POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

W CZĘSTOCHOWIE

Instytut Fizyki

Ćwiczenie nr 5

TEMAT: Wyznaczanie stosunku Cp/Cv dla powietrza metodą Clementa -Desormesa

Borkiewicz Wojciech

Daniluk Łukasz

Wydz. Budowy Maszyn

Informatyka, rok II gr.1

Podstawowe założenia teorii kinetyczno - molekularnej dla gazów

Z teorii kinetyczno - molekularnej wynika, że przepływ ciepła pomiędzy dwoma gazami trwa do chwili, gdy średnie energie kinetyczne ruchu postępowego drobin tych gazów zrównają się.

O ile we właściwych ciałach stałych - kryształach - mamy do czynienia z prawidłowym uporządkowaniem dalekiego zasięgu ich elementarnych cząstek, atomów, jonów czy cząsteczek, które układają się w sieć krystaliczną, o tyle w gazach takie uporządkowanie nie istnieje. Cząsteczki gazu mogą się swobodnie przesuwać jedne względem drugich i dlatego gazy nie mają określonej postaci, przyjmując postać naczynia, w którym są zawarte. Gazy nie mają nawet określonej objętości, gaz zawsze całkowicie wypełnia dostępną mu objętość. Tę własność gazów tłumaczy kinetyczna teoria gazów bezładnym ruchem ich cząsteczek, które oddziałują na siebie wzajemnie praktycznie tylko przy zderzeniach wzajemnych.

Przemiany gazowe

Przejście pomiędzy dwoma stanami czynnika 1 i 2 może się odbyć na wiele różnych sposobów, przy czym każda z nich o charakterystycznych, stałych na całej drodze właściwościach, nosi nazwę przemiany.

Specyfikacja poszczególnych przemian gazu doskonałego opiera się na ustaleniu jednej z trzech zmiennych stanu p, v, t albo właściwej pojemności cieplnej c przemiany. Równanie przemiany wyprowadza się na podstawie złożonej stałości wymienionych wartości wykorzystując równanie stanu gazu doskonałego i równanie I zasady termodynamiki. W zależności od przyjętych ustaleń dotyczących parametrów stanu rozróżnić można następujące przemiany charakterystyczne gazów doskonałych:

• politropową, gdy przyjmie się, że pojemność cieplna właściwa c=idem

• izochoryczną, jeżeli objętość V=idem (lub objętość właściwa v=idem)

• izobaryczną, gdy ciśnienie p=idem

• izotermiczną, w czasie której T=idem

• adiabatyczną, gdy układ nie wymienia ciepła z otoczeniem

Przemiana izochoryczna

W tak prowadzonym procesie, oprócz warunku dotyczącego niezmiennej wartości pojemności cieplnej właściwej zachodzi warunek stałej objętości V=idem lub stałej objętości właściwej v=idem, a co za tym idzie także Q=idem.

Przemiana izobaryczna

Oprócz niezmiennej wartości pojemności cieplnej właściwej, przemiana ta charakteryzuje się stałym ciśnieniem

P=idem dp=0

Przemiana izotermiczna

Przemiana izotermiczna jest procesem o tak dużej ustalonej wartości właściwej pojemności cieplnej, że możliwe jest jego przeprowadzenie nie zmieniając temperatury T=idem, pomimo zmieniających się wartości dwóch pozostałych parametrów termicznych.

Ciepło właściwe

Miarą ciepła właściwego gazu jest ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 g gazu o 1 °C. Ciepło to możemy wyznaczyć ogrzewając gaz pod stałym ciśnieniem i przepuszczając go przez mosiężną wężownicę zanurzoną w kalorymetrze. Wówczas gaz w kalorymetrze oziębia się pod stałym ciśnieniem; ciepło właściwe wyznaczone w tych warunkach oznaczamy przez c_p. Można również dokonać pomiaru ciepła właściwego utrzymując gaz w stałej objętości (oznaczamy je wtedy przez c_v), jeżeli badany gaz zamkniemy w szczelnym naczyniu i po ogrzaniu umieścimy w kalorymetrze. Jak wskazują obliczenia teoretyczne i pomiary doświadczalne - c_p jest zawsze większe od c_v. Przyczyną tego jest dodatkowa praca mechaniczna, którą musi wykonać ogrzewany gaz rozprężając się pod stałym ciśnieniem; część energii cieplnej dostarczanej masie gazu idzie na wykonanie tej pracy.

Różnice wartości
dla gazów

Stosunek
oznaczany zwykle literą
, jest dla gazów wielkością stałą, zależną jedynie od budowy ich cząsteczek. Największą wartość
, mianowicie około 1,67, odpowiada gazom o cząsteczkach jednoatomowych. Dla gazów o cząsteczkach dwuatomowych
wynosi około 1,4, dla trójatomowych - około 1,30, zaś dla cząsteczek złożonych z większej liczby atomów wartość
dąży do 1.

Wyprowadzenie wzoru i zasada pomiaru

Pewna masa gazu podlega trzem kolejnym przemianom, znajduje się więc kolejno w trzech stanach:

Stan gazu ciśnienie objętość temperatura

I p₀+h₁ V₁ t₁

II p₀ V₂ t₂

III p₀+h₂ V₃ t₃

Przejście ze stanu I do II jest przemianą adiabatyczną - gaz się rozpręża - objętość jego zwiększa się do V₂, ciśnienie spada do wartości p₀, a temperatura - do t₂. Następnie pobierając ciepło z otoczenia ogrzewa się on do temperatury początkowej t₁, przy czym prężność jego wzrasta do wartości p₀+h₁. Zmiany objętości nie ma, przemiana jest więc izochoryczna. Przejście ze stanu I przez II do stanu III można zastąpić przemianą izotermiczną, w której gaz przechodzi ze stanu I bezpośrednio do III w stałej temperaturze t₁. Do przejścia ze stanu I do II można zastosować wzór Poissona

Do przejścia izotermicznego ze stanu I bezpośrednio do III stosujemy wzór Boyle'a-Mariotte'a

Z równania Poissona obliczamy V₂ i podstawiamy do powyższego równania

oraz

Po uproszczeniu i zlogarytmowaniu otrzymujemy

Ponieważ
i
są małe w stosunku do 1, możemy logarytmy rozwinąć w szereg i wziąć pierwszy wyraz rozwinięcia:

Ostatecznie więc :

Tabela pomiarów:

Kolejne pomiary	h1 [cm]	h2 [cm]	h1-h2 [cm]	ℵ [cm]
1.	50	8	42	1,19
2.	52	9	43	1,20
3.	47,5	8,5	39	1,21
4.	50,5	8	42,5	1,18
5.	49,5	9,5	40	1,23
6.	49	8,9	40,1	1,19
7.	49,7	6,7	43	1,15
8.	49,5	8,5	41	1,20
9.	51	8,5	42,5	1,20
10.	49,5	8,8	40,7	1,21

Obliczenia

Dla kolejnych pomiarów ℵ obliczamy ze wzoru :

Przykładowo pomiar pierwszy:

[cm]

Średnią wartość stosunku Cp/Cv obliczamy dodając wszystkie wartości ℵ a następnie dzieląc przez ilość pomiarów , a więc mamy

[cm]

Obliczamy błąd najbardziej prawdopodobny stosując metodę Gaussa.

Korzystamy ze wzoru:

A więc :

=0,0067 [cm]

Uchyb prawdopodobny pomiaru obliczamy ze wzoru:

P=
[cm]

Dyskusja błędów

Jak wynika z rozważań przy wyprowadzaniu wzoru, gaz badany powinien rozprężyć się adiabatycznie przy przejściu ze stanu I do II - i to aż do ciśnienia zewnętrznego. Być może przy odczytywaniu ciśnienia w stanie III powietrze w balonie nie osiąga jeszcze temperatury otoczenia. Błędu tego możemy uniknąć przez zainstalowanie wewnątrz balonu termometru. Wtedy jednak balon nie może być srebrzony, a to zwiększa promieniowanie i wymianę ciepła z otoczeniem, a tym samym obarcza większym błędem proces adiabatyczny. Na błąd pomiaru wpływa oczywiście dokładność odczytania manometru.

Nie można sprężyć gazu do zbyt wysokiego ciśnienia, gdyż wzór stosowany w tej metodzie wyprowadza się przy upraszczającym założeniu, że
i
są małe w stosunku do 1. Stosowane ciśnienia mogą być rzędu kilku mmHg. By osiągnąć większą dokładność pomiarów należy używać manometrów wypełnionych nie rtęcią, lecz cieczą lżejszą, jak np. wodą lub naftą, aby mierzone wartości h₁ i h₂ były stosunkowo duże. Ponieważ robimy zwykle 10 pomiarów, możemy przy ocenie błędów zastosować metodę Gaussa, która w tym przypadku pozwoli obliczyć błąd najbardziej prawdopodobny.

---