GRANICE FUNKCJI

• Sąsiedztwa punktu

1.Sąsidztwem o promieniu r>0 punktu
nazywamy zbiór

2. Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r>0 punktu
nazywamy zbiór

3. Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu r>0 punktu
nazywamy zbiór

• Sąsiedztwo nieskończoności

1. Sąsiedztwem
   nazywamy zbiór
   gdzie
   




2. Sąsiedztwem
   nazywamy zbiór
   gdzie
   




• Tw. Heinego o granicy właściwej funkcji w punkcie

Niech
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie


Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie
co zapisujemy :




Wtedy i tylko wtedy gdy




Obrazowo : funkcja f ma w punkcie
granicę właściwą g , gdy jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do punktu
(i różnym od tego punktu )

dążą do liczby g




• Tw. Cauchy'ego o granicy właściwej funkcji w punkcie

Niech
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie


Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie
co zapisujemy :




wtedy i tylko wtedy gdy :




Obrazowo : funkcja f ma w punkcie
granicę właściwą g gdy jej wartości różnią się

dowolnie mało od granicy , o ile tylko jej argumenty leżą dostatecznie blisko punktu


i są od niego różne :




• Tw. Heinego o granicy niewłaściwej funkcji w punkcie

Niech
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie


Funkcja f ma granicę niewłaściwą
w punkcie
co zapisujemy




wtedy i tylko wtedy gdy




Obrazowo : Funkcja f ma granicę niewłaściwą
gdy x dąży do
jeżeli jej wartości odpowiadające argumentom dążących do punktu
(i różnym od tego punktu )

dążą do





• Tw. Cauchy'ego o granicy niewłaściwej funkcji w punkcie

Niech
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie


Funkcja f ma granicę niewłaściwą
w punkcie
co zapisujemy




wtedy i tylko wtedy





Obrazowo : funkcja f ma w punkcie
granicę niewłaściwą
gdy jej wartości jeżeli

jej wartości są dowolnie duże , o ile tylko argumenty leżą dostatecznie blisko punktu


i są od niego różne




---