Pomiar wsp napięcia powierzchn cieczy


Pomiar współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy metodą rurek włoskowatych.

(119)

0x01 graphic

OPIS TEORETYCZNY

Spoiwem wiążącym ze sobą cząsteczki, z których zbudowana jest materia są siły międzycząsteczkowe. Mają one naturę elektromagnetyczną, a ich podstawową cechą jest to, że ich oddziaływanie jest znaczące tylko na bardzo niewielkich odległościach, porównywalnych z wymiarami cząsteczek (to jest rzędu 10-10 m ). Siły oddziaływania międzycząsteczkowego występują w dwóch postaciach : jako siły przyciągania Fp i siły odpychania Fo.
Oddziaływania te prowadzą do szeregu tzw zjawisk cząsteczkowych, z których najbardziej znane to zjawiska dyfuzji, osmozy, włoskowatości, napięcia powierzchniowego.
W opisywanym doświadczeniu decydującą rolę odgrywają napięcie powierzchniowe i włoskowatość. Zjawisko napięcia powierzchniowego przejawia się w istnieniu na powierzchni cieczy cienkiej błonki, która posiada, w zakresie działania niewielkich sił, własność sprężystości postaci (charakterystyczna dla ciał stałych).
Istotą występowania tego zjawiska jest to, że na cząsteczki znajdujące się wewnątrz cieczy działają siły pochodzące od otaczających je wokół innych cząsteczek. Ze względu na symetrię, oddziaływania te wzajemnie równoważą się. Tej symetrii nie doznają natomiast cząsteczki znajdujące się w warstwie powierzchniowej, gdyż od góry stykają się one co najwyżej z cząsteczkami powietrza, których jest względnie mało i z którymi oddziaływanie jest dużo słabsze. Tak więc wypadkowa siła działająca na takie cząsteczki jest różna od zera i skierowana jest do wnętrza cieczy. Tym samym powierzchnia cieczy ma własność sprężystej błonki, która dążąc do maksymalnego zmniejszenia powierzchni cieczy nadaje na przykład kropli cieczy kształt kulisty.
Do określenia wielkości napięcia powierzchniowego służy współczynnik napięcia powierzchniowego.
Do zilustrowania tego pojęcia można posłużyć się prostokątną ramką z drutu, na której rozpięta jest cienka błonka (np mydlana)

. 0x01 graphic

Aby ruchomy bok tej ramki o długości l nie przesuwał się pod wpływem kurczenia się błonki, musimy na nią podziałać pewną siłą Fn .
Wielkość

0x01 graphic


nazywać będziemy właśnie współczynnikiem napięcia powierzchniowego.
Do tej pory omawiałem oddziaływanie cząsteczek cieczy między sobą. Odrębnego omówienia wymaga oddziaływanie cząsteczek cieczy z cząsteczkami ścianek naczynia, w którym ciecz się znajduje. Tutaj mogą zaistnieć dwie różne sytuacje, w zależności od tego, czy większe są siły przyciągania między cząsteczkami cieczy i cząsteczkami naczynia niż wzajemne przyciąganie cząsteczek cieczy (zjawisko zwilżania), czy tez odwrotnie (ciecz nie zwilża ścianek naczynia). W pierwszym przypadku nastąpi zagięcie powierzchni cieczy w pobliżu ścianek naczynia ku górze, czyli powstanie menisk wklęsły. Ilustruje to rysunek, z którego widać, że gdy siły przylegania (Fp) cząsteczek do ścian naczynia są większe niż siły spójności (Fs) między cząsteczkami cieczy, wypadkowa tych sił skierowana jest ku ściankom naczynia.

0x01 graphic


Gdy siły spójności są większe od sił przylegania, wypadkowa tych sił skierowana jest do wnętrza cieczy. Powoduje to zagięcie powierzchni ku dołowi i tworzy się menisk wypukły.

0x01 graphic


Ze zjawiskiem napięcia powierzchniowego wiąże się ściśle zjawisko włoskowatości. Efekt ten jest widoczny wyraźnie w bardzo cienkich rurkach (tzw rurkach włoskowatych) zanurzonych jednym końcem w cieczy. Jeżeli ciecz w takiej rurce tworzy menisk wklęsły (na przykład woda w rurce szklanej) to siły napięcia powierzchniowego dążące do zmniejszenia powierzchni swobodnej ułożą się jak, jak widać na rysunku

0x01 graphic

Wypadkowa tych sił, skierowana jest ku górze i powoduje, iż poziom cieczy w rurce podniesie się w stosunku do poziomu cieczy w naczyniu.
Jeżeli rurkę zanurzymy w cieczy, w której powstaje menisk wypukły (na przykład rurkę szklaną w rtęci), wypadkowa sił napięcia powierzchniowego skierowana będzie do dołu, więc poziom cieczy w rurce obniży się.
0x01 graphic

Łatwo wyliczyć średnicę rurki znając wysokość na jaką wzniesie się słupek cieczy w rurce. Wystarczy zauważyć, że siły napięcia powierzchniowego muszą zrównoważyć ciężar słupka cieczy o wysokości "h".

0x01 graphic


A znając już średnice rurki, możemy dla innej cieczy wyznaczyć współczynnik napięcia powierzchniowego.

0x01 graphic

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy badanej poprzez pomiar wysokości wzniesienia tej cieczy w rurkach włoskowatych. Etapem wstępnym tego pomiaru jest wyznaczenie średnic wewnętrznych tych rurek. Przeprowadza się to mierząc wysokości słupków wody destylowanej w tych rurkach i znajomość współczynnika napięcia powierzchniowego dla wody.

METODA POMIAROWA

Wyznaczanie średnicy wewnętrznej rurek

  1. Czyste i przepłukane wodą destylowaną rurki włoskowate zanurzamy pionowo do wody.

  2. Przy pomocy pompki gumowej wciągamy do wnętrza rurek wodę i zdejmujemy pompkę z rurki.

  3. Linijką mierzymy wysokości słupków wody w poszczególnych rurkach.

  4. Pomiar dla każdej rurki powtarzamy dziesięciokrotnie, gdyż jest obarczony dość dużym błędem.

  5. Wyniki umieszczamy w tabeli :

0x01 graphic

Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy badanej

Powtarzamy czynności opisane w punktach 1-4 używając badanej cieczy zamiast wody.

0x01 graphic

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW


Należy obliczyć współczynnik napięcia powierzchniowego cieczy badanej dla każdej rurki osobno, a następnie wyliczyć wartość średnią napięcia powierzchniowego i jej niepewność.
Wyznaczając niepewności pomiarowe, należy uwzględnić zarówno niepewności systematyczne (odczytu z linijki) jak i przypadkowe (statystyczne). Jak to się robi, opisano szczegółowo na stronie poświęconej niepewnościom pomiarowym

http://labor.ps.pl/wfc9.html

ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Ten rozdział został opracowany przez Janusza Typka


i został nieudolnie przerabiany na stronę www
Strona przygotowana jest na podstawie książki: "Teoria pomiarów", pod redakcją Henryka Szydłowskiego, PWN 1981.
Nieco skrócona wersja tego opracowania znajduje się w nowszych wydaniach skryptu "Ćwiczena laboratoryjne z fizyki " pod redakcją Tadeusza Rewaja.

Spis treści

1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

1.1. Niepewności systematyczne

1.2. Niepewności przypadkowe

1.3. Podsumowanie

2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE

2.1. Niepewności systematyczne pomiarów bezpośrednich

2.2. Niepewności systematyczne pomiarów pośrednich

2.3. Graficzne przedstawienie niepewności systematycznych

3. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE

3.1. Rozkład normalny

3.2. Populacja generalna, próba, estymatory

3.3. Rozkład Studenta, estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej

3.4. Niepewność przypadkowa pomiarów pośrednich

3.5. Rozkład prostokątny

4. NIEPEWNOŚCI CAŁKOWITE

4.1. Pomiary bezpośrednie

4.2. Pomiary pośrednie

5. GRAFICZNA ANALIZA DANYCH POMIAROWYCH

5.1. Zasady sporządzenia wykresów

5.2. Regresja liniowa

  1. Transformacja niektórych funkcji nieliniowych do postaci liniowej

  1. PYTANIA I ZADANIA

  2. TABELE

1. Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe

Załóżmy, że pewna mierzona wielkość fizyczna x (np. długość, czas, masa, prędkość) ma rzeczywistą wartość xp, której z reguły nie znamy. W wyniku pomiaru tej wielkości nie uzyskujemy zasadniczo jej rzeczywistej wartości. Składa się na to wiele powodów, zależnych od metody pomiaru, użytych przyrządów pomiarowych, obserwatora, itp. Mówimy, że każdy pomiar obarczony jest niepewnościami pomiarowymi (lub błędami pomiarowymi, choć tego terminu używać dalej nie będziemy).

Występują dwa zasadnicze rodzaje niepewności pomiarowych:

Zwykle w każdym pomiarze występują one łącznie, składając się na niepewność całkowitą. Poniżej omówimy pokrótce oba rodzaje niepewności, które później zostaną przedstawione bardziej szczegółowo.

1.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE

A. W jaki sposób się objawiają ?

a) Wyniki kilkakrotnie powtarzanego pomiaru są identyczne

B. Jaka jest tego przyczyna ?

a) Użyty przyrząd pomiarowy nie pozwala na uzyskanie większej dokładności (ograniczona liczba kresek podziałki przyrządu, klasa miernika).

b) Obserwator ma ograniczoną dokładność odczytu.

Komentarze do powyższych punktów:

1.1.A.a: Powtarzanie pomiarów ma sens tylko wtedy, gdy powtarza się od początku wszystkie czynności prowadzące od uzyskania rezultatu liczbowego. Na przykład mierząc suwmiarką średnicę walca za każdym razem wybiera się na nowo miejsce pomiaru średnicy, na nowo dociska suwmiarkę itp. Powinno się zmieniać na nowo jak największą liczbę czynników nie wpływających na wynik pomiaru (osoba wykonująca pomiary, przyrząd pomiarowy, data wykonania pomiaru itp.). Jeżeli tak zrobione pomiary dają identyczne wyniki, to ich wielokrotne powtarzanie nie zwiększa dokładności rezultatu końcowego.

1.1.B.a: Przyrządy pomiarowe budowane są w taki sposób, aby wyniki pomiarów wielkości x nie różniły się od wartości rzeczywistej xp więcej niż o wartość najmniejszej działki na przyrządzie x. Wartość rzeczywista mieści się zatem w przedziale (x - x, x + x). Dokładność x stanowi maksymalną wartość niepewności systematycznej wnoszonej przez sam przyrząd i dlatego x nazywana jest często niepewnością maksymalną. Oto przykładowe niepewności systematyczne dla kilku przyrządów pomiarowych:

linijka milimetrowa 0x01 graphic
l = 1 mm.

sekundomierz 0x01 graphic
t = 0,2 s.

termometr pokojowy T= 1 oC.

Działki elementarne na niektórych miernikach są tak duże, że istnieje możliwość odczytu z większą dokładnością, ale mimo tego jako niepewność systematyczną przyjmujemy wartość równą działce elementarnej. Precyzja odczytu może być większa, gdy interesują nas nie wartości bezwzględne, ale różnice dwóch odczytów.

W przypadku analogowych mierników elektrycznych, różnicę pomiędzy wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą znajdujemy posługując się liczbą zwaną klasą przyrządu. Klasą przyrządu nazywamy wyrażony w procentach stosunek niepewności systematycznej do pełnego zakresu wychylenia miernika. Na przykład, dla amperomierza o klasie 0,5 i maksymalnym zakresie 5 A niepewność systematyczna 0x01 graphic
I jest równa

0x01 graphic

Dla mierników cyfrowych za niepewność systematyczną przyjmujemy najmniejszą wartość wyświetlaną na danym mierniku.

1.1.B.b: Obserwator wnosi niezależny przyczynek do niepewności systematycznej. Mierząc np. czas trwania jakiegoś procesu musimy uwzględnić skończony czas refleksu obserwatora. Przy pomiarze odległości popełniamy zwykle błąd paralaksy. Wkład obserwatora do niepewności systematycznej jest z reguły mniejszy od dokładności przyrządu pomiarowego.

Przykład 1. Woltomierzem klasy 0,2 o zakresie do 10 V wykonujemy odczyt napięcia na oporniku. Położenie wskazówki woltomierza możemy odczytać z dokładnością do 0,01 V. Jaka jest niepewność systematyczna pomiaru ?

Niepewność wynikająca z klasy przyrządu wynosi 0x01 graphic
a niepewność odczytu 0,01 V. Całkowita niepewność systematyczna pomiaru wynosi więc U = 0,02 + 0,01 = 0,03 V. Gdybyśmy przykładowo odczytali wartość U = 3,05 V, to wynik końcowy zapiszemy w postaci 0x01 graphic

1.2. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE

A. W jaki sposób się objawiają ?

a) Przy kolejnych powtórzeniach pomiaru nie uzyskuje się identycznych wyników, występuje ich statystyczny rozrzut.

B. Jaka jest tego przyczyna ?

a) Brak identyczności elementów zbioru.

b) Niezgodność przyjętego modelu z obiektem mierzonym.

c) Metoda pomiaru, zmienne warunki pomiaru, wpływu zmysłów obserwatora.

Komentarze do powyższych punktów:

1.2.A.a: Zwiększenie ilości pomiarów prowadzi do zmniejszenia niepewności pomiarowej. Wartości pomiar ów grupują się w specyficzny sposób wokół wartości rzeczywistej. Gdy wykonujemy bardzo dużo pomiarów, wyniki niektórych z nich mogą być takie same.

1.2.B.a: Ta przyczyna występuje wtedy, gdy pomiaru wykonujemy nie na pojedynczym obiekcie, ale na pewnym zbiorze, dla którego zdefiniowana jest mierzona wielkość. Na przykład, mierzymy średnice pewnej liczby metalowych kulek, wykonujemy pomiary modułu Younga na wielu próbkach tego samego materiału itp. Rozrzut wyników wynika ze statystycznego charakteru mierzonej wielkości.

1 .2.B.b: Tutaj przyczyną jest odstępstwo przedmiotu pomiaru od założonego modelu. Na przykład, mamy zmierzyć długość walca i zakładamy, że jest to idealny walec. Nie jest to oczywiście prawdą i dlatego pomiar jego długości wzdłuż różnych linii nie da nam tych samych wyników. Odstępstwo przedmiotu od ideału ujawni się wtedy, gdy dokładność stosowanego przyrządu pomiarowego jest wystarczająco duża.

1.2.B.c: Przykładem na to, że metoda pomiarowa wnosi własny przyczynek do niepewności przypadkowej jest pomiar długości gumki. Wynik pomiaru zależy od naprężenia gumki i sposobu przykładania linijki. Również przypadkowo zmieniające się czynniki zewnętrzne (ciśnienie, temperatura) mają wpływ na rezultat końcowy. Wpływ zmysłów na wynik pomiaru występuje najwyraźniej wtedy, gdy musimy ocenić minimum lub maksimum natężenia dźwięku, równości oświetlenia pola widzenia itp.

1.3. PODSUMOWANIE

Celem ustalenia, która z niepewności dominuje, pomiar należy powtórzyć kilkakrotnie, 3-4 razy. Jeżeli wyniki kolejnych pomiarów są identyczne, wtedy miarą dokładności pomiaru są niepewności systematyczne. Jeżeli natomiast występuje statystyczny rozrzut wyników, czyli każdy pomiar daje inny rezultat, lub przynajmniej niektóre wyniki są różne, a różnice pomiędzy poszczególnymi wynikami przewyższają niepewności systematyczne, wtedy dominuje niepewność przypadkowa.

W pomiarach, z którymi mamy do czynienia, występują z reguły niepewności systematyczne jak i przypadkowe. Na początku ograniczymy nasze rozważania do przypadków skrajnych, w których dominuje tylko jeden rodzaj niepewności.

W rozdziale 2 omówimy sposób opracowania wyników pomiarowych obarczonych jedynie niepewnościami systematycznymi, w rozdziale 3 jedynie niepewnościami przypadkowymi, zaś w !!!!!rozdziale 4 przedstawimy sposób na ich połączenie.

2. Niepewności systematyczne

2.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW BEZPOŚREDNICH

O pomiarze bezpośrednim mówimy wtedy, gdy wartość liczbowa pewnej wielkości odczytana być może bezpośrednio z przyrządu pomiarowego. Do takich pomiarów należy np. odczyt długości ciała za pomocą linijki, odczyt długości czasu trwania spadku ciała za pomocą sekundomierza, odczyt temperatury za pomocą termometru.

W poprzednim paragrafie przedstawiono sposób wyznaczenia niepewności systematycznych dla mierników oraz dodawania ich, gdy występuje kilka źródeł niepewności systematycznych. Często stosowaną wielkością jest niepewność względna pomiaru

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
x jest niepewnością systematyczną mierzonej wielkości x. Niepewność względna jest niemianowana i często bywa wyrażona w procentach. Nazywa się wówczas niepewnością procentową

0x01 graphic

Przykładowo, gdy stoperem wyznaczyliśmy czas spadania ciała otrzymując t= 12,2 s, a jako niepewność systematyczną przyjmiemy0x01 graphic
t = 0,2 s, to wynik pomiaru zapiszemy

t = (12,2 0x01 graphic
0,2) s.

Zatem niepewność względna wynosi

0x01 graphic

a niepewność procentowa

0x01 graphic

2.1.1. KILKAKROTNE, NIEZALEŻNE POMIARY Z RÓŻNYMI
          NIEPEWNOŚCIAMI SYSTEMATYCZNYMI

Załóżmy, że czas spadku kuli mierzono raz zegarkiem z sekundnikiem otrzymując

t1 = (10 0x01 graphic
1) s, drugim razem stoperem uzyskując t2=(9,4 0x01 graphic
0,2) s.

Jak w takim przypadku obliczyć czas spadku kuli i niepewność systematyczną? Ponieważ oba te rezultaty nie przedstawiają tej samej wartości (drugi pomiar jest dokładniejszy), nie mogą one wnosić tego samego wkładu do wyniku końcowego. Wprowadźmy zatem liczby wi zwane wagami w taki sposób, aby preferować większy wkład dokładniejszych pomiarów. Dla naszego przykładu można przyjąć:
w1= 1, w2= 5.
Sama wartość liczb wi nie jest ważna, ważny jest ich stosunek, który odzwierciedla wielkość niepewności każdego przyrządu. Mamy bowiem

0x01 graphic
t1 : 0x01 graphic
t2= 1 : 0,2 = 5 :1 = w 2 : w 1

Jako wynik końcowy przyjmujemy średnią arytmetyczną ważoną

0x01 graphic

(2.1)

a jako niepewność systematyczną średniej ważonej przyjmiemy średnią ważoną niepewności poszczególnych pomiarów

0x01 graphic

(2.2)

Dla naszego przykładu

0x01 graphic

Rezultat końcowy zapiszemy zatem tak

0x01 graphic

Podobnie postępujemy, gdy mamy kilka serii pomiarowych o różnych liczebnościach.

Przykład 2. Dwu obserwatorów zmierzyło długość pewnego odcinka,uzyskując następujące wyniki:

0x01 graphic

Jaka jest długość tego odcinka i jaka jest niepewność systematyczna ?

Większą wagę należy przypisać wynikom pierwszego obserwatora, ponieważ wykonał on więcej pomiarów. Dlatego przyjmujemy

w 1= 1; w 2= 0,5 .

Wtedy :

0x01 graphic

Rezultat końcowy zapiszemy w postaci

0x01 graphic

2.2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW POŚREDNICH

Załóżmy, że mierzymy wielkości x1, x2,...xn, a wartość wielkości  z  obliczamy ze wzoru z = f(x1, x2,...xn). Zatem wielkość z nie jest mierzona bezpośrednio i o takich pomiarach mówimy, że są pomiarami pośrednimi. Przykładowo, mamy za zadanie wyznaczyć prędkość pewnego ciała poruszającego się jednostajnie, dysponując jedynie sekundomierzem i linijką. Wielkościami, które mierzymy są zatem długość odcinka s i czas jego przebycia t. Prędkość ciała wyznaczymy ze wzoru 0x01 graphic
Jak wyznaczyć niepewność 0x01 graphic
v, która musi być związana z niepewnościami s i t ? Rozważmy ten problem ogólnie. Niech mierzone będą wielkości x1, x2,...,xn i każda z nich obarczona jest niepewnością systematyczną, odpowiednio 0x01 graphic
x1, 0x01 graphic
x2,..., 0x01 graphic
xn. Zakładając, że 0x01 graphic
xi<< xi dla i = 1,2,...,n, posługując się rozwinięciem Taylora otrzymamy

0x01 graphic

Jeżeli założymy ponadto, że wszystkie 0x01 graphic
xi mają ten sam znak, to 0x01 graphic
z obliczone z powyższego wzoru nazwiemy niepewnością maksymalną zm.

0x01 graphic

Przykład 3. Zmierzono wymiary geometryczne walca, otrzymując:

0x01 graphic

Obliczyć objętość V tego walca oraz niepewność 0x01 graphic
V.

Objętość 0x01 graphic
Maksymalną niepewność systematyczną obliczymy ze wzoru (2.3), otrzymując

0x01 graphic

Wynik końcowy zapiszemy w postaci

V=(38,20x01 graphic
6,5)cm3

POCHODNA LOGARYTMICZNA (autor-BT)
UWAGA! Jeżeli wielkość mierzona opisana jest funkcją w postaci jednomianu (tzn. mówiąc w uproszczeniu- nie występują w niej działania dodawania i odejmowania) można uprościć sobie żmudne obliczanie pochodnych tych funkcji. W tym celu Wstępnie logarytmujemy całą funkcję, a dopiero potem różniczkujemy.
Jako przykład weźmy zależność

0x01 graphic

Występującą w liczniku różnicę potraktujmy jako całość tj.
(l-lo)=0x01 graphic
l

Teraz wyrażenie

0x01 graphic

logarytmujemy

0x01 graphic


różniczkujemy

0x01 graphic

zamieniamy różniczki "d" na przyrosty makroskopowe "0x01 graphic
" a wszystkie znaki "-" na "+" (błędy mogą się dodawać):

0x01 graphic

Ostatecznie mamy

0x01 graphic



Wyrażenie w nawiasie określa tzw. błąd względny -można wyrazić go w procentach.
Metoda pozwala "z grubsza" oszacować maksymalny błąd pomiarowy- pozostaje tylko poprawnie określić niepewności poszczególnych wielkości mierzonych.

2.3. GRAFICZNE PRZEDSTAWIENIE NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNYCH

0x01 graphic

Rys.1 Prezentacja graficzna niepewności systematycznych

Załóżmy, że sporządzamy wykres zależności y = f(x). Wartości xi i yi otrzymane z pomiarów są obarczone niepewnościami, odpowiednio 0x01 graphic
xi i 0x01 graphic
yi. Oznacza to, że rzeczywiste wartości tych wielkości mieszczą się w przedziałach od yi - 0x01 graphic
yi do yi + 0x01 graphic
y oraz od xi- 0x01 graphic
xi do xi - 0x01 graphic
xi. Przedziały te wyznaczają na płaszczyźnie wykresu prostokąt o bokach 20x01 graphic
x i 20x01 graphic
y zwany prostokątem niepewności pomiarowej (patrz rysunek 1), w którym mieści się wartość rzeczywista.Inny sposób przedstawienia niepewności systematycznych pokazano na tym samym rysunku dla punktu o współrzędnych xj, yj.
Niepewności zaznaczono tam odcinkami o długościach 20x01 graphic
xj, 20x01 graphic
yj.

3. Niepewności przypadkowe

Niepewności przypadkowe wynikają z równoczesnego działania bardzo wielu niezależnych czynników. Każdy z tych czynników wpływa jedynie nieznacznie na rezultat pomiaru, powodując z prawdopodobieństwem p = 0,5 odchylenie wartości pomiaru o małą wartość w górę lub dół. Sumaryczne działanie wszystkich tych zakłócających czynników jest chaotyczne, dlatego przy powtórnym pomiarze nie otrzymamy tego samego co wcześniej rezultatu. W każdym konkretnym pomiarze nie jest możliwe przewidzenie wielkości i znaku wartości niepewności pomiarowej, ale nie znaczy to, że niepewności nie podlegają żadnym prawom. Prawa te mają charakter statystyczny, tzn. że możemy podać jedynie prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku pomiaru. Prawo rozkładu wyników pomiarowych opisuje tzw. rozkład normalny, zwany inaczej rozkładem Gaussa.

3.1. ROZKŁAD NORMALNY N(xp,0x01 graphic
)

Rozkład ten zawiera tylko dwa parametry: xp i 0x01 graphic
, i jego postać matematyczna jest następująca:

0x01 graphic

gdzie f jest gęstością prawdopodobieństwa wystąpienia w pomiarze wartości x, x jest wartością oczekiwaną, a 0x01 graphic
odchyleniem standardowym. W kontekście teorii pomiarów f oznacza szansę na wystąpienie wartości x,0x01 graphic
jest pewną rzeczywistą wartością, a 0x01 graphic
jest miarą rozrzutu otrzymywanych wartości x, czyli jest miarą niepewności pomiarowej. Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku x zawartego w przedziale (x1, x2) wynosi .

0x01 graphic

0x01 graphic

Jest to krzywa gęstości prawdopodobieństwa f(x) niestandaryzowanego rozkładu normalnego dla 0x01 graphic
=1 i 0x01 graphic
=0,5

Wykres funkcji f dla =1 i =0,5 przedstawiony jest na rysunku 2. Widać, że w wyniku pomiarów obarczonych niepewnością przypadkową najczęściej otrzymamy wartości leżące w pobliżu rzeczywistej wartości. Krzywa jest symetryczna wokół wartości x =  i w punktach odległych o od maksimum na punkty przegięcia. Jak nietrudno to obliczyć,

0x01 graphic


co oznacza, że prawdobodobieństwo otrzymania rezultatu z tego przedziału jest równe 68,3 %.

Podana powyżej postać f(x) nosi nazwę niestandaryzowanego rozkładu normalnego. Używa się także standaryzowanej postaci tego rozkładu, wprowadzając zmienną standaryzowaną 0x01 graphic
Wtedy:

0x01 graphic



Jest to krzywa gęstości prawodopodobieństwa f(u) standaryzowanego rozkładu normalnego
Wykres tej funkcji przedstawia rysunek:

0x01 graphic

0x01 graphic

Jedyna różnica pomiędzy wykresami na powyższych rysunkach polega na przeskalowaniu osi układu współrzędnych.

3.2. POPULACJA GENERALNA, PRÓBA, ESTYMATORY

Dokładne poznanie rozkładu normalnego wymaga wykonania nieskończonej ilości pomiarów, co oczywiście nie jest możliwe. Praktycznie dysponujemy jedynie skończoną, i zwykle niewielką ilością pomiarów. Nazwijmy zespół tych pomiarów próbą.
Próba może być duża, np. gdy ilość pomiarów n > 30, jak też i mała 10 < n < 30 , lub bardzo mała n < 10.
Termin próba pojawił się dzięki następującej analogii. Wyobraźmy sobie, że pojemnik zawiera nieskończenie wiele kul, zaś na każdej z nich napisany jest wynik pomiaru pewnej wielkości x, obarczony jedynie niepewnością przypadkową, podlegającą rozkładowi normalnemu N(0x01 graphic
,0x01 graphic
). Nazwijmy ten zbiór kul populacją generalną. W tej populacji najwięcej jest oczywiście kul, na których znajdują się liczby bliskie m, zaś kul z wartościami znacznie się różniącymi od m jest dużo mniej. Gdy wykonujemy np. pięciokrotny pomiar tej wielkości x, to jest tak, jakbyśmy pięciokrotnie losowali w sposób zupełnie przypadkowy kule z tej populacji generalnej. Liczby na tych wylosowanych kulach to właśnie wyniki naszych pomiarów. Powstaje pytanie, czy parametry obliczone z tych wartości pomiarowych pozwolą obliczyć odpowiednie parametry populacji generalnej tzn. 0x01 graphic
i 0x01 graphic
? Parametry obliczone z próby celem uzyskania informacji o populacji generalnej nazywa się estymatorami. Estymatory są tym lepszym przybliżeniem parametrów z populacji, im są obliczone z próby o coraz większej liczebności. Należy podkreślić, że estymatory obliczone z próby, nie są identyczne z parametrami populacji ogólnej i same podlegają prawom statystyki.

Poniżej podamy bez dowodu estymatory dla próby dużej i małej.

Próba duża n > 30

a) Estymatorem wartości oczekiwanej m jest średnia arytmetyczna

0x01 graphic

b) Estymatorem odchylenia standardowego s jest odchylenie standardowe

z próby Sx

0x01 graphic

Próba mała i bardzo mała n < 30

a) Estymatorem wartości oczekiwanej m jest średnia arytmetyczna

0x01 graphic

b) Estymatorem odchylenia standardowego s jest odchylenie standardowe

dla małej próby

0x01 graphic

W powyższym wzorze tn jest współczynnikiem liczbowym, zależnym od ilości pomiarów n, zwanym wartością krytyczną rozkładu Studenta. Wartości tych współczynników podano w tabeli.

Sens fizyczny średniej arytmetycznej z próby jest oczywisty: jest to taka wartość, która najbardziej zbliżona jest do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości. Nie twierdzimy, że jest ona dokładnie równa wartości rzeczywistej, bowiem powtórne wykonanie serii pomiarowej da nam z reguły inną wartość średniej arytmetycznej. Wartości średnie różnych prób same podlegają rozkładowi normalnemu z własnym odchyleniem standardowym (patrz dalej ).

Odchylenie standardowe z prób interpretujemy jako miarę niepewności przypadkowej pojedynczego pomiaru. Jest to wiekość inna niż niepewność przypadkowa średniej arytmetycznej, dla której miarą jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej 0x01 graphic

a) dużej próby n > 30

0x01 graphic

b) dla próby małej i bardzo małej n < 30

0x01 graphic

Jak tego należało oczekiwać, te ostatnie odchylenia standardowe 0x01 graphic
są mniejsze od Sx, ponieważ w średniej niepewności "kasują się", zmniejszając w ten sposób niepewność pomiarową.

Przykład 6. Wykonano n = 8 pomiarów czasu zderzenia dwu metalowych kul

i uzyskano następujące wartości (wszystkie w ms): 125, 134, 121, 128,

127, 129, 130, 125. Obliczyć wartość średnią i odchylenie  standardowe. Wartość średnia

0x01 graphic


W tabeli odczytujemy wartość krytyczną t8 = 1,0765, a odchylenia standardowe St i 0x01 graphic
obliczymy z powyższych wzorów , otrzymując

0x01 graphic

Niepewność pomiarowa pojedynczego pomiaru wynosi zatem 4,2 0x01 graphic
s, a niepewność średniej arytmetycznej wynosi 1,5 0x01 graphic
s. Ostatecznie zapiszemy

0x01 graphic
</CENTER< A>>

3.3. ROZKŁAD STUDENTA, ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WARTOŚCI

OCZEKIWANEJ

Dla prób o małej liczebności stosujemy zamiast rozkładu normalnego rozkład Studenta. Dla dużej próby jest on identyczny z rozkładem Gaussa, dla niewielkich wartości n krzywa Studenta jest bardziej płaska i odległość między punktami przegięcia jest większa niż dla rozkładu normalnego. Rozkład Studenta jest stabelaryzowany, ale zwykle nie interesuje nas ani gęstość prawdopodobieństwa, ani dystrybuanta, lecz tzw. wartości krytyczne tn,a Parametr a, występujący jako wskaźnik przy t, nazywa się poziomem istotności, zaś (1 - a) nosi nazwę poziomu ufności.
(Używam litery a zamiennie, ze zwyczajowo używaną, literą 0x01 graphic
ze względu na wygodę pisania).
Wartości tn,a podane są w tabeli . Zauważmy, że tn występujące we wcześniejszych wzorach jest wartością krytyczną tn,a dla a = 0,317.

Sens poziomu istotności (lub poziomu ufności) wynika z poniższego równania

0x01 graphic

które mówi, że prawdopodobieństwo tego, że wartość Q leży w przedziale (q1, q2) jest równe 1 - a. Wartość a przyjmuje się dowolnie, jednakże w pomiarach fizycznych wybiera się ją tak, aby 1 - a było równe lub większe od 0,95. Oznacza to, że będziemy twierdzili coś z prawdopodobieństwem 95 % lub większym. Szerokość przedziału (q1,q2) zwanego przedziałem ufności zależy oczywiście od poziomu ufności. Im wyższy poziom ufności, tym szerszy przedział ufności.

Stosując rozkład Studenta, można udowodnić, że

0x01 graphic

Jest to bardzo ważne równanie, bowiem pozwala wnioskować o nieznanej rzeczywistej wartości (0x01 graphic
) z obliczonej średniej arytmetycznej 0x01 graphic
.

Przykład 7: Posługując się danymi z przykładu 6, podać przedział ufności dla

1 - a = 0,98.

Z tabeli odczytujemy wartość krytyczną t8;0,02 = 2,998. Wyrażenie:
0x01 graphic
ma wartość równą 0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Oznacza to, że nieznana wartość oczekiwana (czyli rzeczywista wartość czasu zderzenia kul)znajduje się z prawdopodobieństwem 98 % w przedziale:
(123,30x01 graphic
s; 131,50x01 graphic
s).

DALEJ

3.4. NIEPEWNOŚĆ PRZYPADKOWA POMIARÓW POŚREDNICH

W praktyce laboratoryjnej jest to sytuacja najczęściej spotykana, gdy mierzona wielkość z jest funkcją innych zmiennych x1, x2,...,xn

z = f(x1, x2,...,xn)

i mierzy się bezpośrednio jedynie x1, x2,...,xn. Dla każdej z tych bezpośrednio mierzonej wielkości xi możemy obliczyć wartość średnią xi i odchylenie standardowe 0x01 graphic
. Okazuje się, że wartość średnia 0x01 graphic
jest równa

0x01 graphic

Jakie jest odchylenie standardowe  0x01 graphic
 tej wielkości ? Można pokazać, że

0x01 graphic

Jest to tzw. prawo przenoszenia odchyleń standardowych.

Przykład 8. W celu wyznaczenia momentu bezwładności cienkiej tarczy zmierzono

jej masę i średnicę, otrzymując

0x01 graphic

Obliczyć moment bezwładności tej tarczy i niepewność pomiarową.

Moment bezwładności tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek i prostopadłej do jej płaszczyzny podaje wzór

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic

Niepewność pomiarową tej wielkości obliczymy korzystając z prawa przenoszenia odchyleń standardowych. W tym celu obliczmy najpierw składniki występujące w sumie pod pierwiastkiem

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic

Zgodnie z probabilistyczną interpretacją odchylenia standardowego, w przedziale 0x01 graphic
będzie leżało 68,3 % uzyskanych wyników pomiarów.

3.5. ROZKŁAD PROSTOKĄTNY

Rozkład ten odgrywa bardzo ważną rolę przy analizie niepewności systematycznych. Opisuje on taki proces, w którym wypadnięcie wartości z pewnego przedziału (a,b) jest tak same prawdopodobne, a prawdopodobieństwo wartości spoza tego przedziału jest równe zeru (rysunek 4). Wyniki pomiarów obarczonych niepewnością systematyczną  (0x01 graphic
x) można przybliżyć rozkładem prostokątnym, dla którego b -a = 20x01 graphic
x. Można udowodnić, że pomiędzy odchyleniem standardowym Sx a niepewnością systematyczną 0x01 graphic
x istnieje następujący związek

0x01 graphic

Przykład 9: Obliczyć odchylenie standardowe pomiaru wykonanego za pomocą

woltomierza o klasie 0,5 , mającego na skali maksymalną wartość

U = 50 V.

Obliczymy najpierw niepewność systematyczną 0x01 graphic
U:

0x01 graphic

Następnie, korzystając z powyższego wzoru otrzymamy

0x01 graphic

Równanie to jest ważne dlatego, że umożliwia zamianę niepewności systematycznych na wielkość stosowaną dla niepewności przypadkowych, co umożliwia jednolite traktowanie obu tych różnych typów niepewności.

DALEJ

4. Niepewności całkowite

Dotąd zajmowaliśmy się wyłącznie dwoma skrajnymi przypadkami, w których bądź to dominowały niepewności systematyczne, bądź też niepewności przypadkowe. Rzeczywiste pomiary nie mieszczą się w tych dwóch skrajnych kategoriach, wobec czego należy zastanowić się, jak postępować w przypadkach pośrednich, w których obydwa rodzaje niepewności są tego samego rzędu.

4.1. POMIARY BEZPOŚREDNIE

Jeżeli wielkość mierzona x obarczona jest kilkoma niepwnościami systematycznymi 0x01 graphic
rX dla r=1,2,...,R, to zamieniamy je na odchylenie standardowe zgodnie ze wzorem

0x01 graphic

a następnie obliczamy sumaryczne odchylenie standardowe związane z niepewnością systematyczną:

0x01 graphic

Dalej musimy uwzględnić niepewność przypadkową, której miarą będzie odchylenie standardowe dane równaniem (3.8) lub (3.9), otrzymując odchylenie standardowe całkowite

0x01 graphic

Przykład 10. Ocenić niepewność pomiaru wykonanego 5-krotnie sekundomierzem o dokładności 0x01 graphic
1t = 0,1 s, w którym uzyskano wyniki: 6,7; 6,5; 6,8; 6.6; 6,7. Eksperymentator ocenił niepewność systematyczną wiązaną z wyborem chwili włączenia i wyłączenia sekundomierza na 0x01 graphic
2t = 0,2 s oraz dokładność odczytu 0x01 graphic
3t= 0,1 s.

Na niepewność całkowitą składają się niepewność przypadkowa S0x01 graphic
oraz 3 niepewności systematyczne 0x01 graphic
1t, 0x01 graphic
2t i 0x01 graphic
3t. Jako niepewność przypadkową przyjmiemy odchylenie standardowe dla małej próby (n = 5), uzyskując

0x01 graphic

Niepewność całkowitą obliczamy korzystając z powyższego wzoru, otrzymując

0x01 graphic

Ostatecznie:

0x01 graphic

4.2. POMIARY POŚREDNIE

Chcemy wyznaczyć wielkość z i jej niepewność, mierzymy bezpośrednio x1, x2,...,xn. Każda z wielkości xi obarczona jest niepewnościami systematycznymi 0x01 graphic
rxi oraz niepewnością przypadkową, której miarą jest odchylenie standardowe 0x01 graphic
ze wzor. Najbliższą rzeczywistej wartości mz będzie wartość 0x01 graphic

obliczona ze wzoru 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są średnimi arytmetycznymi odpowiednich wielkości xi.

Miarą niepewności pomiarowej będzie odchylenie standardowe 0x01 graphic
, które obliczamy w ten sposób, że najpierw zamieniamy niepewności systematyczne 0x01 graphic
rxi na odchylenia standardowe, a potem stosujemy prawo przenoszenia odchyleń standardowych.

W rezultacie otrzymamy


0x01 graphic

Przykład 11: Celem wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego przeprowadzono pomiary czasu spadku ciała z pewnej wysokości. Wysokość spadku h zmierzono 6 razy linijką z podziałką milimetrową, uzyskując następujące wyniki (w mm)

h1 = 127; h2 = 126; h3 = 127; h4 = 128; h5 = 128; h6 = 127.

Czas spadku zmierzono 5-cio krotnie, otrzymując (w s)

t1 = 0,509; t2 = 0,511; t3 = 0,507; t4 = 0,508; t5 = 0,509.

Dokładność linijki 0x01 graphic
1h =1 mm, dokładność odczytu 0x01 graphic
2h = 1 mm, niepewność systematyczna związana z ustawieniem linijki 0x01 graphic
3h = 1 mm. Dokładność czasomierza 0x01 graphic
1t = 0,001 s, niepewność systematyczna związana z wyborem chwili i wyłączenia i wyłączenia 0x01 graphic
2t = 0,03 s. Obliczyć z tych danych przyspieszenie ziemskie i jego niepewność.

Przyspieszenie ziemskie będzie można obliczyć z następującego wzoru

0x01 graphic

Wartość g obliczymy podstawiając do powyższego równania średnie arytmetyczne

wysokości spadku 0x01 graphic
i czasu spadku 0x01 graphic
. Dla danych z tego przykładu

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Miarą niepewności pomiarowej tej wartości 0x01 graphic
będzie odchylenie standardowe obliczone ze wzoru . Obliczmy najpierw pochodne cząstkowe:

0x01 graphic

0x01 graphic

W powyższym wzorze

0x01 graphic

są odchyleniami standardowymi związanymi z niepewnościami przypadkowymi.

Podstawiając wartości liczbowe do wzoru (4.3) otrzymujemy

0x01 graphic

Jak to łatwo spostrzec, niepewności związane z pomiarem czasu mają główny wpływ na 0x01 graphic
.Wynik końcowy zapiszemy w postaci:

0x01 graphic

DALEJ

5. Graficzna analiza danych pomiarowych

Graficzna analiza danych pomiarowych charakteryzuje się względną prostotą i po- glądowością. Służy ona do rozwiązywania różnorodnych problemów: znajdywania wartości wielkości fizycznych (interpolacja i ekstrapolacja graficzna), szukania zależ-ności funkcyjnej pomiędzy dwoma wiekościami, znajdywania wartości różnych parametrów, porównywania danych doświadczalnych z teorią itp. Wykres umożliwia rozpoznanie pomyłek eksperymentalnych, dlatego byłoby wskazane sporządzać prowizoryczny wykres już podczas wykonywania pomiarów.

5.1. ZASADY SPORZĄDZANIA WYKRESÓW

Podczas robienia wykresu należy kierować się następującymi zasadami:

1. Wykres wykonuje się na papierze milimetrowym lub na papierze z naniesioną specjalną siatką linii. Rozmiar wykresu określa zakres mierzonych wielkości i wybrana skala na osiach (a nie odwrotnie!).

2. Na osi y odkładamy wartości funkcji, na osi x - wartości argumentów. Na przykład mając wykreślić temperaturową zależność oporu metalu, na osi x odkładamy temperaturę, na osi y - opór elektryczny.

3. Na każdej z osi odkładamy tylko taki zakres zmian mierzonej wielkości fizycznej, w którym zostały wykonane pomiary. Nie ma zatem obowiązku odkładania na osiach punktów zerowych, gdy nie było w ich okolicy punktów pomiarowych.

4. Rozmiar wykresu nie jest dowolny i nie powinien wynikać z tego, że dysponujemy takim a nie innym kawałkiem papieru. Rozmiar powinien być określony przez niepewności pomiarowe tych wielkości, które odkłada się na osiach. Niepewność ta powinna w wybranej skali być odcinkiem o łatwo zauważalnej, znaczącej długości. Na przykład, wykonując pomiar oporu elektrycznego w funkcji temperatury mamy:

0x01 graphic
t = 1 oC , 0x01 graphic
R = 1W. Wtedy 0x01 graphic
t = 1 oC powinien odpowiadać odcinkowi np. 2 mm,

0x01 graphic
R = 1W również 2 mm.

5. Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie, tak że mogą one być różne. Dążymy do tego, aby uzyskany wykres lub jego główna część był pod kątem około 45o do osi układu współrzędnych.

6. Skalę na osiach układu nanosimy zazwyczaj w postaci równooddalonych, pełnych liczb. Ich wybór i gęstość na osi musi zapewniać jak największą prostotę i wygodę korzystania z nich.

7. Punkty na wykres nanosimy tak, by były wyraźnie widoczne. Gdy na jednym rysunku ma być kilka krzywych, punkty na każdej z nich zaznacza się inaczej: kółkami, trójkątami, kwadracikami itp.

8. Po naniesieniu punktów na wykres, rysujemy ciągłą, bez nagłych zagięć i załamań, krzywą. Powinna ona leżeć tak, aby ilość punktów po obu jej stronach była taka sama. Nie należy dążyć do tego, aby przechodziła ona przez wszystkie punkty, ponieważ każdy z nich obarczony jest niepewnością.

9. Na osiach wykresu muszą być napisane odkładane wielkości i ich jednostki.

10. Aby wykres jak najlepiej odzwierciedlał zależność dwu wielkości, czasami na osiach odkłada się nie same te wielkości, ale ich funkcje. Rodzaj tych funkcji zależy od konkretnej sytuacji. Na przykład, badając temperaturową zależność oporu elektrycznego półprzewodnika oczekuje się następującej zależności

0x01 graphic


Gdybyśmy narysowali zależność R = f(T), to trudno byłoby stwierdzić, czy jest to eksponenta czy też nie. Natomiast, gdy odłożymy punkty pomiarowe w układzie współrzędnych

0x01 graphic

i znajdują się one na prostej, to potwierdzimy tym samym oczekiwaną zależność.

11. Na rysunku należy zaznaczyć niepewności pomiarowe w postaci prostokątów lub odcinków.

12. Każdy rysunek powinien być podpisany. Podpis mówi, co rysunek zawiera, wyjaśnia co reprezentują zaznaczone krzywe.


0x01 graphic
0x01 graphic

Rys. 5. Prawidłowo i nieprawidłowo sporządzone rysunki, przedstawiające temperaturową zależność oporu elektrycznego metalu

Powyżej przedstawiono dwa rysunki, sporządzone na podstawie tych samych pomiarów. Pierwszy z nich jest nieprawidłowo zrobiony, niezgodnie z wyżej przedstawionymi wskazówkami. Drugi sporządzono kierując się tymi regułami.

DALEJ

5.2. REGRESJA LINIOWA

Często spotykamy się z taką sytuacją, gdy mierzono dwie wielkości x i y związane są ze sobą równaniem liniowym

y = ax + b

tak jest np. w przypadku temperaturowej zależności oporu elektrycznego metali

R = f(T), skręcenia płaszczyzny polaryzacji światła w funkcji stężenia roztworu cukru a = f(s), okresu drgań relaksacyjnych w obwodzie kondensatora i neonówki od pojemności kondensatora T = f(C) itp.

Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (xi, yi) i naszym zadaniem jest znaleźć równanie linii prostej (tzn. parametry a i b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to będzie miało postać

0x01 graphic

a "dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że

0x01 graphic

gdzie a i b są emiprycznymi współczynnikami regresji liniowej.

Jak łatwo zauważyć, wyrażenie w nawiasie w tym równaniu jest odchyleniem punktu eksperymentalnego (liczonym wzdłuż osi y) od odpowiadającej mu wartości wynikającej z równania prostej. Poszukując ekstremum związanego powyższego równania udowadnia się, że

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów (xi, yi).

Na odchylenie standardowe Sa i Sb, będące miarą niepewności pomiarowych współczynników regresji a i b otrzymuje się następujące równania

0x01 graphic
 0x01 graphic

Kryterium tego, jak nasze punkty pomiarowe (xi,yi) potwierdzają liniową zależność pomiędzy wielkościami x i y, stanowi wartość tzw. współczynnika korelacji liniowej r. Jego wartość zmienia się w granicach od 0x01 graphic
1 do 0. Gdy |r| = 1, to dopasowanie jest idealne, wszystkie punkty pomiarowe leżą na prostej. Gdy r = 0, to zależność liniowa pomiędzy xi i yi nie istnieje. W pomiarach fizycznych wartość współczynnika korelacji r jest zwykle większa niż 0,98. Wzór na współczynnik korelacji

0x01 graphic

Przykład 11. Wykonując pomiary temperaturowej zależności oporu elektrycznego

metalu otrzymano następujące rezultaty:

temperatura [oC]

19

38

50

65

80

opór [0x01 graphic
]

150

159

170

175

185

Znaleźć równanie prostej najlepiej pasującej do tych danych oraz

współczynnik korelacji.

Wzory, z których będziemy korzystać ( zawierają różne sumy, które obliczymy na początku. U nas xi to temperatury, a yi to opory elektryczne, i = 1,2,3,4,5.

0x01 graphic

Podstawiając te wartości do wzorów (5.3) - (5.7) otrzymamy:

0x01 graphic

Tak więc nasze x i y spełniają równanie regresji liniowej postaci

y = 0,57 x + 139 lub y = 0,57(4) + 139(2)

Punkty pomiarowe i prosta o tym równaniu zostały pokazane na rysunku 5 , po lewej stronie.

5.3. TRANSFORMACJA NIEKTÓRYCH FUNKCJI NIELINIOWYCH

DO POSTACI LINIOWEJ

Regresję liniową można zastosować do tych zależności nieliniowych, które przez odpowiednią transformację zmiennych można zlinearyzować. Rozpatrzmy te, które spotyka się w pracowni studenckiej.

a) równanie typu

y = yoeax

gdzie yo i a są stałymi, które należy wyznaczyć.

Równanie tego typu opisuje np. zależność amplitudy drgań tłumionych od czasu

A = Aoe-0x01 graphic
t, aktywność próbki promieniotwórczej w czasie a = aoe-0x01 graphic
t itp. Sprowadźmy to równanie do postaci liniowej. W tym celu najpierw zlogarytmujmy je stronami

ln y = ln yo + ax

Jeżeli zatem na osi rzędnych odłożymy lny = z , to powyższe równanie będzie równaniem prostej

z = ln yo + ax

gdzie b = ln yo, zaś a= a

b) równanie typu

y = yoea/x

Z równaniem tego typu spotykamy się, gdy badamy temperaturową zależność oporu elektrycznego półprzewodników R = R0 e-a/T, temperaturowa zależność współczynnika lepkości cieczy 0x01 graphic
= 0x01 graphic
oeE/RT, zależność temperatury wrzenia wody od ciśnienia p = poe-E/RTitp. Aby sprowadzić takie równanie do postaci liniowej, należy je najpierw zlogarytmować

0x01 graphic

a następnie dokonać podstawienie

0x01 graphic

Wówczas otrzymamy

t = ln yo + az,

które jest równaniem liniowym, wiążącym t i z.

Zatem sporządzając wykres, należy na osi odciętych odłożyć 1/x a na osi rzędnych ln y.


DALEJ

Pytania i zadania

1. Zmierzono pięciokrotnie linijką milimetrową odległość pomiędzy soczewką i ekranem, otrzymując następujące rezultaty (w mm): 138, 139, 138, 139, 139. a) Jaką niepewnością (systematyczną czy przypadkową) obarczone są te pomiary; b) Obliczyć odległość soczewka-ekran, oraz jej niepewność, a także niepewność względną i procentową tego pomiaru.

2. Stoperem, o najmniejszej podziałce 0,1 s wykonano dwa pomiary okresu drgań wahadła matematycznego. W pierwszym pomiarze zmierzono czas 20-tu drgań, otrzymując t1= 17,2 s. W drugim pomiarze zmierzono czas 30-tu drgań, otrzymując t2 = 25,4 s. Jaki jest okres drgań tego wahadła i jaka jest niepewność pomiarowa tej wartości ?

3. Z amperomierza o skali do 5 A odczytano natężenie prądu płynącego w obwodzie:
(3,72+ 0,01)A. Jaka jest klasa tego amperomierza ?

4. W ćwiczeniu mającym na celu wyznaczenie parametru 0x01 graphic
mierzy się wysokość słupów rtęci h1 i h2 na manometrze, a 0x01 graphic
oblicza się ze wzoru

0x01 graphic


W pewnym pomiarze otrzymano h1 = 152 mm Hg i h2= 47 mm Hg. Dokładność odczytu wysokości 0x01 graphic
h = 1 mm Hg. Obliczyć wartość parametru 0x01 graphic
i jego niepewność maksymalną 0x01 graphic
0x01 graphic
.

5.Zmierzono pojemność dwu kondensatorów, otrzymując

0x01 graphic

Jaka będzie pojemność układu tych kondensatorów oraz jej niepewność, gdy te kondensatory połączymy: a) szeregowo, b) równolegle ?

6. Załóży, że niepewność przypadkowa jest jedyną niepewnością występującą w pomiarach. a) Jakie jest prawdopodobieństwo uyzskania wyniku pomiaru mieszczącego się w przedziale (m - 2 s, m + 2 s)? b) W jakim przedziale leży 99 % wszystkich pomiarów?

7. Wykonano 5 pomiarów pracy wyjścia elektronu z metalu, otrzymując następujące wartości (w eV): 2,7;2,6; 2,7; 3,1; 2,8. a) Obliczyć wartość średnią i jej odchylenie standardowe. b) W jakim przedziale znajduje się rzeczywista wartość pracy wyjścia, jeżeli przyjmiemy poziom ufności równy 1- a = 0,98?

8. W celu wyznaczenia współczynnika tłumienia drgań tłumionych 0x01 graphic
zmierzono czas t dziesięciu drgań oraz amplitudę A po tym czasie (przyjmując amplitudę początkową Ao= 1). Uzyskano następujące rezultaty:

0x01 graphic

Współczynnik tłumienia obliczamy z równania

0x01 graphic

Obliczyć wartość współczynnika tłumienia i jego niepewność pomiarową.

9. W ćwiczeniu mającym na celu wyznaczenie długości fali świetlnej l za pomocą siatki dyfrakcyjnej o podanej stałej siatki d korzysta się ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie:
l - odległość siatki od ekranu, k - rząd ugięcia prążka, xk- odlgłość prążka k-tego rzędu od prążka centralnego.
Wyprowadzić wzór na niepewność całkowitą długość fali 0x01 graphic
, jeżeli wiadomo, że odległość l mierzy się tylko jeden raz i jest ona obarczona niepewnością systematyczną 0x01 graphic
1l wynikającą z działki użytego przymiaru i niepewnością systematyczną 0x01 graphic
2l wynikającą z niedokładnego przyłożenia tej linijki. Jeżeli chodzi o xk, to dla danego k mierzy się go 5 razy i ponadto obarczone jest także niepewnościami systematycznymi 0x01 graphic
1xk i 0x01 graphic
2xk podobnej natury, co l. Zastosować metodę podaną w rozdziale 4.

10. Jakie wielkości należy odłożyć na osiach układu współrzędnych, jeżeli na rysunku chcemy otrzymać linię prostą w przypadku następujących ćwiczeń:

a) W ćwiczeniu, "Wyznaczanie długości fali światła za pomocą pierścieni Newtona" mierzy się promienie rk pierścieni k-tego rzędu powstających w wyniku interferencji na warstewce powietrza pomiędzy płaską płytką i płytką sferyczną o promieniu R. Długość fali oblicza się ze wzoru

0x01 graphic


b) W ćwiczeniu "Badanie fotokomórki gazowej" mierzy się prąd I w obwodzie fotokomórki w funkcji odległość r punktowego źrodła światła od fotokomórki. Wiadomo, że natężenie światła od źródła punktowego maleje z kwadratem odległości, a prąd I jest proporcjonalny do natężenia światła.

c) W ćwiczeniu "Badanie drgań tłumionych" mierzy się amplitudę drgań A(t) w chwilach kolejnych maksymalnych, dodatnich wychyleń. Wiadomo, że A(t) = Aoe-0x01 graphic
t.

11. W pręcie, którego jeden koniec jest podgrzewany źródłem o stałej mocy, a drugi koniec jest zanurzony w wodzie z lodem, powstał liniowy gradient temperatury. Oto wyniki pomiaru temperatury T w różnych odległościach x od końca pręta:

x [cm]

10

20

30

40

50

T[oC]

7,3

16,1

25,0

34,2

43,0

Obliczyć parametry a i b regresji liniowej T = T(x) oraz ich niepewności Sa i Sb, a także współczynnik korelacji.

Tabela I

Wartości krytyczne tn rozkładu Studenta.(Dla poziomu ufności a=0,3174)

n

tn

n

tn

n

tn

n

tn

1

-

7

1,0903

13

1,0432

19

1,0284

2

1,8367

8

1,0765

14

1,0398

20

1,0268

3

1,3210

9

1,0663

15

1,0368

21

1,0254

4

1,1966

10

1,0585

16

1,0343

22

1,0242

5

1,1414

11

1,0524

17

1,0320

23

1,0231

6

1,1103

12

1,0474

18

1,0301

24

1,0220

Tabela II

Wartości krytyczne tn,a rozkładu Studenta

n

a=0,1

a=0,05

a=0,02

a=0,005

2

6,3138

12,7062

31,8205

127,3213

3

2,9200

4,3027

6,9646

14,0890

4

2,3534

3,1824

4,5407

7,4533

5

2,1318

2,7764

3,7469

5,5976

6

2,0150

2,5706

3,3649

4,7733

7

1,9432

2,4469

3,1427

4,3168

8

1,8946

2,3646

2,9980

4,0293

9

1,8595

2,3060

2,8965

3,8325

10

1,8331

2,2622

2,8214

3,6897

15

1,7613

2,1448

2,6245

3,3257

20

1,7291

2,0930

2,5395

3,1737

25

1,7109

2,0639

2,4922

3,0905

KONIEC -- powrót do spisu treści

http://labor.ps.pl/e/er1.html



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Pomiar współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy metodą rurek włoskowatych, Studia pomieszany b
7.4, 7.4 , Pomiar napięcia powierzchniowego cieczy metodą stalagmometryczną
119, 119jkn, TEMAT: Pomiar napięcia powierzchniowego cieczy metodą
Pomiar napięcia powierzchniowego cieczy metodą stalagmomet, Technologia chemiczna, Chemia fizyczna
7.4, Pomiar napięcia powierzchniowego 7.4 , Pomiar napięcia powierzchniowego cieczy metodą stalagmom
Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy z
Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy za pomocą stalagmometru
cw 14 - Wyznaczanie napięcia powierzchniowego cieczy za pomocą wagi torsyjnej, Sprawozdania jakieś,
Napięcie powierzchniowe cieczy, farmacja, I sem, biofizyka
Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy za pomocą stalagmometru, Pollub MiBM, fiz
Ćw 14-Wyznaczanie napięcia powierzchniowego cieczy za pomocą wagi torsyjnej
Pomiar współczynnika napięcia powierzchniowego za pomocą stalagmometru
Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy m, Pracownia Zak˙adu Fizyki Technicznej
fizyka, Napięcie powierzch.cieczy-rurki włoskowate, Pracownia Fizyczna - Ćwiczenie 22
Wyznaczanie napięcia powierzchniowego cieczy metodą stalagmometryczną, Technologia chemiczna, Chemia
Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy metodą kapilary pionowej, Fizyka
POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA NAPIĘCIA POWIERZCHNIOWEGO METODĄ STALAGMOMETRYCZNĄ

więcej podobnych podstron