PYTANIA ZALICZENIOWE ZE STATYSTYKI 2012/2013

1.Próba, a populacja. Pojęcia. Przykłady

PRÓBA- część populacji pobrana do badań, np. klasa, grupa studentów, 100 Polaków, 20 gimnazjalistów

POPULACJA- zbiór jednostek(przedmiotów, reakcji) charakteryzujących się wyłącznym układem cech, np. obywatele Polski, wszyscy studenci uczelni, wszyscy gimnazjaliści

2. Statystyka, a parametr. Pojęcia. Przykłady

STATYSTYKA- wartość liczbowa obliczona na podstawie badań próby, np. średni iloraz inteligencji 20 studentów wybranych losowo z całej uczelni (statystyki obliczamy)

PARAMETR- wartość liczbowa obliczona ze wszystkich elementów populacji, np. średni iloraz inteligencji wszystkich studentów z całej uczelni (parametry wnioskujemy)

3. Pojęcie i rodzaje zmiennych

ZMIENNA-pewna cecha, która różnicuje jednostki populacji między sobą, np. wiek, wzrost, uroda

Podział zmiennych:

-ze względu na wielkość zbioru, z którego dana zmienna przyjmuje wartości:

a) dwuwartościowe (dychotomiczne): dla wszystkich osób w populacji w sposób naturalny

przyjmowane są dwie wartości, np. płeć

b) wielowartościowe- dla wszystkich osób w populacji przyjmowane są różne wartości, np. wzrost,

masa ciała

c) zdychotomizowane- zmienne wielowartościowe sprowadzone do postaci dwuwartościowej, np.

wzrost: wysoki (powyżej 170cm) i niski (poniżej 170)

- ze względu na ciągłość:

a) zmienne ciągłe- zbiór wartości tworzy kontinuum (ciągłość) i jeśli między sąsiednimi

wartościami zmiennej możliwe jest znalezienie trzeciej wartości, np. wzrost, wiek, masa ciała,

inteligencja

b) zmienne skokowe (dyskretne)- jeżeli między dwiema sąsiednimi wartościami zmiennej nie

występuje trzecia wartość, czyli nie ma wartości pośrednich, np. płeć, poziom wykształcenia w

sensie formalnym.

- ze względu na rolę w procesie badawczym:

a) zmienne zależne y- zmienna, która jest przedmiotem naszego badania; której związki z innymi

zmiennymi chcemy określić; ona podlega wpływowi (ulega wpływom)

b) zmienne niezależne x- zmienne, które wpływają na zmienną zależną; to co wpływa, np. płeć,

wiek

4. Pomiar nominalny. Pojęcie. Przykłady

POMIAR NOMINALNY-klasyfikowanie, przyporządkowywanie do określonych kategorii; kategorie te nie mają naturalnego uporządkowania; w tym przypadku nie mierzymy nasilenia badanej cechy (zmiennej), a jedynie posiadanie jej lub nie, np. pomiar grupy studentek II roku Logopedii ze względu na kolor włosów, ze względu na zainteresowania, rodzaj słuchanej muzyki; tego pomiaru należy dokonywać na dużych grupach.

5. Pomiar porządkowy. Pojęcia. Przykłady

POMIAR PORZĄDKOWY- przyporządkowywanie przedmiotom liczb (rang-miejca w szeregu uporządkowanym) oznaczających mniejsze lub większe nasilenie mierzonej cechy- uszeregowanie nauczycieli pewnej szkoły według ich stażu pracy, miss według urody, firmy według zarobków czy klientów (ranga może być od góry(1 miejsce osoba z najbardziej nasiloną cechą) lub od dołu(1miejsce osoba z najsłabiej nasiloną cechą)) – na podstawie określamy nasilenie mierzonej cechy ale nie wiemy jaka różnica.

6. Pomiar ilościowy. Pojęcia. Przykłady

– interwałowy: posiada jednostkę miary (ustalone odległości między jej punktami, czyli

wielkości przedziałów) ;jest podziałem ilościowym w ścisłym tego słowa znaczeniu ( elementy zbioru są uporządkowane, a ponadto liczby na skali pomiarowej informują nas o wielkości różnic

ten pomiar pozwala na rozpatrywanie (wykreślanie) rozkładu wyników

– ilorazowy: poza właściwościami skali interwałowej posiada naturalny punkt zerowy (zero

absolutne), w którym zupełnie brak mierzonej cechy;

pozwala na porównanie wielkości posiadanej cechy (a nie tylko wyniku)

długość(m) skoku w dal, czas(sek.)biegu przełajowego, temp (C)

7. Miary opisowe właściwe dla skali nominalnej

procenty, frakcje i kategorie modalności.

8.Miary opisu jednocechowego właściwe dla pomiaru ilościowego

ILOŚCIOWE MIARY OPISOWE:

- miary położenia = I rzędu

- miary rozproszenia =I rzędu

- miary asymetrii = II rzędu

- miary kurtozy( spiętrzenia) =II rzędu

MIARY KLASYCZNE- do ich obliczenia konieczna jest znajomość wszystkich wartości zmiennej w badanej próbie

MIARY POZYCYJNE- do ich obliczenia bierze się pod uwagę tylko niektóre wartości zmiennej, znajdujące się na określonej

Pozycji (Gdy uczniowie piszą test i 5 z nich nie wyrobi się w czasie to nie znamy wszystkich

wartości, więc nie możemy zastosować miary klasycznej, wtedy używamy miary pozycyjnej )

9. Własności średniej arytmetycznej i przeciwwskazana do jej stosowania.

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA- suma wszystkich wyników (wartości zmiennej) dzielona przez ich ilość.$\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$= $\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{x}\mathbf{}}{\mathbf{n}}$

Własności ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ:

• spełnia nierówność x_min<średnia<x_max

• suma odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej jest równa 0

• najbardziej rzetelna miara tendencji centralnej

• jako miara klasyczna nie jest możliwa do obliczenia w rozkładach niepełnych

• geometrycznie jest środkiem ciężkości próby

• na jej wysokości silny wpływ mają wartości skrajne (ekstremalne)

Przeciwwskazania do stosowania ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ w opisie próby:

• rozkład wyników dwu- i wielowierzchołkowych

• rozkład wyników wybitnie asymetryczny

• w próbie występują wyniki skrajne, znacznie odbiegające od pozostałych (dotyczy małych prób)

10. Pojęcie i zastosowanie dominanty

DOMINANTA (MODALNA)- wartość najczęściej występująca; wartość zmiennej odpowiadająca maksimum funkcji matematycznej opisującej dany rozkład; geometrycznie- DOMINANTA to wartość, nad którą leży wierzchołek rozkładu.

Wskazania do stosowania DOMINANTY (MODALNEJ):

• wymagana jest jak najszybsza ocena wartości centralnej

• wystarczy przybliżona ocena wartości centralnej

• chcemy znać wartość najbardziej typową

11. Pojęcie i zastosowanie mediany

MEDIANA- wartość środkowa (lub punkt na skali pomiarowej), która dzieli zbiór obserwacji na dwie równe części; geometrycznie- MEDIANA dzieli powierzchnię pod krzywą rozkładu wyników na dwie równe części.

Wskazania do stosowania MEDIANY:

• liczebność próby jest mała

• rozkład wskazuje znaczną asymetrię

• rozkład jest niepełny

• interesuje nas, czy obserwacje przypadają w dolnej lub górnej części rozkładu, a nie ich oddalenie od środka

12. Pojęcie i rodzaj miar położenia właściwych dla pomiaru ilościowego

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA-suma wszystkich wyników(wartości zmiennej) dzielona przez ich ilość

MEDIANA- wartość środkowa(lub punkt na skali pomiarowej),która dzieli zbiór obserwacji na dwie równe części; geometrycznie-mediana dzieli powierzchnię pod krzywą rozkładu wyników na dwie równe części

DOMINANTA(MODALNA)-wartość najczęściej występująca; wartość zmiennej odpowiadająca maksimum funkcji matematycznej opisującej dany rozkład; geometrycznie-dominanta to wartość, nad którą leży wierzchołek rozkładu

KWARTYLE- wartości zmiennej(lub punkty na skali pomiarowej), które dzielą zbiór obserwacji na cztery równe części; geometrycznie- kwartyle dzielą płaszczyznę pod krzywą rozkładu na cztery równe części; kwartyl drugi to mediana; kwartyle: 1 i 3 wskazują 25% najniższych i 25% najwyższych wyników w próbie

13. Pojęcie i zastosowanie miar rozproszenia.

MIARY ROZPROSZENIA- należą do ilościowych miar opisowych; stosuje się je w celu obliczenie zróżnicowania jednostek zbiorowości statystycznej (próby, populacji) ze względu na wartości badanej zmiennej ; rozróżniamy takie miary rozproszenia jak:

I POZYCYJNE:

• Rozstęp- różnica między wynikiem najwyższym i najniższym R=xmax-xmin+1

• Odchylenie ćwiartkowe- połowa różnicy między trzecim i pierwszym kwartylem (kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie wyznacza się medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu)Q=$\frac{\mathbf{Q3 - Q1}}{\begin{matrix} \mathbf{2} \\ \\ \end{matrix}}$

II KLASYCZNE:

• Odchylenie przeciętne –jest to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń poszczególnych wyników od ich średniej arytmetycznej

• Wariancja– jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń obserwacji od ich średniej arytmetycznej

• Odchylenie standardowe– jest to pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń obserwacji od ich średniej arytmetycznej; jego interpretacja pozwala nam określić stopień spiętrzenia rozkładu $\mathbf{s}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\sqrt{\mathbf{n}\mathbf{\sum}}\mathbf{x}_{\mathbf{I}}^{\mathbf{2}}$-(∑x_I)2

14. Własności rozkładu normalnego

• jest rozkładem jednowierzchołkowym

• symetryczny względem środka (wyniki typowe leżą w środku rozkładu)

• przeciętny stopień spiętrzenia ( w odległości jednego odchylenia standardowego od środka w obie strony znajduje się 68,26% wszystkich wyników)

• posiada 2 pkt przecięcia

• klasyczny obszar typowy

15. Kurtoza rozkładu i jej znaczenie dla opisu wyników próby. Przykład

KURTOZA ROZKŁADU- stopień spiętrzenia; zależy od gęstości obserwacji w pobliżu średniej arytmetycznej; informuje nas jak duży jest "rozrzut" uzyskanych wyników, np. dwie grupy różnią się poziomem zmiennej, ale maja taka samą wartość przeciętnej.

Miary kształtu rozkładu:

• ROZKŁAD MESOKURTYCZNY- zmienność wyników w badanej próbie normalna- rozkład normalny, k=68,26%

• ROZKŁAD LEPTOKURTYCZNY- zmienność wyników w badanej próbie mniejsza, niż normalnie (grupa jednorodna, mało zróżnicowana)- rozkład spiętrzony, k>68,26%

• ROZKŁAD PLATOKURTYCZNY- zmienność wyników w badanej próbie większa, niż normalnie (grupa niejednorodna, znacznie zróżnicowana), rozkład spłaszczony, k<68,26%

PRZYKŁAD ZMIENNEJ O DODATNIEJ KURTOZIE: cena kilograma jabłek (dane hipotetyczne) w sierpniu w danym mieście w Polsce. Badacz zbadał cenę w kilkunastu miejscach, w których sprzedawane są jabłka. Średnia cena wyniosła około 3zł.

PRZYKŁAD ZMIENNEJ O UJEMNEJ KURTOZIE: wiek uczestników pewnego turnieju szachowego. Jak wiadomo, grą w szachy interesują się osoby w różnym wieku. Do turnieju zgłosiła się podobna liczba osób w młodym, średnim i starszym wieku. Średnia wieku wyniosła około 33 lat (30-35 lat)

16. Asymetria rozkładu i jej znaczenie dla charakterystyki próby. Przykład

ASYMETRIA ROZKŁADU- polega na nierównomierności prawo- i lewostronnego rozproszenia, co wyraża się również i tym, że wartości średniej arytmetycznej, mediany i dominanty nie pokrywają się, np. rozkład wyników w teście całej grupy jest umiarkowanie lewoskośny tzn. istotnie więcej osób w grupie miało wyniki wyższe od średniej grupowej (przewaga wyników lepszych). w obrębie środkowych 50% obserwacji rozkład jest symetryczny.

I WSKAŹNIK ASYMETRII : - klasyczny Ws=x-D

- pozycyjny Wspoz=(Q3-Q2)-(Q2-Q1)

• gdy asymetria >0, to ROZKŁAD PRAWOSKOŚNY

• gdy asymetria <0, to ROZKŁAD LEWOSKOŚNY

II WSPÓŁCZYNNIK ASYMETRII : - klasyczny As=Ws:s

- pozycyjny Aspoz=(Q3-Q2)+(Q2-Q1)

Przykład:Badamy poziom intelektualny w grupie studentów.As=-0.75- mamy rozkład lewo skośny, bo -0.75<0 co oznacza, że przeciętny poziom intelektualny w badanej grupie jest znacznie wyższy.

17. Metody badania korelacji między zmiennymi w zależności od poziomu pomiaru:

Ilościowy-korelacja r-Spearmana

Nominalny-c-pearsona/fi Youlea/r-tetrachoryczne

Porządkowy-r-Spearman

18. Warunki stosowania korelacji liniowej r-Pearsona. Sprawdzanie.

WSPÓŁCZYNNIK KOLERALCJI r-PEARSONA to najczęściej stosowana miara siły związku miedzy dwiema zmiennymi, przy pomiarze ilościowym. Informuje nas o tym, w jakim stopniu dwa zjawiska są ze sobą powiązane, w jakim stopniu zmianie jednego zjawiska, towarzyszy zmiana drugiego zjawiska.

Warunki stosowania korelacji liniowej r-Pearsona:

• poziom pomiaru zmiennych musi być co najmniej INTERWAŁOWY

• charakter zależności między zmiennymi PROSTOLINIOWY

• rozkłady obu zmiennych w populacji NORMALNE

19. Etapy wnioskowania statystycznego

estymacja – szacowanie (ocena) nieznanych parametrów populacji na podstawie statystyk w

próbie. na podstawie wyników badania próby formułujemy wnioski dotyczące populacji.

weryfikacja hipotez (testy statystyczne) – formułujemy wnioski (hipotezy) dotyczące populacji i

weryfikujemy je w oparciu o wyniki otrzymane w próbie

etapy weryfikacji hipotez:

· sformułowanie hipotez

· określenie poziomu istotności

· wybór testu statystycznego

· obliczenie wartości empirycznej

· zdefiniowanie obszaru odrzuceń hipotezy zerowej

· podjęcie decyzji weryfikacyjnej i interpretacja merytoryczna

20. Rodzaje testów statystycznych. Przykłady

• testy parametryczne- szukamy tylko wartości pewnych parametrów rozkładu; dzielą się na:

testy istotności dotyczące miar średnich , odchyleń standardowych, proporcji,

• testy nieparametryczne- służą do weryfikacji hipotez nieparametrycznych, tj. hipotez

niedotyczących wartości nieznanych parametrów populacji. dzielą się na: testy zgodności, jednorodnośc i , losowości

21. Rodzaje hipotez statystycznych. Przykłady

hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie (założenie) dotyczące:

· nieznanego poziomu parametrów populacji (hipotezy parametryczne)

· nieznanej postaci rozkładu badanej zmiennej w populacji (hipotezy nieparametryczne)

hipoteza zerowa – zakłada zawsze brak różnic lub brak zależności. jest hipotezą główną.

hipotezy alternatywne – mogą zakładać:

· istnienie różnic (zależności) bez określonego kierunku – hipotezy dwustronne

· istnienie różnic ze wskazaniem kierunku- hipotezy jednostronne

22. Kryteria wyboru testu statystycznego ( Z lub T) :

• poziom pomiaru

• rodzaj hipotez

• wielkość próby

• dodatkowe kryterium decydujące o wariancie testu (do badań natury związków wykorzystujemy metody korelacyjne oraz regresyjne, natomiast do różnicowych takie jak testy t, analiza wariancji.)

23. Obszar krytyczny i obszar przyjęć we wnioskowaniu statystycznym

Obszar odrzuceń hipotezy zerowej to inaczej obszar krytyczny (Ek). Lokaliazcja obszaru krytycznego zależy od rodzaju i wariantu testu statystycznego. W testach parametrycznych lokalizacja Ek jest ściśle powiązana z postacią hipotezy alternatywnej. H1:µ1≠µ2-h.obustronna Ek-obustronny, H1:µ1>µ2 h.prawostronna,Ek-prawostronny, H1:µ1<µ2 h.lewostronna,Ek-lewostronny.

Obszar przyjęć to zbiór wartości, które przemawiają za przyjęciem hipotezy zerowej.

24.zasady podejmowania decyzji weryfikacyjnej w testach parametrycznych

Decyzję weryfikacyjną podejmujemy w oparciu o stwierdzenie w jakim obszarze znajduje się wartość empiryczna testu :

-w Ep-brak podstaw do odrzucenia H0

-w Ek-odrzucenie H0

W przypadku odrzucenia hipotezy zerowej przyjmujemy hipotezę alternatywną z określonym prawdopodobieństwem.

25. Warunki stosowania testów parametrycznych:

• zmienne ilościowe

• rozkłady zmiennych w populacji, z których pochodzą badane próby są normalne

• próby losowe

26. Pojęcie i zastosowanie testów nieparametrycznych. zalety.

testy niepara. - służą do weryfikacji hipotez nieparametrycznych, tj. hipotez niedotyczących

wartości nieznanych parametrów populacji.

• zastosowanie:

-poziom pomiaru zmiennej jest niższy niż interwałowy( może być tylko porządkowy)

-poziom pomiaru interwałowy, ale nie są spełnione warunki do zastosowania testu

parametrycznego.

• zalety:

-są niezależne od rozkładu zmiennej w populacji

-prosta w obliczeniach

27. Rodzaje testów nieparametrycznych. przykłady zastosowania

-test u-manna whitnye'a (dla danych niezależnych)

-test t-wilcoxona (dla danych zależnych)

-test serii walda-wolfowitza (do bad. losowości próby)

-testy zgodności kołomogorowa i chi-kwadrat (zgodnośc rozkładu empirycznego z rozkładem

normalnym)

-test niezależności

-test istotności zmian- mc-nemara (dla danych zależnych)

28. Wady i ograniczenia testów nieparametrycznych

-wykazują tendencję do nieodrzucania h0 (maja mniejszą moc)

-w większości testów nieparametrycznych wymagana jest zmienna ciągła

29. Test niezależności chi-kwadrat.Zastosowanie.Sposób formułowania hipotez.

TEST NIEZALEŻNOŚCI CHI KWADRAT- najczęściej stosowany test nieparametryczny(niezależnym od rozkładu)

Zastosowanie: stosujemy gdy problem badawczy dotyczy zależności, a mierzone zmienne są mierzone na poziomie nominalnym. Warunkiem koniecznym jest ponadto aby próba badana liczyła nie mniej niż 40 osób ,a wartości oczekiwane klas były większe od 5

Sposób formułowania hipotez:-formułujemy go opisowo

-H₀ :między badanymi zmiennymi(...) nie istnieje zależność

-H1:m-dzy badanymi zmiennymi (…) istnieje zależność

-wzór na obliczenie wartości empirycznej testu

- obszar krytyczny w tym teście jest zawsze prawostronny- tzn., że warunkiem odrzucenia hipotezy zerowej jest spełnienie nierózwności

- w przypadku odrzucenia Ho i przyjęcia H1 siłę zależności badamy za pomocą współczynnika kontyngencji C- Pearsona