Akademia Techniczno- Humanistyczna

W Bielsku- Białej

WNOMiś

Inżynieria Środowiska

Rok I Semestr I

Ćwiczenie nr 65

Wyznaczanie pojemności kondensatorów metodą drgań relaksacyjnych

Grupa Laboratoryjna 104

Agentki

1. Wstęp teoretyczny

Schemat elektryczny generatora wykorzystywanego w ćwiczeniu:

Generator przedstawiony na rysunku pracuje w następujący sposób.Po włączeniu napięcia zasilającego na wyjściu pojawia się napięcie +U, dzięki czemu kondensator C zaczyna się ładować. Gdy napięcie na kondensatorze osiąga wartość +0,5U, wzmacniacz operacyjny przełącza napięcie na wyjściu na wartość –U. W tym momencie kondensator zaczyna się rozładowywać do zera, a następnie ładować napięciem o przeciwnym znaku. Gdy znowu napięcie osiąga wartość -0,5U, wzmacniacz operacyjny zmienia znak na przeciwny i cykl się powtarza.

Okres drgań jest funkcją liniową iloczynu oporności R i pojemności kondensatora C, więc można go zapisać za pomocą równania:

T = K*RC + t₀

gdzie K ( współczynnik kierunkowy) i t0 (wyraz wolny) to stałe.

Wartości tych stałych można wyznaczyć znajdując parametry prostej korelacji dopasowanej do wyznaczonego doświadczalnie wykresu funkcji T=f(RC). Dla wybranej wartości R prosta korelacji jednocześnie stanowi prostą kalibracji układu pomiarowego.

Sposoby łączenia kondensatorów

Kondensatory możemy łączyć w baterie. Oznacza to budowanie układów kondensatorów, który to układ (ta bateria) ma swoją pojemność. Pojemność takich układów nazywamy pojemnością zastępczą (C_zs, C_zr ).

Kondensatory w układach mogą być łączone:

a)szeregowo,

b)równolegle,

c)mieszanie.

 

Połączenie szeregowe (obwód szeregowy) jest to taki rodzaj połączenia elementów elektrycznych, w którym koniec jednego elementu łączy się z początkiem następnego. Połączenie takie tworzy szereg (łańcuch) elementów, w którym prąd elektryczny musi przepływać kolejno przez wszystkie elementy (natężenie prądu ma więc taką samą wartość dla wszystkich elementów w połączeniu szeregowym).

Dla połączenia szeregowego kondensatorów wypadkowa pojemność jest mniejsza niż najmniejsza ze składowych pojemności:

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{C}_{\mathbf{\text{zs}}}}\mathbf{\ }$=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{1}}}$+ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}$+ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{3}}}$

Połączenie równoległe (obwód równoległy) jest to taki rodzaj połączenia elementów elektrycznych, w którym wszystkie końce oraz wszystkie początki elementów są połączone razem. Połączenie takie tworzy odpowiednią ilość gałęzi, w których mogą płynąć różne prądy, ale które zasilane są takim samym napięciem elektrycznym.

Dla połączenia równoległego kondensatorów wypadkowa pojemność jest sumą składowych pojemności:

C_zr= C₁+C₂+C₃

Wzory na względną różnicy:

δ = $\frac{\mathbf{|Cs - Czs|}}{\mathbf{\text{Czs}}}$

C_s- pojemność połączenia szeregowego

C_zs­- pojemność zastępcza połączenia szeregowego

δ = $\frac{\mathbf{|Cr - Czr|}}{\mathbf{\text{Czr}}}$

C_r- pojemność połączenia równoległego

C_zr- pojemność zastępcza połączenia równoległego

1. Tabele z wynikami pomiarowymi i obliczeniami

Wartość współczynnika kierunkowego K oraz błąd tej wartości ΔK:

K = 2.241 [s] K a

ΔK = 0.003 [s] ΔK Δa

Wartość wyrazu wolnego t₀ oraz błąd tej wartości Δ t₀ :

t₀ = -0.021 [s] t₀ b

Δ t₀ = 0.017 [s] Δ t₀ Δb

Tab.1

	C [μF]	RC[s]	t10 [s]	T [s]
1.	1	1	22.47	2.247
2.	2	2	44.62	4.462
3.	3	3	66.84	6.684
4.	4	4	89.22	8.922
5.	5	5	111.47	11.147
6.	6	6	134.53	13.453
7.	7	7	156.97	15.697
8.	8	8	179.22	17.922
9.	9	9	201.28	20.128
10.	10	10	223.91	22.391
R= 1 [MΩ]
K= 2.241 ± 0.003 [s]	T0= -0.021 ± 0.017 [s]
		t10 [s]	Tx [s]
11.	C1	22.97	2.297
12.	C2	104.72	10.472
13.	Cs	18.82	1.882
14.	Cr	127.81	12.781

Obliczenia na pojemność badanych kondensatorów C_1, C_2, C_s, C_r :

C₁= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\text{KR}}}$ =$\frac{2.297 - \left( - 0.021 \right)}{2.241*1} =$ $\frac{10.462 - ( - 0.035)}{2.24*1}$$\ \frac{10.462 - ( - 0.035)}{2.240*1}$ $\frac{2.318}{2.241}$ $\frac{10.497}{2.24}$ 1.0343[µF]

C₂= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\text{KR}}}$ =$\ \frac{10.472 - ( - 0.021)}{2.241*1}$ = $\frac{10.493}{2.241}$ 4.6823[µF]

C_s= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{s}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\text{KR}}}$ = $\frac{1.882 - ( - 0.021)}{2.241*1}$$\frac{4.147 - ( - 0.035)}{2.240*1}$ $\frac{4.147 - ( - 0.035)}{2.240*1}$= $\frac{1.903}{2.241}$ ≈ 0.8492[µF]

C_r= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{r}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\text{KR}}}$ = $\frac{12.781 - ( - 0.021)}{2.241*1}$$\frac{12.778 - ( - 0.035)}{2.240*1}$ = $\frac{12.802}{2.241}$ 5.7126[µF]

Błędy bezwzględne dla pojemności C_1, C_2, C_s, C_r (ΔTx 0.2 [s], ΔR/R = 2 %):

ΔC_x = C_x(++)

ΔC₁= 1.0343$\left( \ \frac{0.2 + 0.017}{2.297 - ( - 0.021)} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)$$\left( \ \frac{0.2 + 0.024}{10.462 - ( - 0.035)} + \frac{0.004}{2.240} + 0.02 \right)$ = 1.0343$\left( \frac{0.217}{2.318} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)$
$\left( \frac{0.224}{10.497} + \frac{0.004}{2.240} + 0.02 \right)$0.1189[µF]

ΔC₂= 4.6823$\left( \ \frac{0.2 + 0.017}{10,4720.021} \right.\ + \frac{0.003}{2.241} + 0.02$ = 4.6823$\left( \ \frac{0.217}{10.493} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)\backslash n \approx$ 0.1967[µF]

ΔC_s= 0.8492$\left( \ \frac{0.2 + 0.017}{1.882 - ( - 0.021)} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)$ = 0.8492$\left( \ \frac{0.217}{1.903} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)$ ≈0.1151[µF]

ΔC_r= 5.7126$\left( \ \frac{0.2 + 0.017}{12.781 - ( - 0.021)} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)$ = 5.7126$\left( \ \frac{0.217}{12.802} + \frac{0.003}{2.241} + 0.02 \right)\ $ ≈0.2187[µF]

Błędy względne wyrażone w procentach dla Cs i Cr :

• ΔCr/Cr [%]

$\frac{0.2187}{5.7126}*100\% =$ 3.82%

• ΔC_s/C_s [%]

$\frac{0.1151}{0,8492}*100\% =$ 13.55%

Wartość pojemności zastępczej kondensatorów C₁ i C₂ połączonych szeregowo => C_zs :

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{C}_{\mathbf{\text{zs}}}}\mathbf{\ }$=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{1}}}$+ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}$+ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{3}}}$

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{C}_{\mathbf{\text{zs}}}}$=$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{1}}}$+ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}$ = $\frac{1}{1.0343}\mathbf{\ }$+$\frac{1}{4.6823}$1.1804[µF]

C_zs= $\frac{1}{\ 1.1804\ } \approx$ 0.8472[µF]

Wartość pojemności zastępczej kondensatorów C₁ i C₂ połączonych równolegle => C_zr :

C_zr= C₁+C₂+C₃

C_zr= C₁+C₂ = 1.0343+ 4.6823 = 5.7166

Obliczenia na względne różnice wyrażone w procentach:

• Pomiędzy wartościami Cs i Czs

δ = $\frac{|Cs - Czs|}{\text{Czs}}$ * 100%

δ =$\frac{|0.8492 - 0.8472|}{0.8472}$ * 100% =0,024 * 100% = 0.24%

• Pomiędzy wartościami Cr i Czr

δ = $\frac{|Cr - Czr|}{\text{Czr}}$ * 100%

δ =$\frac{|5.7126 - \mathbf{5.7166}|}{\mathbf{5.7166}}$ * 100% = 0.07%

Tab.2

C1± ΔC1 [µF]	C2 ± ΔC2 [µF]	Cs ± ΔCs [µF]	ΔCs/Cs [%]	Czs [μF]	δ [%]	Cr ± ΔCr [µF]	ΔCr/Cr [%]	Czr [μF]	δ [%]
1.0343± 0.1189	4.6823± 0.1967	0.8492 ± 0.1151	13.55	0.8472	0.24%	5.7126± 0.2187	3.82	5.7166	0.07%

III. Wnioski

Po obliczeniu kolejno dla dziesięciu kondensatorów (o znanych pojemnościach) ich czasów ładowania za pomocą świetlówki i stopera zauważa się że czasy te rosną liniowo. Metoda drgań relaksacyjnych jest obarczona niewielkim błędem metody. Można ją stosować tylko, gdy założy się, iż czas ładowania kondensatora jest dużo większy od czasu rozładowania.