Piotr Jankowiak gr. C 22. 03. 2000 r.

WM sem. IV ( mgr )

Ćwiczenie nr 4.

Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności wahadła Maxwella.

Tabela wyników.

Nr pomiaru	Czas spadania [s]	εi [s]	εi^2 [s^2]
1	2,310	-0,0475	0,00225625
2	2,186	0,0085	0,00007225
3	2,186	0,0085	0,00007225
4	2,239	0,0615	0,00378225
5	2,176	-0,0015	0,00000225
6	2,196	0,0185	0,00034225
7	2,170	-0,0075	0,00005625
8	2,138	-0,0395	0,00156025
9	2,178	0,0005	0,00000025
10	2,176	-0,0015	0,00000225

średnica zewnętrzna pierścienia d₁ = 104,6 mm

średnica wewnętrzna pierścienia d₂ = 104,6 - 20 = 84,6 mm

masa pierścienia m_p = 257,75 mm

1. Teoria.

1. Moment bezwładności - wielkość charakteryzująca bezwładność ciała, stosowana przy opisie ruchu obrotowego. Moment bezwładności odnosi się zawsze do pewnej wybranej osi obrotu i jest związany z rozkładem mas wokół niej.

2. Bezwładność - własność wszystkich ciał materialnych polegająca na uzyskaniu przyśpieszenia względem inercjalnego układu odniesienia; ciała wymagają działania siły, a jeśli siła nie działa to poruszają się bez przyśpieszenia lub pozostają w spoczynku. Miarą bezwładności jest masa.

3. I zasada dynamiki Newtona - Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnie prostoliniowego, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią. Istotną cechą pierwszej zasady dynamiki jest wpływ masy na zachowanie ruchu. Wobec tego pierwszy aksjomat ruchu nazywa się również prawem bezwładności. Tylko czynnik zewnętrzny może zmieniać ruch bryły lub układu punktów materialnych.

4. Twierdzenie Steinera - moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności względem osi do niej równoległej, przechodzącej przez środek masy I_xc zwiększonemu o iloczyn masy ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami:

I_x = I_xc +ma²

I_y = I_yc +mb²

I_xy = I_xyc +mab

5. Momentem bezwładności bryły nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych jej elementów i ich kwadratów odległości od osi obrotu:

I = Σm_ir_i²

6. Zasada zachowania energii mechanicznej - skoro wiemy, że energia potencjalna U zależy tylko od położenia punktu materialnego, możemy zapisać równanie:

½ mv² + U(x) = E (przypadek jednowymiarowy)

gdzie E, która pozostaje wielkością stałą podczas ruchu punktu materialnego, nazywana jest całkowitą energią mechaniczną. Przypuśćmy, że punkt materialny porusza się z punktu a (gdzie jego położenie wyraża się przez x₀, prędkość przez v₀) do punktu b (gdzie jego położenie wyraża się przez x, a prędkość przez v); jeżeli siła jest zachowawcza, to całkowita energia mechaniczna E musi być taka sama dla każdego stanu układu, czyli otrzymujemy:

½ mv² + U(x) = ½ mv₀² + U(x₀).

Wielkość po prawej stronie równania zależy tylko od początkowego położenia x₀ i od początkowej prędkości v₀, które mają określone wartości; dlatego jest ona stała podczas ruchu. Określa ona stałą całkowitą energię mechaniczną E.

7. Schemat wahadła Maxwella.

8. Moment bezwładności ciała:

gdzie: dm = ρdV - masa elementu o objętości bryły dV i gęstości ρ

9. Moment bezwładności punktu

10. Wyprowadzenie wzoru roboczego:

Energia kinetyczna wahadła:

• ruch postępowy
  
  
  
  mr²/2

• ruch obrotowy Iω²/2

Energia potencjalna mgh

E_p = E_kp + E_ko

,a
czyli

;

2. Opis przeprowadzonego eksperymentu.

Nawijamy nić na wałek zwój przy zwoju. Następnie uruchamiamy wahadło elektromagnesem umieszczonym w górnej części przyrządu. Zerujemy licznik. Zwalniamy wahadło przez odłączenie elektromagnesu. Pomiar czasu uzyskujemy dzięki zainstalowanym fotokomórkom. Próbę przeprowadzamy 10 razy.

3. Obliczenia teoretyczne.

I_p - moment bezwładności pierścienia

I_k - moment bezwładności pozostałej części wahadła : I_k = 0,00015 kgm²

4. Doświadczalne wyznaczanie momentu bezwładności.

m - masa wahadła

m = m_p + m_k

m_p = 257,75 g

m_k = 162,34 g

d - średnica osi wahadła

½ d = r = 5 mm

t - średni czas spadania

t = 2,1775 s

h - droga spadania wahadła

h = 376,99 mm

5. Oszacowanie błędów metodą różniczki zupełnej.

m = m_p + m_k

Wyznaczenie przyśpieszenia liniowego (punktu) i przyśpieszenia kątowego.

---