Asymetria (skośność) w szeregach statystycznych

1. Współczynnik asymetrii klasyczny

K_S1 = ^{1/N suma (x1 - średnia arytmetyczna) 3}

S³

Dla szeregu szczegółowego.

2. Współczynnik asymetrii K_s2

K_S2 = ^{średnia arytmetyczna - Modalna}

S

3. Współczynnik asymetrii (dla mediany):

K_Q = ^{(Q3 - Me) - (Me - Q1)}

(Q3 - Me) + (Me - Q1)

K_Q = ^{Q3 + Q1 - 2Me}

Q3 - Q1

4. Odstęp międzykwartylowy:

IQR = Q3 - Q1 nie może mieć wartości ujemnej!

5. Wykres pudełkowy:

Są na nim przedstawione podstawowe statystyki opisowe takie jak:

1. Mediana;

2. Dolny kwartyl;

3. Górny kwartyl;

4. Najmniejszy wynik obserwacji;

5. Największy wynik obserwacji.

6. Elementami wykresu „pudełka z wąsami”:

Dolna krawędź pudełka odpowiada kwartylowi pierwszemu Q1. Natomiast górna trzeciemu kwartylowi Q3. A więc wysokość pudełka jest równa odstępowi międzykwartylowemu IQR = Q3 - Q1. Linia przechodząca w poprzek pudełka odpowiada medianie.

7. Jak powstają „wąsy” ?

Linie wychodzące w dół pudełka jak też w górę nazywamy „wąsami”.

Wąs dolny wyznacza najmniejszą wartość w zbiorze danych o ile nie jest ona mniejsza od Q1 - 1,5 IQR. Jest on większą z dwóch wartości: kwartyla pierwszego pomniejszonego o półtorej odstępu międzykwartylowego oraz minimalnej wartości w zbiorze danych, co można zapisać:

MAX {Q1 - 1,5 IQR; X_min}

Wąs górny wyznacza największą wartość w zbiorze danych o ile nie jest ona większa od Q3 + 1,5 IQR. Jest on mniejszą z dwóch wartości: kwartyla trzeciego powiększonego o półtorej odstępu międzykwartylowego oraz maksymalnej wartości w zbiorze danych tj. :

MIN {Q3 + 1,5 IQR; X_max}

8. Wąsy pokazują nam wartości zbioru danych leżące poza odstępem międzykwartylowym, ale odległe nie więcej niż o 1,5 odstępu międzykwartylowego.

9. Tworzenie wykresu pudełkowego:

Obserwacje, których wartości są większe od Q3 + 1,5 IQR, a mniejsze od Q3 + 3 IQR lub mniejsze od Q1 - 1.5 IQR, a większe od Q1 - 3IQR są obserwacjami podejrzanymi o nietypowość.

Obserwacje, które leżą dalej niż trzykrotna wielkość IQR od dolnej i górnej krawędzi pudełka nazywamy obserwacjami odstającymi.

10. Z upływem czasu powiększa się wartość.

LICZBY STOSUNKOWE

1. Każdą wielkość podającą rozmiary badanego zjawiska nazywamy liczbą absolutną inaczej bezwzględną. Przez podzielenie dwóch liczb absolutnych logicznie ze sobą powiązanych otrzymujemy liczbę stosunkową.

2. Podstawowe grupy liczb stosunkowych.

• liczby stosunkowe charakteryzujące natężenie (intensywność występowania) zjawisk, czyli tzw. współczynniki;

• liczby stosunkowe charakteryzujące strukturę badanych zjawisk;

• liczby stosunkowe charakteryzujące zmianę zjawisk w czasie;

3. Ponadto:

• liczby stosunkowe charakteryzujące stopień wykonania planu;

• liczby stosunkowe charakteryzujące terytorialne rozmieszczenie zjawisk;

4. Charakteryzujące natężenie zjawisk:

Jest to największa grupa liczb stosunkowo umożliwiająca ocenę intensywności badanych zjawisk, a także co jest bardzo ważne, umożliwiającą porównanie różnych zbiorowości. W konstrukcji współczynników natężenia ważne jest odpowiednie dobranie bazy odniesienia (mianownika ułamka); np.: nakłady inwestycyjne na jakimś obszarze możemy porównać z liczbą ludności czy też z liczbą zatrudnionych, aletakże z powierzchnią tego obszaru.

5. Wybrane współczynniki natężenia (są w zbiorze zadań):

1. gęstość zaludnienia - liczba mieszkańców (stan w danym dniu) licznik; powierzchnia badanego obszaru w km2 mianownik; mnożnika nie ma

2. współczynnik feminizacji - licznik - liczba kobiet; minownik - liczba mężczyzn; mnożnik 100

3. zagęszczenie mieszkań - licznik - liczba mieszkańców; mianownik - liczba izb w mieszkaniach, mnożnika nie ma

4. mieszkania oddane do użytku na 1000 zaw. Małżeństw - licznik - liczba mieszkań oddanych do użytku w okresie „T”; mianownik - liczba zawartych małżeństw o okresie „t”; mnożnik - 1000;

5. Widzowie w kinach na 1000 ludności - l. - liczba widzów w kinie w okresie t, m - przeciętna liczba ludności (stan w połowie okresu); m - 1000

6. Samochody zarejestrowane na 1000 ludności - l. Liczba samochodów zarejestrowanych stan w danym dniu,; m - liczba mieszkańców stan w danych dniu; mnożni 1000

4. Charakteryzujące strukturę badanych zjawisk:

Mierniki struktury są to liczby, które określają wielkość udziału części w badanej całości. Udziały takie wyrażamy w procentach traktując jako 100%.

Zatrudnienie w pewnej firmie usługowej:

W poprzednim roku 65% pracowników mało wyższe wynagrodzenie, w bieżącym - 60%.

W jakim stopniu, o ile?

Nie wolno nam odejmować wyliczonych udziałów procentowych ponieważ obliczane są one dla różnych liczebnie zbiorowości. Takie odejmowanie możliwe jest jedynie wtedy, jeśli wynik podamy nie w procentach a w punktach procentowych.

Natomiast odp. Na pytanie o ile procent zmienił się udział osób z wyższym wykształceniem wymaga podzielenia wyniku z bieżącego roku, przez wynik z poprzedniego. Otrzymana wartość 92,3% wskazuje spadek o 7,7% liczby osób.

Charakteryzujące stopień wykonania planu (przykłady):

• plan: dochody w budżecie miasta „X” - 160 tys, zł

• wykonanie: dochody uzyskane: 140 tys. Zł

• stopień wykonania planu = wykonanie / plan = 140 tys. / 160 tys. * 100% = 87,5%

• plan: obniżenie wydatków o 15 tys. Zł

• wykonanie: obniżka o 10 tys. Zł

• stopień wykonania planu = wykonanie / plan = 10 tys. / 15 tys. * 100% = 66,%

• plan: obniżenie kosztów o 5%

• wyk: obniżono koszty o 6%

• stopień wykonania planu = plan/wyk = 95%:94$ * 100% = 101,1%

8. Badanie zmian zjawisk w czasie:

Dane o wielkościach badanych zjawisk w czasie mogą być przedstawiane dla wybranych dni, miesięcy, kwartałów czy też lat. Prezentacja taka w statystyce opisowej nosi nazwę szeregu dynamicznego, chronologicznego, bądź najczęściej i najprościej szeregu czasowego.

---