Zadanie 1

Dany jest rozkład zmiennej losowej X:

	1	2	3	8
	0,1	0,4	0,4	0,1

Wyznacz rozkład zmiennej losowej
oraz parametry rozkładu zmiennych
i
.

Y	1	4	9	64
Pr(Y=y)	0,1	0,4	0,4	0,1

Wartość oczekiwana

Wariancja

Odchylenie standardowe

Wartość oczekiwana

Wariancja

Odchylenie standardowe

Zadanie 2

Dana jest funkcja

Czy jest ona gęstością prawdopodobieństwa. Jeśli tak, wyznacz dystrybuantę rozkładu o gęstości
(problem 3.3 [w] Grzegorz Krzykowski, Mirosław Szreder, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2002, s. 68-69).

Żeby funkcja f(z) była funkcją gęstości zmiennej losowej Z muszą być spełnione warunki:

1^O
warunek spełniony

2^O
warunek spełniony

Funkcja jest funkcją gęstości.

Wyznaczam dystrybuantę:

• 
  
  

• 
  
  

• 
  
  

Dystrybuantę zapisujemy:

Zadanie 3

Według informacji U.S. Energy Information Association średnia cena galona benzyny bezołowiowej w Stanach Zjednoczonych w 1993 roku wyniosła 89,6 centów (wraz z podatkiem). W tabeli poniżej zamieszczono średnie ceny benzyny (w centach) w 20 stanach. Na podstawie danych zestawionych w tabeli wyznacz średnią, medianę oraz modę

Stan	Cena	Stan	Cena
Arkansas	88,3	New Hampshire	93,2
Connecticut	104,3	New Jersey	88,1
Delaware	91,7	New York	78,5
Hawaii	119,0	North Dakota	91,0
Louisiana	89,8	Oklahoma	85,1
Maine	95,4	Oregon	102,9
Massachusetts	94,3	Pennsylvania	79,2
Michigan	83,2	Texas	90,0
Missouri	79,9	Wisconsin	94,4
Nevada	103,6	Wyoming	87,9

(zad. 2.45 [w] James T.McClave, P.George Benson, Terry Sincich, Statistics for Business and Economics. Prentice Hall International,Upper Saddle River 1998, s. 62).

Dane:

średnia cena globalna benzyny bezołowiowej w USA 1 1993 roku (wraz z podatkiem),

średnia w populacji.

Szukane:

Wyznacz średnią
, medianę
oraz modę
, czyli dominantę.

78,5	-13,5	182,25
79,2	-12,8	163,84
79,9	-12,1	146,41
83,2	-8,8	77,44
85,1	-6,9	47,61
87,9	-4,1	16,81
88,1	-3,9	15,21
88,3	-3,7	13,69
89,8	-2,2	4,84
90,0	-2	4
91,0	-1	1
91,7	-0,3	0,09
93,2	1,2	1,44
94,3	2,3	5,29
94,4	2,4	5,76
95,4	3,4	11,56
102,9	10,9	118,81
103,6	11,6	134,56
104,3	12,3	151,29
119,0	27	729
Σ 1839,8	X	Σ 1830,9

Średnia arytmetyczna:

Średnia cena benzyny bezołowiowej w USA wynosi około 92 centy.

Mediana:

Połowa stanów w USA wyznaczyła cenę za benzynę bezołowiową mniejszą niż 90,5 centa, a druga połowa większą niż 90,5 centa.

Moda, czyli dominanta:

Moda (dominanta) jest to wartość, która występuje najczęściej. Jest to wartość cechy, której odpowiada największa liczebność.

Brak dominanty - nie ma wartości, która występuje najczęściej.

Zadanie 4

Potraktuj ceny zamieszczone w tabeli z zad. 3 za próbkowe realizacje ceny galona benzyny bezołowiowej. Na ich podstawie skonstruuj 95% przedział ufności dla średniej ceny galona benzyny bezołowiowej w Stanach Zjednoczonych oraz rozstrzygnij, czy informacja podana przez U.S Energy Information Association jest wiarygodna.

a)

1 - α = 95% 1 - α = 0,95 α = 0,05

n = 20 n małe

Przedział ufności dla średniej arytmetycznej m w populacji.

Szukane S

Odchylenie standardowe

Odczytywanie: γ = n - 1 γ = 20 - 1 γ = 19

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział (87,4;96,6) pokrywa nieznaną przeciętną wartość ceny galona benzyny bezołowiowej w USA; 89,6
(87,4; 96,6) więc informacja podana przez U. S. Energy Information Association jest wiarygodna.

b)

n = 20 1 - α = 0,95 α = 0,05

Test 3

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ mówiącej o tym, że średnia cena galona benzyny bezołowiowej w USA w 1993 roku wynosi 89,6 centów.

Zadanie 5

Praca egzaminacyjna ze statystyki składa się z 10 pytań. Do każdego pytania sformułowano 4 odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa. Oceń prawdopodobieństwo zdania egzaminu, jeśli odpowiadać będziesz na ,,chybił-trafił”, a do jego zdania potrzebnych jest Ci, co najmniej 5 prawidłowych odpowiedzi.

Rozkład dwumianowy - rozkład Bernoulliego

n = 10

Prawdopodobieństwo zdania egzaminu:

Prawdopodobieństwo zdania egzaminu, jeśli odpowiadać będę na „chybił trafił” wynosi 0,08.

Zadanie 7

Producent kuchenek elektrycznych przeprowadził analizę reklamacji zgłoszonych przez klientów w pewnym okresie czasu i stwierdził, że reklamacje można zakwalifikować do jednej z 6 kategorii. Rozkład reklamacji przedstawiono w tabeli poniżej. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że przyczyną reklamacji był wygląd kuchenki pod warunkiem, że reklamacja wpłynęła w trakcie gwarancji.

	Przyczyna reklamacji
		Elektryczna	Mechaniczna	Wygląd	Razem
W trakcie gwarancji	0,18	0,13	0,32	0,63
Po okresie gwarancji	0,12	0,22	0,03	0,37
Razem	0,30	0,35	0,35	1,00

(przykład 3.15 [w] James T.McClave, P.George Benson, Terry Sincich, Statistics for Business and Economics. Prentice Hall International,Upper Saddle River 1998, s. 137-8).

Prawdopodobieństwo warunkowe:

Zdarzenia elementarne:

W - zdarzenie polegające na tym, że przyczyną reklamacji był wygląd kuchenki.

G - zdarzenie polegające na tym, że reklamacja wpłynęła w trakcie gwarancji.

- prawdopodobieństwo, że przyczyną reklamacji był wygląd kuchenki i wpłynęła ona w trakcie

reklamacji, odczytuję z tabeli;

Prawdopodobieństwo tego, że przyczyną reklamacji był wygląd kuchenki pod warunkiem, że reklamacja wpłynęła w trakcie gwarancji wynosi 0,508.

Zadanie 8

Rzucono dwudziestokrotnie monetą i otrzymano 7 orłów oraz 13 reszek. Czy moneta jest ,,sprawiedliwa”?

n = 20 7 - orłów 13 - reszek,

Test zgodności:

Ilość rzucenia monetą

wynik
O Orzeł	7	10	−3	9	0,9
R Reszka	13	10	3	9	0,9
Σ	20	20	X	X	1,8

α = 0,05

Odczytywanie:

- liczba stopni swobody k - liczba wierszy

odrzucamy H₀ na rzecz H₁

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀

1,8 < 3,84

Nie ma podstaw do odrzucenia H₀, która mówi o tym, że moneta jest sprawiedliwa.

Zadanie 9

W dwóch grupach, prowadzonych przez asystentów A i B, uzyskano następujące wyniki z egzaminu ze statystyki:

	Zdany	Niezdany	Σ
A	20	5	25
B	16	9	25
Σ	36	14	50

Czy na wynik egzaminu miała wpływ osoba prowadzącego ćwiczenia?

UWAGA ROZWIĄZANIE ZADANIA SPOSOBEM OGÓLNYM

	Zdany	Niezdany
A	20 a	5 b	25
B	16 c	9 d	25
	36	14	50

20	18	2	0,222222
5	7	−2	0,571429
16	18	−2	0,222222
9	7	2	0,571429
50	50	X	1,587302

dla 20
dla 5

dla 16
dla 9

Odczytywanie:

γ = (2−1)(2−1) = 1

1,5873 < 3,84

Nie ma podstaw do odrzucenia H₀, która mówi, że wynik egzaminu nie zależy od osoby przeprowadzającej ćwiczenie.

Zadanie 10

Następujące dane, zaczerpnięte z sierpniowego numeru International Financial Statistics, informują o indeksach cen złota i miedzi w ciągu ostatnich 10 lat:

Złoto	76	62	70	59	52	53	53	56	57	56
Miedź	80	68	73	63	65	68	65	63	65	66

Zakładając, że te dane są losową próbą z populacji możliwych wartości indeksów, sprawdź czy zachodzi korelacja między cenami obu tych metali? (Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, zad. 10.31, s. 484).

n = 10

złoto xi	miedź yi
76	80	17	289	12	144	204
62	68	3	9	0	0	0
70	73	11	121	5	25	55
59	63	0	0	−5	25	0
52	65	−7	49	−3	9	21
53	68	−6	36	0	0	0
53	65	−6	36	−3	9	18
56	63	−3	9	−5	25	15
57	65	−2	4	−3	9	6
56	66	−3	9	−2	2	6
594	676	X	562	X	248	325

S(x) = 7,4967 S(y) = 4,97996

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Pomiędzy zmiennymi występuje dość silna korelacja dodatnia, co oznacza, że wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej, wartości drugiej zmiennej rosną i odwrotnie.

Korzystam z rozkładu t-Studenta.

γ = n − 2

Porównuję z wartością krytyczną

Jeśli t < t_α,γ nie odrzucam H₀

Jeśli t > t_α,γ odrzucam H₀ na rzecz H₁

Zadanie 11

Firma Shearson Lehman Brothers Inc. chce zachęcić swoich inwestorów do udziału we wspólnym przedsięwzięciu w branży nieruchomości. Przedmiotem oferty są dwa projekty budownictwa mieszkaniowego: jeden w Chicago, drugi w Dallas. Roczne stopy zwrotu z przedsięwzięć w ciągu ośmiomiesięcznych okresów wyniosły:

Chicago	%	12	13	10	14	15	9	11	10
Dallas	%	10	9	8	7	9	11	6	13

Czy któraś z tych inwestycji jest lepsza niż druga? Wyjaśnij (Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, zad. 14.30, s. 723).

V (S_c) Chicago V (S_d) Dallas

i					i
1	12	0,25	0,0625			1	10	0,875	0,765625
2	13	1,25	1,5625			2	9	-0,125	0,015625
3	10	-1,75	3,0625			3	8	-1,125	1,265625
4	14	2,25	5,0625			4	7	-2,125	4,515625
5	15	3,25	10,5625			5	9	-0,125	0,015625
6	9	-2,75	7,5625			6	11	1,875	3,515625
7	11	-0,75	0,5625			7	6	-3,125	9,765625
8	10	-1,75	3,0625			8	13	3,875	15,015625
Σ	94	X	31,5			Σ	73	X	34,875

Wariancja:
Wariancja:

Odchylenie standardowe:
Odchylenie standardowe:

Współczynnik zmienności: Współczynnik zmienności:

V(S_C) < V(S_D) Inwestycja Chicago jest lepsza.

Zadanie 12

W artykule zamieszczonym w Journal of Finance podano wyniki analizy regresji stopy przychodu z akcji uprzywilejowanych (Y) względem premii z tytułu zamiany akcji zwykłych na uprzywilejowane (X). Otrzymanym równaniem regresji jest

gdzie liczba w nawiasie jest oceną standardowego błędu estymatora parametru nachylenia linii regresji. Liczebność próby
. Czy są podstawy do przyjęcia, że zachodzi liniowy związek między stopą przychodu a premią? (Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, zad. 10.37, s. 489).

H₀: β = 0 H₀: brak związku liniowego między stopą przychodu a premią

H₁: β ≠ 0 H₁: występuje związek liniowy między stopą przychodu a premią

(liczba stopni swobody: v = n - 2)

t = 0,0378 należy porównać z wartością krytyczną t_α,γ = t_0,05,11

Nie ma podstaw do odrzucenia H₀ o braku związku liniowego między stopą przychodu a premią.

Zadanie 13

Na podstawie 25 obserwacji z 2001 roku oszacowano następujący model wydatków na żywność w gospodarstwach domowych

,

gdzie:
- wydatki na żywność w gospodarstwie
na osobę (tys zł),
- roczny dochód gospodarstwa na osobę (tys zł),
- składnik losowy. Wyniki estymacji uzyskane MNK przedstawiono w tabeli poniżej.

Zmienna zależna
Regresor	Współczynnik	Odchyl. stand.	Stat. [ ]
Stała	1,837200	0,1081	16,9907 [0,000]
	-0,17572	0,0398	-4,4099 [0,000]
Odchyl. stand. regresji 0,1550
Średnia zm. zależnej 1,3804		Odchyl. stand. zm. zależnej 0,2061
Suma kwadrat. reszt 0,5526

Dane z tabelki:

β₀ = 1,837200 0,1081

ln x = β₁ − 0,17572 0,0398

[Pr] prawdopodobieństwo na którym odrzucam H₀ (odrzucam na każdym stopniu, ponieważ Pr [0,000])

R² = 0,4582

45,82% całkowitej zmienności wydatków na żywność w gospodarstwach domowych na osobę Y jest wyjaśnione kształtowaniem się zmienności rocznego dochodu gospodarstwa na osobę, natomiast pozostałe 54,18% całkowitej zmienności wydatków na żywność w gospodarstwach domowych na osobę jest wynikiem działania czynników przypadkowych nie ujętych w modelu regresji.

Odchylenie standardowe składnika resztowego Se

Se = 0,1550

Faktyczne zaobserwowane wielkości wydatków na żywność w gospodarstwach domowych na osobę odchylały się średnio od wartości teoretycznych oszacowanych za pomocą funkcji regresji średnio 0,1550 tys. zł.

Współczynnik zmienności przypadkowej

Średni błąd reszt stanowi około 11,23% przeciętnej wielkości wydatków na żywność w gospodarstwach domowych na osobę.

Zmienna równa −4,4099 jest statystycznie niezależna.

Zadanie 14

Pewna restauracja potrzebuje następujących surowców: wołowiny, wieprzowiny, jajek, mleka, chleba, ziemniaków, sałaty, pomidorów oraz pomarańcz. Ceny jednostkowe tych dóbr (dol. USA) oraz ilości (zapotrzebowanie tygodniowe) w latach 1983 i 1985 zestawiono w tabeli poniżej.

Surowiec	Jednostka	1983		1985
				cena	ilość	cena	ilość
Wołowina	Funty	2,38	50	2,33	54
Wieprzowina	Funty	1,40	26	1,62	20
Jajka	Szt	0,85	15	0,80	10
Mleko	Galony	1,05	85	1,13	92
Chleb	Funty	0,51	30	0,55	28
Ziemniaki	10 funtów	1,80	10	1,60	11
Sałata	Funty	0,46	5	0,53	4
Pomidory	Funty	0,42	7	0,52	8
Pomarańcze	Funty	0,36	12	0,53	15

Skonstruuj indeks cen typu Laspayresa. Za rok bazowy przyjmij rok 1983 (przykład (e) [w] AmirD.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 663).

1983		1985
cena	ilość	cena	ilość
p0	q0	p1	q1	q0 p1	q0 p0
2,38	50	2,33	54	116,5	119
1,40	26	1,62	20	42,12	36,4
0,85	15	0,80	10	12	12,75
1,05	85	1,13	92	96,05	89,25
0,51	30	0,55	28	16,5	15,3
1,80	10	1,60	11	16	18
0,46	5	0,53	4	2,65	2,3
0,42	7	0,52	8	3,64	2,94
0,36	12	0,53	15	6,36	4,32
				311,82	300,26

Agregatowy indeks cen Laspayresa:

Przy założeniach stałych ilościach z roku 1983 zmiany cen spowodowały wzrost wartości zapotrzebowania na surowce o 3,85%.

Zadania egzaminacyjne - Miłobędzki

9

t = 1,09

z_α=1,96

H₀: wynik egzaminu nie zależy od asystentów

H₁: wynik egzaminu zależy od asystentów zależy

t_α,γ t t_α,γ

H₀: korelacja w populacji nie występuje

H₁: korelacja w populacji występuje

t=0,0378

błędy tych parametrów

---