• funkcja niezawodności R(t)

Prawdopodobieństwo tego, że obiekt nie ulegnie uszkodzeniu w przedziale czasu (0, t], co jest równoważne prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa T nazywana czasem zdatności nie przyjmie wartości z tego przedziału. F(t) = P(T≤t)

• funkcja zawodności F(t)

Prawdopodobieństwo tego, że obiekt ulegnie uszkodzeniu w przedziale czasu (0, t], co jest równoważne prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa T nazywana czasem zdatności przyjmie wartość z tego przedziału. R(t) + F(t) = 1

• gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń f(t)

Jest to granica do jakiej dąży iloraz prawdopodobieństwa tego, że obiekt uszkodzi się w przedziale czasu (t, t+∆ t] i długości tego przedziału, gdy długość ta dąży do zera.

Z powyższego wzoru wynika, że prawdopodobieństwo tego, że obiekt uszkodzi się w małym przedziale czasu (t, t+∆ t]jest równe iloczynowi f(t) ∆ t plus o ( ∆ t].

• intensywność uszkodzeń λ(t)

Intensywność uszkodzeń nazywana bywa funkcją ryzyka. Jest to warunkowa gęstość

prawdopodobieństwa wystąpienia uszkodzenia w małym przedziale czasu (t, t+ ∆ t] pod warunkiem, że na początku tego przedziału (w chwili t) obiekt znajdował się w stanie zdatności.

Intensywność uszkodzeń może być zatem rozumiana jako względny spadek niezawodności w czasie. Z powyższego wzoru wynika, że warunkowe prawdopodobieństwo tego, że obiekt uszkodzi się w małym przedziale czasu (t, t+∆ t] pod warunkiem, że do chwili t pracował poprawnie jest równe iloczynowi λ(t) ∆ t plus o( ∆ t).

• oczekiwany czas zdatności urządzenia ET

Jest to charakterystyka liczbowa będąca wartością oczekiwaną czasu zdatności obiektu. Nazywany jest również przeciętnym czasem do uszkodzenia, przeciętnym czasem poprawnej pracy.

• oczekiwany pozostały czas zdatności E(t)

Nieco rzadziej wykorzystywaną charakterystyką funkcyjną czasu zdatności jest

charakterystyka określona poniższym wzorem: E(t) = E(T-t)/T>t

Jest to warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej T- t nazywanej pozostałym czasem zdatności, pod warunkiem, że w chwili t obiekt jest zdatny.

Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie. Inaczej

Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji. Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.

Zmienną losową T charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla

t ≥ 0: dystrybuanta F (t), gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia f (t),

funkcja niezawodności R (t), intensywność uszkodzeń λ (t)

Dystrybuanta zmiennej losowej T (funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili t : F (t) = P (T < t), dla t ≥ 0 przy czym F (0) = 0

Funkcja niezawodności R (t) - prawdopodobieństwo, że do chwili t nie nastąpi uszkodzenie. R (t) = P (T ≥ t), dla t ≥ 0

Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili t, lub później) jest zdarzeniem pewnym: P (T < t) + P (T ≥ t) = 1, F (t) + R (t) = 1,

stąd R (t) = 1 - F (t), zatem R(0) = 1 - F (0) = 1 - 0 = 1

Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia f (t) jest pochodną

dystrybuanty F (t)

dla

Intensywność uszkodzeń
definiuje się jako:

; dla

Niezawodność typu wykładniczego

Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową T o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0, a więc:

dla

dla

ostatnia równość zwana jest wykładniczym prawem niezawodności

wykładnicze prawo niezawodności

Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których

λ (t) = λ = const, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu.

Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale (t, t+Δt) pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie (0, t), zależy jedynie od długości przedziału Δt, nie zależy zaś od długości czasu t wcześniejszej pracy obiektu.

Używane całki i pochodne:
,

,
,

R(t) −funkcja niezawodności, F(t) − funkcja zawodności, ET−oczekiwany czas zdatności, f(t)−gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia, λ− intens.uszk.,

Struktury niezawodnościowe:

Wzory ogólne:

R(t) + F(t) = 1 ,
,

Rozkład wykładniczy czasu zdatności elemantu:

R _e (t) = e ^{- λ t} F _e (t) =1- e ^{- λ t} f _e (t) = - R _e' (t)=-(e ^{- λ t})'= λ e^{- λ t}

−dla rozkładu wykład. intens. uszk.elem. jest stała,

−oczek.czas zdatn.el.

− oczekiwany czas zdatności urządzenia,

Rozkład jednostajny czasu zdatności opisany na przedziale od 0 do k

Jest to przykład rozkładu ograniczonego, gdyż urządzenie nie będzie działać dłużej niż k jednostek czasu.

Dla elementu:
,
,
,

−

− oczekiwany czas zdatności urządzenia,

III. OBIEKTY ZŁOŻONE

Na ogół obiekt może być traktowany jako system złożony z bloków funkcjonalnych, między którymi zachodzą relacje umożliwiające systemowi realizację wymaganych funkcji. Termin „blok funkcjonalny” może oznaczać zarówno pojedynczy element jak i duży podsystem.

Struktura niezawodnościowa systemu jest to taka funkcja, która każdej kombinacji stanów

elementów systemu w sposób jednoznaczny przyporządkowuje stan tego systemu jako

całości.

można przedstawić jako również dwuwartościową funkcję opisaną na tym wektorze.

Jeżeli wiadomo z jakich elementów składa się obiekt oraz jaki jest stan poszczególnych elementów, to można powiedzieć jaki jest stan systemu tylko wówczas, gdy znana jest jego struktura niezawodnościowa..

Strukturę niezawodnościową systemu można przedstawić np. w postaci:

- grafu - nazywanego schematem blokowym niezawodności;

- tablicy,

- funkcji logicznej,

- funkcji analitycznej,

- ścieżek zdatności i przekrojów niezdatności,

- drzewa uszkodzeń.

STRUKTURY KOHERENTNE - to znaczy spełniające następujące warunki:

• Jeżeli wszystkie elementy są zdatne - system jest zdatny;

• Jeżeli wszystkie elementy są niezdatne - system jest niezdatny;

• Uszkodzenie elementu nie powoduje podniesienia niezawodności systemu.

Modelami występujących w rzeczywistości obiektów technicznych są na ogół systemy koherentne wśród, których wyróżnia się struktury: szeregowo-równoległe, progowe, mostkowe.

IV. PODSTAWOWE STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE

• Struktura szeregowa - jeżeli system jest zdatny wyłącznie wtedy, gdy zdatne są wszystkie jego elementy to jego struktura niezawodnościowa nazywana jest szeregową.

φ (x) = x1 · x2 ·…· xN

Prawdopodobieństwo tego, że cały system jest zdatny dane jest wzorem:

P (T_U > t) = P (T₁ > t , T₂ > t ,… T_n > t)

Gdy czasy zdatności jego poszczególnych elementów są niezależnymi zmiennymi losowymi otrzymujemy: P (T_U > t) = P (T₁ > t) · P(T₂ > t) · P(T_n > t)

Funkcja niezawodności takiego obiektu jest zatem iloczynem funkcji niezawodności

jego elementów: R_U (t) = R₁ (t) · R₂ (t) ·…· R_N (t)

Czas zdatności obiektu jest równy czasowi zdatności „najgorszego” elementu:

T_U = max (T₁ , T₂ ,…., T_N)

• Struktura równoległa - jeżeli system jest niezdatny wyłącznie wtedy, gdy niezdatne są wszystkie jego elementy to jego struktura niezawodnościowa nazywana jest równoległą.

φ (x) = 1 - (1-x1) (1-x2)… (1-xn)

Prawdopodobieństwo tego, że cały obiekt jest niezdatny wyraża się wzorem:

P (T_U ≤ t) = P (T₁ ≤ t , T₂ ≤ t ,… T_n ≤ t)

Gdy czasy zdatności poszczególnych elementów są niezależnymi zmiennymi losowymi: P (T_U ≤ t) = P (T₁ ≤ t) · P(T₂ ≤ t) · P(T_n ≤ t)

Funkcja zawodności takiego obiektu jest zatem iloczynem funkcji zawodności jego

elementów: F_U (t) = F₁ (t) · F₂ (t) ·…· F_N (t)

Czas zdatności obiektu jest równy czasowi zdatności „najlepszego” elementu:

T_U = max (T₁ , T₂ ,…., T_N)

• Struktura progowa (nazywana strukturą k z n ) - jeżeli system jest zdatny wtedy, gdy zdatnych jest co najmniej k spośród n jego elementów to jego struktura niezawodnościowa nazywana jest progową. Struktury szeregowa i równoległa można uważać za szczególne przypadki struktur progowych odpowiednio n z n i 1 z n

• Struktury mieszane - system o mieszanej strukturze niezawodnościowej charakteryzuje się niezawodnością nie gorszą od systemu złożonego z tych samych elementów tworzących strukturę szeregową i nie lepszą od systemu złożonego z tych samych elementów, tworzących strukturę równoległą.

V. NADMIARY

Zwiększenie niezawodności i trwałości obiektu może być wynikiem zastosowania różnych form nadmiarowości. Ogólnie rzecz biorąc nadmiary te można podzielić na:

- strukturalne - wprowadzanie do struktury urządzenia elementów rezerwowych,

bez których urządzenie to może działać, a które służą tylko podnoszeniu jego niezawodności,

- funkcjonalne - inne elementy urządzenia są w stanie przejąć pewne funkcje

elementu uszkodzonego, choć mogą je realizować gorzej,

- parametryczne - własności fizyczne są „lepsze” od potencjalnie niezbędnych do

realizacji założonej funkcji, np. współczynniki bezpieczeństwa w budowie maszyn spełniają taką rolę,

- czasowe - uszkodzenie elementu nie powoduje natychmiastowej niezdatności

obiektu, dysponuje się pewnym czasem na podjęcie działań przeciwdziałających wystąpieniu uszkodzenia urządzenia jako całości.

Sposobem zwiększania niezawodności obiektów jest rezerwowanie zarówno całych obiektów jak i pojedynczych elementów, czy też grup elementów. W zależności od tego z jakim przypadkiem mamy do czynienia rozróżnia się rezerwowanie: globalne zwane również ogólnym, grupowe, jednostkowe zwane również indywidualnym, przesuwające się zwane również wędrującym.

Kryterium tak dokonanego podziału stanowi sposób przyporządkowania elementów rezerwowych elementom podstawowym.

Grupa rezerwowa - zespół elementów, który składa się z elementu podstawowego i elementów rezerwowych (co najmniej jednego). W niektórych przypadkach wyróżnienie elementu podstawowego ma charakter czysto umowny.

Spośród wielu możliwych sposobów rezerwowania wyróżnia się następujące przypadki:

• Rezerwa obciążona („gorąca”)

• Rezerwa nieobciążona („zimna”)

Czas zdatności urządzenia wyrazić można następującą zależnością:

T_U = T₀ + T₁ + T₂ +…+ T_N

Rezerwa częściowo obciążona („letnia lub chłodna”)

Elementy rezerwowe w tym przypadku poddane są pewnemu obciążeniu w czasie oczekiwania na włączenie (jest to jednak obciążenie znacznie mniejsze niż elementu podstawowego). Zatem ich własności niezawodnościowe zmieniają się w tym czasie. Zachowanie elementu rezerwowego, gdy „zastąpi” on element podstawowy, będzie zależało od tego jak długo oczekiwał na pracę „pod pełnym obciążeniem”. Czasy zdatności poszczególnych elementów należy wówczas traktować jako zmienne zależne. Czas zdatności urządzenia wyrazić można następującą zależnością:

T_U = T₀ + T₁ / T₀ + T₂ / T₀ , T₁ + T₃ / T₀ , T₁ , T₂

Który wariant jest korzystniejszy?

R _A = 1- (1 - R² ) ² = R² (2 - R² )

R _B = [1- (1 - R ) ² ] ² =

=R² (2 - R)²

R _A - R _B = R² (2 - R)² - R² (2-R²)=

=R² (4 - 4R + R² - 2+ R²)=

2 R² (1 - 2R + R²)= 2R² (1 -R)²>0

R _B > R _A

R _A (t) = (1+ 2λt ) e ^{-2 λ t}

R _B (t) =[(1+ λt ) e ^{- λ t}] ²

R _B (t) - R _A (t) =

= e ^{-2 λ t}(1+ 2λt+ λ² t² - 1-2λt)=

= λ² t² e ^{-2 λ t} > 0

R _B(t) > R _A(t)

1

oczek. czas

zdatn. elementu

Jeżeli stan elementu i, i = 1, 2, ..., n jest przedstawiony jako zmienna dwuwartościowa (binarna) xi przyjmująca wartość 1, gdy element jest zdatny albo wartość 0, gdy jest on niezdatny, a przez x oznaczony zostanie wektor stanów (x1, x2, ..., xn) to stan systemu

Element podstawowy „0” i rezerwowe od „1” do „n” poddawane są takim samym obciążeniom wynikającym z warunków pracy, zatem ich własności niezawodnościowe zmieniają się w taki sam sposób. Nie jesteśmy w stanie określić, który z elementów jest rezerwowy i który wcześniej ulegnie uszkodzeniu.

Czas zdatności urządzenia wyrazić można następującą zależnością:

T_U = max (T₀ ,T₁ , T₂ ,…., T_N)

Element podstawowy „0” pracuje, a rezerwowe „czekają” na uszkodzenie elementu pracującego. Zakładamy, że mamy do czynienia z idealnym przełącznikiem bezbłędnie rozpoznającym stan elementu podstawowego; czas przeznaczony na przełączenie uznajemy za pomijalnie mały. Zakładamy również, że własności niezawodnościowe elementów rezerwowych nie zmieniają się w czasie oczekiwania na włączenie do działania. Oznacza to, że element rezerwowy, w tym czasie nie starzeje się, nie jest poddawany obciążeniu i nie uszkadza się. Przyjmuje się, że czasy pracy elementów podstawowych i rezerwowych są wzajemnie niezależnymi zmiennymi losowymi.

---