KGKŚ i GW

Rok akad. NATALIA

2011/2012 BENDIG

sem II

SPRAWOZDANIE

TEMAT: OBLICZANIE WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTÓW POMIAROWEJ OSNOWY SYTUACYJNEJ I SZCZEGÓŁÓW TERENOWYCH

Data ćwiczenia
Data oddania
Ocena
Podpis

Politechnika Łódzka

Katedra Geodezji, Kartografii Środowiska i Geomertrii

Wykreślnej

ĆWICZENIA

Z GEODEZJI INŻYNIERYJNEJ

Natalia Bendig

1	2	3	4	5	6

Rok akad. 2011/2012

GRUPA X1

Temat: Ocena dokładności pomiarów.

Zadanie 1.

Długość odcinka AB pomierzono sześciokrotnie, uzyskując następujące wyniki:
l₁=218,42 cm

l₂=218,39 cm

l₃=218,42 cm

l₄=218,43 cm

l₅=218,40 cm

l₆=218,44 cm

Obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną odcinka i jej błąd średni, a także błąd średni pojedynczego pomiaru.

v_i=l-l_i

li [m]	vi	vivi
l1=218,42	-0,003	0,000009
l2=218,39	0,027	0,000729
l3=218,42	-0,003	0,000009
l4=218,43	-0,013	0,000169
l5=218,40	0,017	0,000289
l6=218,44	-0,023	0,000529
	$$\sum_{i = 1}^{n}v_{i} = 0$$	$$\sum_{i = 1}^{n}{v_{i}v_{i}} = 0,001734$$

$$\sum_{}^{}{v = 0,002 \approx 0}$$

$$\sum_{}^{}{v_{i}v_{i} = 0,001734}$$

1. wartość najbardziej prawdopodobna

$L = \frac{\sum_{i = 1}^{5}l_{i}}{6} = 218,417$ [m]

ocena dokładności:

1. błąd średni pojedynczego pomiaru.

$m_{\text{li}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{v_{i}v_{i}}}{n - 1}} = \ \sqrt{\frac{0,001734}{5}} = \pm 0,019\ $[m]

1. błąd średni wyniku pomiaru.

$m_{L} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{v_{i}v_{i}}}{n(n - 1)}} = \sqrt{\frac{0,001734}{30}} = \pm 0,008$ [m]

Wynik końcowy:

Długość odcinka AB wynosi 218,417 m z błędem średnim ±0,008 m.

L_AB=(218,417±0,008) m.

Zadanie 2.

Długość odcinka AB pomierzono czterokrotnie, przy czym każdy z pomiarów został wykonany z inną dokładnością.

l₁=218,42 m m₁=±0,10

l₂=218,39 m m₂=±0,08

l₃=218,42 m m₃=±0,12

l₄=218,43 m m₄=±0,16

Obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną długości odcinka oraz jej błąd średni, a także błąd średni typowego pomiaru i błędy średnie poszczególnych pomiarów po wyrównaniu.

przyjmijmy c=0,10²

$$p_{i} = \frac{c}{m_{l}^{2}}$$

$$p_{1} = \frac{{0,10}^{2}}{{0,10}^{2}} = 1$$

$$p_{2} = \frac{{0,10}^{2}}{{0,08}^{2}} = 1,563$$

$$p_{3} = \frac{{0,10}^{2}}{{0,12}^{2}} = 0,694$$

$$p_{4} = \frac{{0,10}^{2}}{{0,16}^{2}} = 0,391$$

$$\sum_{}^{}p_{i} = 3,648$$

$$\sum_{}^{}{p_{i}v_{i}} = - 0,00044 \approx 0$$

$$\sum_{}^{}{p_{i}v_{i}v_{i}} = 0,0011592$$

Gdzie: p_i- waga pomiaru,

L – wartość najbardziej prawdopodobna.

li	mi	pi	vi	pivi	pivivi
l1=218,42	m1=±0,10	1	-0,01	-0,01	0,001
l2=218,39	m2=±0,08	1,563	0,02	0,03126	0,0006252
l3=218,42	m3=±0,12	0,694	-0,02	-0,01388	0,0002776
l4=218,43	m4=±0,16	0,391	-0,02	-0,00782	0,0001564
		$$\sum_{i = 1}^{n}p_{i} = 3,648$$		$$\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}v_{i}} \approx 0$$	$$\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}v_{i}v_{i}} = 0,0011592$$

1. ogólna średnia arytmetyczna:

$L = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{l_{i}p_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}p_{i}} = 218,410$ [m]

Ocena dokładności:

1. błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej:

$m_{L} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}v_{i}v_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}p_{i}(n - 1)}} = \sqrt{\frac{0,0011592}{10,944}} = \pm 0,010$ [m]

1. błąd średni typowego pomiaru:

$m_{0} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}v_{i}v_{i}}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{0,0011592}{3}} = \pm 0,020$ [m]

1. błędy średnie kolejnych pomiarów (po wyrównaniu):

$$m_{i} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}v_{i}v_{i}}}{p_{i}(n - 1)}}$$

$m_{1} = \sqrt{\frac{0,0011592}{1 \bullet 3}} = \pm 0,020$ [m]

$m_{2} = \sqrt{\frac{0,0011592}{1,563 \bullet 3}} = \pm 0,016$ [m]

$m_{3} = \sqrt{\frac{0,0011592}{0,694 \bullet 3}} = \pm 0,024$ [m]

$m_{4} = \sqrt{\frac{0,0011592}{0,391 \bullet 3}} = \pm 0,031$ [m]

Wynik końcowy:

Długość odcinka AB wynosi 218,410cm z błędem średnim ±0,010.
L_AB= (218,410±0,010) m

Zadanie 3.

Na potrzeby wyznaczenia kubatury obiektu w kształcie prostopadłościanu zmierzono trzy wymiary tego obiektu uzyskując następujące wyniki:

a= 108,00 m m₁=±0,10 m

a= 208,00 m m₂=±0,20 m

a= 33,00 m m₃=±0,05 m

Obliczyć kubaturę obiektu i błąd średni wyznaczenia tej kubatury. Ocenę dokładności podać także w postaci błędu względnego.

1. Kubatura

V = a • b • c = 741312 [m³]

1. Błąd średni wyznaczenia kubatury

$$m_{V} = \sqrt{\left( \frac{\partial V}{\partial a} \right)^{2} \bullet m_{a}^{2} + \left( \frac{\partial V}{\partial b} \right)^{2} \bullet m_{b}^{2} + \left( \frac{\partial V}{\partial c} \right)^{2} \bullet m_{c}^{2}} = \ \sqrt{\left( \text{bc} \right)^{2} \bullet m_{a}^{2} + \left( \text{ac} \right)^{2} \bullet m_{b}^{2} + \left( \text{ab} \right)^{2} \bullet m_{c}^{2}}$$

$$m_{V} = \ \sqrt{471144,96 + 508083,84 + 1261578,24} = \ \sqrt{2240807,04} = 1496,9325\ {\lbrack m}^{3}\rbrack$$

1. Ocena dokładności w postaci błędu względnego

$$\frac{m_{V}}{V} = \ \frac{1}{495,221} \approx 0,20\%$$

Wynik końcowy:
V=741312±1497 m³