Równanie różniczkowe jednorodne

Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci

gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale.

Sposób rozwiązywania takiego równania wyjaśnimy na przykładach.

Rachunki wykonujemy za pomocą kalkulatora ClassPad 300.

Przykład 1. Rozwiązać równanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez

(1)

i podstawiamy
Wobec tego mamy

(2)

Podstawiamy (2) do (1) i otrzymujemy następujące równanie:

czyli

Wracamy do zmiennej y:

(3)

Równanie (3) przedstawia rozwiązanie, czyli całkę ogólną równania, w postaci uwikłanej.

Sprawdźmy:

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

Dzielimy licznik i mianownik przez x:

i podstawiamy jak w (2). Stąd otrzymujemy równanie:

,

(4)

Równanie (4) jest całką ogólną naszego równania różniczkowego. Ponieważ w trakcie rachunków pojawiło się założenie
, więc musimy jeszcze sprawdzić, czy dane równanie jest spełnione w przypadku, gdy
Wówczas

oraz

a więc dane równanie jest spełnione.

Funkcja
jest całką szczególną równania różniczkowego.

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

przy warunku początkowym

Mamy kolejno:

Ponieważ
więc
a stąd

Ostatecznie stwierdzamy, że rozwiązaniem równania różniczkowego przy podanym warunku początkowym jest funkcja

ClassPad 300 rozwiązuje to zadanie błyskawicznie:

i choć rozwiązanie podane jest w postaci uwikłanej, lecz jest to postać równoważna znalezionej.

---