Sposoby przenoszenia energii. Przewodzenie ciepła, prawo Fouriera, przewodność cieplna, przewodzenie ciepła przez przegrody płaskie,i cylindryczne. Przenikanie ciepła, współczynnik przenikania ciepła. Promieniowanie ciepła. Złożona wymiana ciepła. Krytyczna średnica izolacji.

Przewodzenie ciepła

Podczas przewodzenia ciepła natężenie strumienia cieplnego jest proporcjonalne do spadku temperatury, mierzonego w kierunku prze­pływu ciepła. Sformułowanie to stanowi prawo Fouriera, którego matematyczny zapis ma postać

(8.2)

gdzie: wielkość dT/dx, zwana gradientem temperatury, jest miarą spadku temperatury w kierunku przepływu ciepła,

- współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem przewodzenia ciepła albo krótko przewodnością cieplną.

Przewodność cieplna charakteryzuje zdolność ciała do przewodze­nia ciepła. Im większa jest jej wartość, tym większa ilość ciepła jest przewodzona w jednostce czasu. Najmniejszą przewodność cieplną wykazują gazy, największą - metale. Spośród metali najlepszym przewodnikiem ciepła jest srebro.

Przewodność cieplna zależy ponadto od temperatury; dla gazów ze wzrostem temperatury rośnie; dla cieczy maleje, a dla metali jest w przybliżeniu stała.

W tablicy 8.1 podano wartości przewodności cieplnej dla wybranych gazów, cieczy i ciał stałych.

Tablica 8.1. Współczynnik przewodzenia ciepła różnych substancji

Substancja	Temperatura T, [K]	Współczynnik przewodzenia ciepła , [W/(m K)]
Metale
Aluminium	293	229
Cyna	293	66
Cynk	293	113
Miedź	293	384
Ołów	273	35,1
Srebro	293	418
Stal	293	45
Złoto	293	311
Żelazo	293	73
Substancje stałe nieorganiczne
Beton	293	0,8 ÷1,4
Cegła	293	0,38÷0,52
Grafit	293	12 ÷170
Lód	273	2,2
Szkło	293	0,75
Substancje stałe organiczne
Guma	293	0,13÷0,21
Papier	293	0,14÷0,21
Skóra	293	0,14÷0,16
Ciecze
Rtęć	293	9,3
Olej transformatorowy	300	0,124
Woda	300	0,612
	400	0,686
	500	0,640
Gazy przy p = 0,1 MPa
C02	300	0,0169
	400	0,0250
	500	0,0331
H2	300	0,186
	400	0,228
	500	0,269
Powietrze	300	0,0265
	400	0,0339
	500	0,0411
	900	0,0635

Przenikanie ciepła

Przenikanie ciepła to proces wy­miany ciepła między dwoma płynami oddzielonymi od siebie ścianką z cia­ła stałego (rys. 8.4). Zjawisko składa się z przejmowania ciepła przez ściankę od płynu 1, przewodzenia ciepła przez ściankę i przejmowania ciepła od ścianki przez płyn 2.

Rys. 8.4. Przenikanie ciepła

Natężenie strumienia cieplnego przenikającego między płynami jest określone wzorem

(8.13)

Występująca w tym wzorze wielkość

(8.14)

nazywa się współczynnikiem przenikania ciepła.

Promieniowanie ciepła

Nośnikiem energii promieniowania są fale elektromagnetyczne o różnej długości, rozchodzące się z prędkością światła, równą około 300000 km/s. Promieniowanie, które nazywa się cieplnym, jest przeno­szone przez fale o długości od 0,8 do 400 m (rys. 8.6).

W przypadku ciał stałych i cieczy przekazywanie ciepła przez promieniowanie zachodzi przy wszystkich długościach fal, przy czym promieniowanie cieplne ma największy udział. Natomiast promienio­wanie gazów jest selektywne, tzn. odbywa się tylko przy określonej dla każdego z nich długości fal.

Promieniowanie padające na pewne ciało może zostać przez nie pochłonięte, przepuszczone lub odbite, przy czym zjawiska te są opisane prawami ogólnymi, słusznymi dla wszystkich rodzajów fal elektromag­netycznych.

Oznaczając: Q - całkowitą energię promieniowania padającą na ciało, Q_A - część pochłoniętą, Q_R - część odbitą, a Q_P - część przepuszczoną, można określić następujące wielkości charakteryzujące dane ciało:

• zdolność pochłaniania lub absorpcyjność

(8.17)

• zdolność odbijania lub refleksyjność

(8.18)

• zdolność przepuszczania lub przepuszczalność

(8.19)

Ponieważ , więc po dodaniu stronami do siebie wyrażeń (8.17-8.19), otrzymujemy

A+R+P = 1

Zależnie od wartości współczynników A, R i P rozróżnia się:

• ciała doskonale białe, odbijające całkowicie promieniowanie, tzn. A=0,R=1,P=0;

• ciała doskonale czarne, pochłaniające całkowicie padające promienio­wanie, czyli A = 1, R = 0, P = 0;

• ciała doskonale przepuszczalne, tzn. A = 0, R = 0, P = 1.

W przyrodzie nie ma ciał doskonale białych, czarnych czy przepusz­czalnych. Ciała występujące w przyrodzie noszą nazwę ciał szarych, a wartości współczynników A, R i P zależą od ich struktury, tem­peratury, długości fali promieniowania.

Większość ciał stałych i cieczy jest - w przybliżeniu - nieprzepusz­czalna dla promieniowania cieplnego, czyli można przyjąć, że P = 0. Natężenie strumienia cieplnego, emitowanego przez powierzchnię ciała o temperaturze T, oblicza się na podstawie prawa Stefana­-Boltzmana - wg wzoru o postaci

(8.20)

gdzie: - emisyjność, tj. zdolność promieniowania lub stopień czarno­ści (dla ciał szarych słuszny jest związek = A),

-stała promieniowania ciała doskonale czarnego lub stała Stefana-Boltzmana, wynosząca

= 5,67⋅10^-8 W/(m²K⁴)

Złożona wymiana ciepła

W praktyce często wymiana ciepła przez przejmowanie (q_k zachodzi jedno­cześnie z wymianą ciepła przez promienio­wanie (q_pr). Zjawisko to nazwano złożoną wymianą ciepła (rys. 8.9).

Rys. 8.9. Złożona wymiana ciepła

Natężenie stru­mienia cieplnego oblicza się wtedy wg wzoru

(8.24)

w którym: - efektywny współczynnik przejmowania ciepła, uwzględniający działanie zarówno konwekcji, jak promieniowania, tzn.

(8.25)

gdzie: - współczynnik przejmowania ciepła, określony wzorem (8.12),

- poprawka umożliwiająca uwzględnienie promieniowania.

Jeśli dwie powierzchnie o temperaturze T_l i T₂ oraz emisyjności i wymieniają między sobą ciepło przez promieniowanie, to natężenie strumienia cieplnego określa się wg wzoru

(8.21)

w którym: - emisyjność efektywna układu dwu ciał.

Wielkość jest zależna od emisyjności i obu powierzchni oraz od ich wzajemnego usytuowania. W większości przypadków jej okreś­lenie wymaga złożonych obliczeń.

Wzór (8.21) jest słuszny tylko wtedy, gdy nie ma strat energii promieniowania, tzn. gdy cała ilość energii promieniowanej przez jedną powierzchnię pada na drugą.

Dla prostego przypadku dwu ścian równoległych (rys. 8.7)

(8.22)

Dla przypadku wymiany ciepła między powierzchniami, z których jedna zamyka w sobie drugą (rys. 8.8), wzór na ma postać

(8.23)

gdzie: A₁ i A₂ - pola powierzchni ciał.

. Rodzaje wymiany ciepła

Wymiana ciepła jest zjawiskiem przepływu energii pod postacią ciepła z układu o temperaturze wyższej do układu o temperaturze niższej. Rozróżnia się trzy sposoby przenoszenia energii cieplnej:

• przewodzenie,

• konwekcję,

• promieniowanie.

Przewodzenie ciepła ma miejsce wtedy, gdy przepływ energii odbywa się jedynie wskutek ruchów cząsteczek w nieruchomym, jako całość, środowisku. W ciałach stałych przewodzenie ciepła polega przede wszystkim na przenoszeniu energii przez swobodne elektrony oraz drgania atomów w siatce krystalicznej. W gazach oraz cieczach przeno­szenie energii polega głównie na bezładnych zderzeniach cząsteczek.

Konwekcja albo unoszenie ciepła zachodzi wtedy, gdy cząsteczki substancji, w której przenosi się ciepło, zmieniają swe położenie. Zjawisko to występuje w cieczach i gazach, a przenoszenie energii cieplnej następuje w wyniku mieszania poruszającego się płynu. Gdy ruch płynu jest wywołany sztucznie, mamy do czynienia z konwekcją wymuszoną. Jeśli zaś przyczyną ruchu jest różnica gęstości płynu wywołana różnicą temperatury, to występuje konwekcja swobodna.

Promieniowanie ciepła polega na przenoszeniu energii przez fale elektromagnetyczne o określonej długości fali. Energia promieniowania przenosi się z prędkością równą prędkości światła.

W praktyce często spotyka się przykłady wymiany ciepła, będące pewnymi kombinacjami powyższych przypadków. Najważniejsze z nich to przejmowanie (patrz p. 8.4) oraz przenikanie ciepła (p. 8.5).

Wymiana ciepła jest ustalona, gdy temperatura układów wymienia­jących ciepło nie ulega zmianie w czasie oraz gdy stała jest ilość przenoszonego ciepła. Gdy wielkości te zmieniają się w czasie, mamy do czynienia z procesem nieustalonej wymiany ciepła.

W dalszym ciągu będą rozważane wyłącznie zagadnienia dotyczące ustalonej wymiany ciepła.

Ilość wymienionego ciepła określa się zwykle za pomocą tzw. natężenia strumienia cieplnego, czyli ilość ciepła przepływającego przez jednostkę powierzchni, w jednostce czasu. Wielkość tę, oznaczaną symbolem q, zgodnie z definicją określa wzór

(8.1)

gdzie: - strumień ciepła (ilość ciepła w jednostce czasu - moc cieplna),

A - pole powierzchni wymiany ciepła.

Ustalone przenikanie ciepła przez przegrodę płaską i cylindryczną

Dana jest przegroda płaska, składająca się z n warstw o grubościach ,,...,, zbudowana z materiałów o współczynnikach przewodzenia ciepła , ,... (rys. 6.1). Przegroda ta jest omywana z jednej strony przez płyn o stałej temperaturze , z drugiej zaś przez płyn o stałej temperaturze < . Oznacza to, że ciepło będzie przekazywane od płynu o temperaturze poprzez przegrodę do płynu o temperaturze (przenikanie ciepła). Przyjmujemy ponadto, że znane są wartości współczynników przejmowania ciepła i , przekazywanie ciepła jest ustalone i przewodzenie ciepła przez przegrodę jest jednowymiarowe wyłącznie wzdłuż osi x. Należy wyznaczyć ilość ciepła przenikającego w jednostce czasu od jednego płynu do drugiego. Dla ustalonego przekazywania ciepła gęstość strumienia ciepła przewodzonego i przejmowanego ma stałą wartość:

q = idem

Rys. 6.1. Przenikanie ciepła przez wielowarstwową przegrodę płaską

Oznacza to, że strumień ciepła napływający na powierzchnię warstwy pierwszej (wzór (2.7))

jest równy strumieniowi przewodzenia przez każdą z warstw wielowarstwowej przegrody, określonemu równaniem ogólnym

oraz strumieniowi przejmowanemu do płynu o temperaturze

wyznaczamy z powyższych zależności różnice temperatur:

(6.1)

.........................

i po obustronnym zsumowaniu otrzymamy:

(6.2)

Gęstość strumienia ciepła przenikającego przez płaską przegrodę wielowarstwową

(6.3)

gdzie

(6.4)

nazywamy współczynnikiem przenikania ciepła. Z zależności (6.1) można łatwo wyznaczyć temperaturę w dowolnym punkcie przegrody.

Podobnie można rozwiązać zadanie przenikania ciepła przez wielowarstwową przegrodę cylindryczną.

Załóżmy, że dana jest wielowarstwowa przegroda cylindryczna (rys.6.2), omywana od wewnątrz przez płyn o stałej temperaturze , natomiast z zewnątrz przez płyn o stałej temperaturze < . Współczynniki przejmowania ciepła są równe odpowiednio i , zaś współczynniki przewodzenia ciepła wynoszą odpowiednio , ,.... Wymiary geometryczne przegrody podano na rys.6.2. Przyjmujemy ponadto, że przekazywanie ciepła jest ustalone, przewodzenie jednowymiarowe wyłącznie wzdłuż współrzędnej r, a współczynniki i są znane i stałe. Należy wyznaczyć strumień ciepła przenikającego przez przegrodę.

Ponieważ przenikanie ciepła przez przegrodę jest z założenia ustalone, ilość ciepła przejmowanego przez powierzchnię wewnętrzną, przewodzonego przez poszczególne warstwy oraz przejmowanego z powierzchni zewnętrznej do otoczenia są sobie równe. Możemy napisać:

- strumień ciepła przejmowanego przez powierzchnię wewnętrzną

- strumień ciepła przewodzonego przez każdą z warstw przegrody

Rys. 6.2. Przenikanie ciepła przez wielowarstwową

przegrodę cylindryczną

- strumień ciepła przejmowanego z powierzchni zewnętrznej

Wyznaczając z powyższych zależności różnice temperatur i sumując obustronnie otrzymane równania można uzyskać wzór określający strumień ciepła przenikającego przez wielowarstwową przegrodę cylindryczną

(6.5)

lub

gdzie

(6.6)

nazywamy liniowym współczynnikiem przenikania ciepła. Jego sens fizyczny staje się widoczny po przyjęciu L = 1 i = 1. Otrzymamy wtedy:

co oznacza, że jest to ilość ciepła przenikającego przez 1 mb przegrody cylindrycznej w jednostce czasu przy założeniu, że różnica temperatur czynników po obu stronach przegrody równa jest 1 K.

Krytyczna średnica izolacji

Izolacją cieplną nazywamy takie pokrycie gorącej powierzchni, które powoduje zmniejszenie strat ciepła do otaczającego ośrodka. Jako izolacje cieplne stosuje się materiały o niskich współczynnikach przewodzenia ciepła, takie jak azbest, korek, wata szklana, wełna itp.

Rys.6.3. Przenikanie ciepła przez przegrodę cylindryczną

pokrytą jedną warstwą izolacji

Poniżej zostanie rozpatrzony warunek, przy którym materiał zastosowany do izolacji cieplnej powierzchni cylindrycznej będzie faktycznie zmniejszał straty ciepła do otoczenia. W ogólnym bowiem przypadku nałożenie warstwy izolacyjnej na powierzchnię cylindryczną powoduje zwiększenie powierzchni przejmowania ciepła do otoczenia.

Rozpatrzmy powierzchnię cylindryczną pokrytą jedną warstwą izolacji, jak na rys. 6.3.

Strumień ciepła przenikającego przez rozpatrywaną powierzchnię, zgodnie ze wzorem (6.5), jest proporcjonalny do liniowego współczynnika przenikania ciepła , wyrażonego równaniem (6.6), który dla omawianego przypadku jest równy:

(6.7)

gdzie jest wewnętrzną średnicą izolacji, a - średnicą zewnętrzną.

Mianownik prawej strony zależności, który stanowi odwrotność współczynnika przenikania ciepła, nazywa się oporem cieplnym i oznaczono go grecką literą P. Rozważmy jak będzie się zmieniał strumień przekazywanego do otoczenia ciepła ze zmianą grubości izolacji z zachowaniem stałych wartości współczynników , , i , średnic i oraz temperatur i .

Z zależności (6.7) wynika, że zwiększenie zewnętrznej średnicy izolacji zwiększa człon , określający opór warstwy izolacji, ale równocześnie zmniejsza człon , opisujący opór oddawania ciepła z zewnętrznej powierzchni izolacji.

Zatem opór przenikania ciepła ma ekstremum, które można wyznaczyć porównując pierwszą pochodną oporu cieplnego P względem do zera:

(6.8)

A zatem ekstremum przenikania ciepła występuje wtedy, gdy średnica izolacji

(6.9)

Czy to ekstremum oznacza maksimum czy minimum oporu cieplnego, określa druga pochodna

do której podstawiając , odpowiadające punktowi ekstremalnemu, otrzymamy ostatecznie:

Dodatnia druga pochodna wskazuje na minimum oporu cieplnego, a zatem maksimum strumienia ciepła przenikającego przez rozpatrywazną powierzchnię.

Zewnętrzną średnicę izolacji, spełniającą warunek (6.9), nazywamy krytyczną średnicą izolacji, a zatem

(6.10)

Jak widać z zależności (6.10), krytyczna średnica izolacji nie zależy od wielkości przewodu cylindrycznego. Jest tym mniejsza, im mniejszy jest współczynnik przewodzenia ciepła materiału izolacji i im większy współczynnik przejmowania ciepła od zewnętrznej powierzchni izolacji do otaczającego ośrodka.

Zależność strat cieplnych przewodu rurowego od zewnętrznej średnicy izolacji przedstawiono na rys.6.4, który wskazuje, że jeśli średnica zewnętrzna izolacji < , to z jej wzrostem straty ciepła rosną i są większe niż dla przewodu bez izolacji.

Rys.6.4. Zależność strumienia przenikającego ciepła

od zewnętrznej średnicy izolacji

Gdy = , straty ciepła do otaczającego ośrodka są maksymalne. Przy dalszym zwiększaniu zewnętrznej średnicy izolacji ponad wartość krytyczną > straty ciepła maleją i gdy = , stają się równe stratom dla przewodu nie izolowanego. Oznacza to, że efektywne zmniejszenie strat ciepła uzyskuje się, gdy zewnętrzna średnica izolacji jest większa niż . Aby więc izolacja spełniała swe zadanie, krytyczna średnica tej izolacji powinna być mniejsza niż zewnętrzna średnica gołej powierzchni przewodu, tj. < . Zatem, aby izolacja wywołała zmniejszenie strat ciepła cylindrycznej ścianki w porównaniu z gołym przewodem przy danej zewnętrznej średnicy ścianki i określonym współczynniku przejmowania ciepła , musi być spełniony warunek

( 6.11)

Widzimy, że dla określonych warunków przenikania ciepła, charakteryzujących się średnicą rury i współczynnikiem przejmowania ciepła do otoczenia , izolowanie przewodu izolacją o przypadkowo dobranym współczynniku przewodzenia ciepła może okazać się niecelowe lub nawet powodować, przy zbyt małej grubości izolacji, zwiększenie strat ciepła w stosunku do przewodu nieizolowanego.

Zwiększenie strat ciepła przez zastosowanie izolacji jest niekiedy wykorzystywane do zwiększenia chłodzenia, np. przewodów elektrycznych.