Symulacja komputerowa przepływu cieczy lepkiej miała pokazać nam jaki wpływ mają przeszkody umieszczone w „centrum” rurociągu (czyli w miejscu, gdzie przepływ cieczy jest największy - im bliżej ścianek rurociągu, tym przepływ spada, aż do „zamarcia” przy samych ściankach). Na samym początku jednak należy przybliżyć wiadomości wstępne i sposób symulacji:

1. Ciśnienie to wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność:

gdzie: p - ciśnienie (Pa), Fn - składowa siły prostopadła do powierzchni (N), S - powierzchnia (m²).

2. Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej, a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

W niniejszym artykule
oznaczać będzie pole wektorowe klasy C¹ w przestrzeni
, to znaczy funkcję
określoną na zbiorze otwartym
, różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

.

Często opertator dywergencji oznacza się także przez
- symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Definicja dywergencji, jako pola skalarnego, jest związana z wyborem układu współrzędnych. Można jednak zdefiniować dywergencję nieco ogólniej, odwołując się do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Przypomnijmy, iż mówi ono tyle, że jeżeli V jest zwartym podzbiorem przestrzeni
, którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a
jest polem wektorowym klasy C¹, określonym na zbiorze otwartym, zawierającym V, to

gdzie
jest jednostkowym wektorem normalnym do dS w punkcie (x,y,z). W związku z tym można zdefiniować dywergencję w każdym punkcie M = M(x,y,z) zbioru U poprzez ściąganie powierzchni V (takich, że M jest punktem V, gdzie V jak w powyższym twierdzeniu) do punktu. Dokładniej, można zdefiniować

,

gdzie | V | oznacza objętość V.

Uwaga: symbol dS (dV), nazywany elementem powierzchni (elementem objętości), oznacza formalnie 2-formę (3-formę) postaci dx ∧ dy (dx ∧ dy ∧ dz).

3. Lepkość (tarcie wewnętrzne) - właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich opór wewnętrzny przeciw płynięciu. Lepkością nie jest opór przeciw płynięciu powstający na granicy płynu i ścianek naczynia. Lepkość jest jedną z najważniejszych cech płynów (cieczy i gazów).

Inne znaczenie słowa "lepkość" odnosi się do "czepności" - terminu stosowanego w dziedzinie klejów.

Zgodnie z laminarnym modelem przepływu lepkość wynika ze zdolności płynu do przekazywania pędu pomiędzy warstwami poruszającymi się z różnymi prędkościami.

Różnice w prędkościach warstw są charakteryzowane w modelu laminarnym przez szybkość ścinania. Przekazywanie pędu zachodzi dzięki pojawieniu się na granicy tych warstw naprężeń ścinających. Wspomniane warstwy są pojęciem hipotetycznym, w rzeczywistości zmiana prędkości zachodzi w sposób ciągły (zobacz: gradient), a naprężenia można określić w każdym punkcie płynu. Model laminarny lepkości zawodzi też przy przepływie turbulentnym, powstającym np. na granicy płynu i ścianek naczynia. Dla przepływu turbulentnego jak dotąd nie istnieją dobre modele teoretyczne.

Symulacja:

Badanym obszarem jest fragment rurociągu z „przeszkodą” opisaną przez poniższy rysunek:

Z racji, że po obu stronach osi ciśnienie będzie rozkładać się symetrycznie, możemy ograniczyć się do obszaru:

Aby zasymulować dany przykład w programie FlexPDE musimy użyć szkieletu programu, a potem go zmodyfikować w następujący sposób (jeden ze sposobów):

I oczywiście odpowiednie zaokrąglenie krawędzi (cut)

Wyniki pomiarów:

Rozkład ciśnienia w przekrojach skrajnych (cut=0,01):

Rozkład ciśnienia w przekrojach skrajnych (cut=0,03):

Ciśnienie w obszarze dla zaokrąglenia 0,01:

Ciśnienie w obszarze dla zaokrąglenia 0,03:

Prędkość w obszarze dla zaokrąglenia 0,01:

Prędkość w obszarze dla zaokrąglenia 0,03:

Obrazy przedstawiają rozkład prędkości, ciśnienia w obszarze, rozkład ciśnienia w przekrojach skrajnych oraz całki tych rozkładów, zaś obliczenia sił oporu i opór przepływu policzony jest poniżej:

1. Siła oporu:

Wyniki są w jednostkach (cm*g)/(s^2), ale w niutonach [N] wynoszą tyle:

1. Współczynnik lepkości (aby obliczyć używamy równania Darcy-Weisbach'a):

Dla zaokrąglenia 0.01:

Dla zaokrąglenia 0.03:

Powyższe obliczenia dokonałem na podstawie pojedynczych pomiarów, poniżej przedstawione zostały pomiary pozostałych osób z grupy:

Paweł Zych
cut=0,01	v=384,253
	∆p=2,63*10^5
cut=0,02	v=382,785
	∆p=2,628*10^5
Paweł Kuc
cut=0,01	v=260,984
	∆p=2,071*10^5
cut=0,02	v=261,736
	∆p=2,073*10^5

Wnioski:

1. Im większy uskok (przeszkoda) tym przepływ staj się bardziej turbulentny. Wpływ na to ma również zaokrąglenie krawędzi danej przeszkody, stąd różnice w wynikach, gdy używamy innego zaokrąglenia (cut)

---