczba policzonych stóp zwrotu)

Ryzyko jako wariancja stopy zwrotu

$$\sigma^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(R_{t} - \overset{\overline{}}{R})}^{2}}{n - 1}$$

σ² - wariancja stopy zwrotu

R_t - osiągnięta stopa zwrotu w czasie t

$\overset{\overline{}}{R}\ $- średnia stóp zwrotu

n – ilość obserwacji

Odchylenie standardowe

$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$

Oczekiwana stopa zwrotu portfela 2 - składnikowego

Rp = w₁R₁ + w₂R₂

w₁ – udział pierwszej akcji w portfelu

R₁ – oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji

w₂ – udział drugiej akcji w portfelu

R₂ – oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji

Ryzyko portfela akcji dwóch spółek (wzór będzie podany na teście)

S_p² = w₁²s₁² + w₂²s₂² + 2w₁s₁w₂s₂σ₁₂

s₁ – odchylenie standardowe pierwszej akcji

s₂ – odchylenie standardowe drugiej akcji

σ₁₂ – korelacja stóp zwrotu pierwszej i drugiej akcji

Portfele dwuskładnikowe przypadki szczególne

σ₁₂ = 1 Sp = w₁s₁w₂s₂

σ₁₂ = 0 $Sp = \sqrt{w_{1}^{2}s_{1}^{2} + w_{2}^{2}s_{2}^{2}}$

σ₁₂ = −1 Sp = |w₁s₁−w₂s₂|

Portfel o zerowym ryzyku tylko gdy σ = -1

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{1} + s}_{2}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}}{{s_{1} + s}_{2}}$

Krótka sprzedaż portfela dwuskładnikowego przypadki szczególne

σ₁₂ = 1 Sp = |w₁s₁+w₂s₂| w₁ ; W₂ – mogą być wartościami ujemnymi

Portfel o zerowym ryzyku

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{2} - s}_{1}}$ $w_{2} = \frac{{- s}_{1}}{{s_{2} - s}_{1}}$

Portfel o minimalnym ryzyku dla dowolnego współczynnika korelacji (wzór będzie podany na teście)

$w_{1} = \frac{s_{2}^{2} - s_{1}{\times s}_{2} \times \delta_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2{\times s}_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}^{2} - s_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2 \times s_{1}{\times s}_{2}{\times \delta}_{12}}$