Wykład III

Modele trendowo-sezonowe

Model bez wyrazu wolnego z sezonowością możemy zapisać

y_t= $\sum_{i = 1}^{l}d_{\text{i\ }}x_{\text{ti}}$ + ξ_t

d_i – oznacza parametr mierzący efekt sezonowy w danym cyklu, dla którego zachodzi $\sum_{i = 1}^{l}d_{\text{i\ }}$= 0,

l-oznacza liczbę podokresów w cyklu

x_ti- zmienna sezonowa 0-1, wyrażana następująco:

1 w i-tym podokresie cyklu

x_ti

0 w pozostałych

Model z wyrazem wolnym, trendem i sezonowością :

y_t= β₀ + β_1t + $\sum_{i = 1}^{l}d_{\text{i\ }}x_{\text{ti}}$ + ξ_t

1	1	1	0	0	0
1	2	0	1	0	0
1	3	0	0	1	0
1	4	0	0	0	1
1	5	1	0	0	0
1	6	0	1	0	0
1	7	0	0	1	0
1	8	0	0	0	1
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
1	n	0	0	0	1

X =

w celu oszacowania modelu z wyrazem wolnym eliminujemy dowolny podokres w cyklu (zwykle ostatni) .

Po przekształceniach otrzymamy następującą postać modelu z sezonowością lub modelu z trendem i sezonowością :

y_t= β₀ + β_1t + $\sum_{i = 1}^{l}d_{\text{i\ }}q_{\text{ti}}$ + ξ_t

1 w i-tym podokresie cyklu

q_ti = x_ti + x_tl 0 w pozostałych podokresach z wyjątkiem l-tego

0 w pozostałych

Macierz obserwacji na zmiennych objaśniających w modelu trendowo-sezonowym (przykład kwartalny)

1	1	1	0	0
1	2	0	1	0
1	3	0	0	1
1	4	-1	-1	-1
1	5	1	0	0
1	6	0	1	0
1	7	0	0	1
1	8	-1	-1	-1
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
1	n	-1	-1	-1

X =

Przykład

$\hat{y_{t}}$ = 121,75 + 2,41t – 13,18q_t1 – 2,60 q_t2 + 15,72 q_t3

$\hat{d_{4}}$= 0,06

∑d_i= 0

d₄= -( d₁ + d₂ + d₃)

d₄= -(-13,18 – 2,60 + 15,72)

Interpretacja:

2,41t- przychody z kwartału na kwartał rosną o 2,41 tys. zł

-13,18q_t1 – przychody biura turystycznego w pierwszych kwartałach badanego okresu były niższe od przeciętnej wyznaczonej trendem średnio o 13,18 tys. zł

T= (17, 18, 19, 20)

y₁₇^P =121,75 + 2,41 * 17 – 13,18 * 1 – 2,60 * 0+ 15,72 * 0= 149,54

y₁₈^P =121,75 + 2,41 * 18 – 13,18 * 0– 2,60 * 1+ 15,72 * 0= 162,53

y₁₉^P =121,75 + 2,41 * 19 – 13,18 * 0 – 2,60 * 0+ 15,72 * 1= 183,26

y₂₀^P =121,75 + 2,41 * 20 – 13,18 * (-1) – 2,60 * (-1)+ 15,72 * (-1)= 170,01

Wybór stopnia wielomianu trendu (test równowartości dwóch wariancji)

Szacujemy parametry następujących wielomianowych modeli trendu

y_t= $\sum_{l = 0}^{V}\beta_{i}$tⁱ + ξ_t

y_t= $\sum_{i = 0}^{V + 1}\alpha_{i}$tⁱ + ε_t

Dla tych modeli wyznaczamy wariancję resztowe i stawiamy następujące hipotezy:

H₀ : σ_ξ² = σ_ε²

H₀ : σ_ξ² > σ_ε²

Statystyka testowa F= $\frac{\hat{\sigma_{\xi}^{2}}}{\hat{\sigma_{\varepsilon}^{2}}}$ która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład F (V1 = n1 -1,

V2= n₂- 1). Jeżeli natomiast F≤ F_v1v2 to nie ma podstaw do odrzucenia H₀, jeżeli natomiast F>F_αv1v2 to mamy podstawy do odrzucenia H₀, czyli występuje spadek wariancji resztowej, a właściwym modelem jest wielomian wyższego rzędu.

Ćwiczenia III

Zadanie 1

Zużycie paliwa w litrach w pewnym gospodarstwie w latach 2006-2010 było następujące:

lata	1 kwartał	2 kwartał	3 kwartał	4 kwartał
2006	9913	13704	15911	15285
2007	8157	14402	20490	19440
2008	8543	19387	17955	17135
2009	8998	19221	20028	14968
2010	9101	19620	22715	17698

Oszacować liniowy model trendu wraz z sezonowością i zinterpretować wyniki. Wyznaczyć prognozy punktowe na kolejne 4 kwartały

y_t= β₀ + β_1t + d₁x_t1+ d₂x_t2 + d₃x_t3+ d₄x_t4

d₁+d₂+d₃+d₄=0

β= (X^Tx)^-1X^ty

Dodawanie zmiennych time- zmienna czasowa t

Dodawanie zmiennych periodyczne zmienne 0-1 dq1, dq2, dq3, dq4

Dodawanie zmiennych definiowanie nowej zmiennej… q1, q2, q3

Model klasyczna metoda najmniejszych kwadratów…

$\hat{y_{t}}$ = 13706,3 + 183,55t – 6415,83q_t1 + 1725,03q_t2+ 3694,47q_t3

$\hat{d_{4}}$ = -( -6415,83+1725,03+3694,47)= 996,33

Analiza prognoza…

y₂₁^P= 13706,3+ 183,5 * 21 – 6415,8= 11145 ± V= 2291,062

y₂₂^P= 13706,3+ 183,5*22+1725,03=19469,4 ± V= 2291,062

Zadanie 2

Miesięczna sprzedaż pewnego produktu w kolejnych 12 miesiącach roku 2010 była następująca 9,6; 10,3; 10,6; 10,8; 11,1; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 11,9; 12; 12,1. Oszacuje najlepszą funkcję trendu dla sprzedaży tego produktu oraz wyznacz prognozę na kolejny miesiąc i oceń jej dopuszczalność.

y_t=β_o+ β₁ +ξ_t

$\hat{y_{t}}$ = 9,89 + 0,2t R²= 0,91

V_ξ= $\frac{0,228}{11,23}$ * 100 = 2 % DW= 0,62- silna dodatnia autokorelacja

Zaznaczamy y i time wybieramy Dodawanie zmiennych … logarytmy dla wybranych zmiennych

Następnie Model Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów…

I otrzymujemy….

y_t= β₀+ t^β₁ * e^ξ_t e≈ 2,718

ln_yt =lnβ₀ + β₁lnt + ξ_t

ln_yt =2,26 + 0,09378 lnt R²=0,99 V_ξ= $\frac{0,0054}{2,42}$ = 0,2 % DW= 1,34

Analiza prognoza…

y₁₃^P= 2,5 ln tys. zł V₁₃= 0,005935 ln tys. zł

Lnβ₀= 2,26 => $\hat{\beta_{0}}$ = e^2,26= 9,5869

$\hat{y_{t}}$ = 9,586 t^0,09378

y₁₃^P = 9,5869 * 13 ^0,09378 = 12,19 tys.

Wykład IV

x- zmienna endogeniczna

Postać liniowego statycznego modelu ekonometrycznego możemy przedstawić:

y_t=β_o + β_1xt1 + β_2xt2 + …+ β_kxtk + ξ_t

Zapis macierzowy modelu:

y= Xβ + ξ

Szacowanie metodą najmniejszych kwadratów

$\hat{\beta}$= |X^TX|^-1X^Ty

Średnie błędy szacunku wyznaczamy z macierzy wariancji-kowariancji

Błędy ocen parametrów modelu

D²($\hat{\beta_{i}}$) = σ_ξ²|X^TX|^-1

Weryfikacja modelu

-weryfikacja ilościowa (etap wnioskowania statystycznego)

• oceny dobroci dopasowania modelu empirycznego do danych rzeczywistych

• testowanie wartości parametru modelu, postaci analitycznej założeń stochastycznych

• ocena pragmatyczne modelu

Ocena dopasowani modelu

• Współczynnik determinacji R²

• Współczynnik zbieżności ϕ²

R² + ϕ² = 1 R², ϕ² ie <D;1>

• Odchylenie standardowe reszt modelu (błąd standardowy) $\hat{\sigma_{\xi}}$

• Współczynnik zmienności losowej V_ξ V_ξ= $\frac{\hat{\sigma}}{y}$ * 100

Indywidualne hipotezy istotności:

H₀: β₁ = 0

H₁: β₁ ≠ 0 (i=1,2..k)

Przy prawdziwości hipotezy zerowej poniża statystyka

t_βi= $\frac{\hat{\beta_{i}}\ \ \ - \ \sigma}{\hat{\sigma}\ (\hat{\beta_{i}})}$ ∼ t(n-k-1)

brak podstaw do odrzucenia H₀ (p ≥ α = 0,05)

Parametr nieistotnie różni się od 0

Odrzucamy H₀ na korzyść H₁ (p< α =0,05)

Parametr β_i istotnie różni się od 0

Testy diagnostyczne

Testy normalności rozkładu składnika losowego – test Jarque – Bera= Doornika- Hansena (gretl)

Hipotezy testowe są następujące:

H₀: ξ_t∼ N( 0; σ_ξ²)

H₁: ξ_t≁ N( 0; σ_ξ²)

A-współczynnik asymetrii, k-kurtoza

Test stałości wariancji składnika losowego -test heteroskedastyczności- test White`a

Hipotezy testowe są następujące

H₀: E(ξ_t)² = σ_ξ²= constans

H₁: E(ξ_t)² ≠ σ_ξ²

Przy prawdziwości H₀ poniższa statystyka

z²=nR²∼ z²(K)

Testy autokorelacji 1-go rzędu – test Durbina -Watsona

Hipotezy:

H₀:𝜚= 0 H₀:𝜚= 0

H₁:𝜚> 0 lub H₁:𝜚< 0

DW(0,2) DW(2,4)

W przypadku weryfikacji hipotezy (1) wykonujemy statystykę DW w przypadku weryfikacji hipotezy (2) weryfikujemy statystyką 4DW.

• Jeżeli DW; 4-DE > du to brak podstaw do odrzucenia H₀ (autokorelacja reszt w modelu jest nieistotna)

• Jeżeli DW; 4-DW < dl to odrzucamy H₀ to odrzucamy H₀ ( w modelu występuje odpowiednio dodatnia lub ujemna autokorelacja reszt)

• Jeżeli d₁<DW; 4DW <du to test nie rozstrzyga w występowaniu autokorelacji reszt.

Prognozowanie na podstawie jednorównaniowych modeli ekonometrycznych

Jeżeli przyjęte założenia statystyczne są prawdziwe wartość oczekiwana zmiennej prognozowanej będzie postaci:

E(y_T) = E(x_Tβ + ξ_T) = E(x_Tβ) + E (ξ_T) = x_Tβ

x_T= [ 1x_T1 x_T2…x_TK]

Zgodnie z zasadą predykcji nieobciążonej prognozą zmiennej y_T, wyznaczoną w okresie T, nazywać będziemy estymator wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej.

y_T^P = E(y_T) = x_T$\hat{\beta}$ lub y_T^P =$\hat{\beta_{0}}$ + β₁x_T1 +……+β_kx_T,k

Błędy prognoz ex ante w warunkach stabilności modelu zapiszemy

ξ_T^P = y_T - y_T^P= x_Tβ + ξ_T - x_T $\hat{\beta}$ = -x_T( $\hat{\beta}$- β) + ξ_T

Przy spełnieniu założeń stochastycznych oczekiwana błędu prognozy będzie równa 0.

E(ξ_T^P) = E ( y_T - y_T^P) = 0 co oznacza nieobciąożność prognozy

Próbkowe oceny średniego błędu prognozy ex ante zapiszemy zatem następująco:

V_T= $\sqrt{\ (\xi_{T}^{P}}$) =

Gdzie ²()= (X^TX)^-1 jest próbkową macierzą wariancji-kowariancji błędu estymacji.

Wartość prognozy przedziałowej dla modelu ekonometrycznego otrzymujemy ze wzoru

P(y_T^P - t_{α, n-k-1}V_T < y_T< y_T^P+ t_{α, n-k-1}V_T) = 1 - α

Gdzie t_{α, n-k-1} wartość statystyki t- studenta

Ćwiczenia IV

Przykład 1

Wartość kosztów w tys. zł ( y )oraz wartość produkcji w setkach ton ( x₁) i zatrudnienia w osobach (x₂ ) w pewnej firmie w latach 1997-2006 było następujące:

t	yt	xt1	xt2
1	34911	10	60
2	35132	11	72
3	35642	11	83
4	35015	9	85
5	36395	12	91
6	36521	11	102
7	36314	12	111
8	37692	13	123
9	37612	14	125
10	37158	13	127

1. Oszacuj i zweryfikuj liniowy model kosztów

2. Wyznacz prognozy punktowe kosztów na kolejne 2 lata wartości zmiennych objaśniających (x₁x₂) prognozuj za pomocą trendu liniowego.

3. Oceń dopuszczalność prognoz przyjmując V_T^* = 3 %

4. Wyznacz prognozy przedziałowe kosztów przyjmując ich wiarygodność na 95%.

Ad. 1

1. Model KMNK

$\hat{y_{t}}$= 30177,4 + 309,385x_t1 + 25,26x_t2

±115,34 ±7,41

R²= 0,935 – 93,5 % zmienności kosztów zostało wyjaśnionych modelem

ϕ²=0,065- 6,5 % zmienności kosztów nie udało się wyjaśnić

300,02- przeciętne odchylenie wartości kosztów teoretycznych od rzeczywistych

Jeśli produkcja wzrośnie o 100 ton to koszty zwiększą się średnio o 309,385 tys. zł ze średnim błędem 115,34 c. p.

Jeśli zatrudnienie wzrośnie o 1 osobę to koszty wzrosną średnio o 25,26 tys. zł ze średnim błędem 7,4 c. p.

b)Badamy statystyczną istotność parametru β₁

H₀: β₁ = 0

H₁: β₁ ≠ 0

Statystyka t- studenta

t= $\frac{309,38}{115,3}$= 2,68

(7=10-2-1-> n-k-1; n-l.obserwacji; k-l.zmiennych)

t_0,05,7 = 2,68 – ponieważ | t_β1> t_α | to odrzucamy H₀ na korzyść H₁, parametr β₁ istotnie różni się od zera; produkcja istotnie wpływa na koszty

c)Testy diagnostyczne (badając założenia KMNM)

∼ - posiada

Test Doornika- Hansena

H₀: ξ_t∼ N( 0; σ_ξ²)

H₁: ξ_t≁ N( 0; σ_ξ²)

Testytest normalności rozkładu reszt…

Χ²(2)= 0,406 [0,816]

d)Badanie autokorelacji składnika losowego – Test Durbina-Watsona

H₀: = 0

H₁: < 0

DW= 2,69, jeżeli DW> 2 to DW` = 4-DW= 1,31

Narzędzia tablice statystyczne DW

d_l= 0,69

d_u= 1,64

d_l<DW; 4-DW <d_u 0,69 <2,69; 1,31<1,64 – test nie rozstrzyga o istotności autokorelacji

2) a) x_t1 = α₀ + α₁t + ξ_t

Dodawanie zmiennychtime-zmienna czasowa t

ModelKMNK

$\hat{x_{t1}^{P}}$ = 9,4 + 0,4t

Analiza Prognoza..

x_11, 1^P = 9,4 + 0,4 * 11= 13,8 x_12, 1^P= 9,4 + 0,4 * 12 = 14,2

1. x_t2 = α₀ + α₂t + ξ_t x_t2= 55,8+ 7,65t

x_11, 2^P = 140 x_12, 2^P= 148

Edytujemy wartości x₁ i x₂, dodajemy obliczone prognozy

Model KMNK Analiza Prognoza

Prognoza

y_T^P= x_T * $\hat{\beta}$

y₁₁^P= [1 13,8 140] * $\left\lceil \begin{matrix} 30177,4 \\ 309,38 \\ 25,26 \\ \end{matrix} \right\rceil$ = 37983,3 tys. zł

lub $\hat{y}$_t= 30177,4 + 309,38 *13,8+ 25,26 * 140= 38309,1 tys. zł

y₁₂^P = [a 1402 148] * $\left\lceil \begin{matrix} 30177,4 \\ 309,38 \\ 25,26 \\ \end{matrix} \right\rceil$ = 38309,1 tys. zł

3) Ocenić dopuszczalność-> policzyć błędy prognoz

Analiza macierz współczynników kowariancji

V₁₁= $\sqrt{\left\lbrack 1\ \ 13,8\ \ 140 \right\rbrack\begin{bmatrix} 738433 & - 85919,9 & 2729,71 \\ - 85919,9 & 13303,8 & - 698,711 \\ 2729,71 & - 698,711 & 54,91 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 13,8 \\ 140 \\ \end{bmatrix} + {(300,02)}^{2}}$ = 362,3

V₁₂= $\sqrt{\left\lbrack 1\ \ 14,2\ \ 148 \right\rbrack\begin{bmatrix} 738433 & - 85919,9 & 2729,71 \\ - 85919,9 & 13303,8 & - 698,711 \\ 2729,71 & - 698,711 & 54,91 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 14,2 \\ 148 \\ \end{bmatrix} + {(300,02)}^{2}}$ = 380,44

Względny błąd prognozy ex-ante

V_T^*=$\frac{V_{T}}{y_{T}^{P}}$ * 100= $\frac{362,3}{37983,3}$ =0,95%

V₁₂^*= 0,99%

Prognozy są dopuszczalne, gdyż są mniejsze od 3 %.

4. Prognozy przedziałowe

37983,3 – 2,365 * 362,3 ≤ 9₁₁ ≤ 37983,3 + 2,365 * 362,3

37126,46≤ 9₁₁ ≤38840,07 (odczytujemy z prognozy)

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział o końcach 37126,46 i 38840,07 pokrywa nieznaną wartość kosztów w 2007 r.