BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK

Metoda indeksowa

Uwagi ogólne

W trakcie analizy procesów i zjawisk masowych, badacz bardzo często zmuszony jest do korzystania, obok liczb absolutnych, z liczb względnych zwanych też stosunkowymi.

Liczba względna powstaje w wyniku porównania ze sobą dwóch liczb (wielkości) absolutnych. Liczba względna w zależności od tego, jakie liczby absolutne porównujemy, może być liczbą mianowaną lub niemianowaną.

Przyjmując za kryterium treść liczby względnej, wyróżniamy:

1. Współczynniki natężenia - są to liczby względne uzyskane w wyniku porównania dwóch różnoimiennych wielkości absolutnych pozostających ze sobą w związku logicznym. Przykładami mogą być:

• miernik ogólnego zadłużenia,

• płynność finansową,

• współczynnik rentowności sprzedaży, współczynnik rentowności aktywów

2. Wskaźnik struktury - jest to stosunek części danej zbiorowości do całości tej zbiorowości. Stanowi on relację liczby jednostek danej zbiorowości, posiadających wyróżnioną kategorię cechy do ogólnej liczby jednostek danej zbiorowości.

Może być wyrażony w postaci niemianowanej lub w procentach. Stosujemy go w opisie wewnętrznej morfologii badanej zbiorowości, prowadząc analizę porównawczą w ujęciu tak statycznym jak i dynamicznym.

3. Wskaźnik dynamiki - jest to liczba względna, którą uzyskujemy w wyniku porównania tego samego zjawiska w kolejnych momentach lub okresach czasu.

W zależności od tego, czy porównanie dotyczy stałego bądź zmiennego punktu odniesienia, mówimy o:

a) wskaźnikach o podstawie stałej,

b) wskaźnikach o podstawie zmiennej.

W zależności od tego natomiast jakie zjawiska są przedmiotem badania dynamiki wyróżnia się z reguły:

• indeksy indywidualne,

• indeksy agregatowe.

Wskaźniki dynamiki są specyficznymi liczbami względnymi, w tym sensie, że mają bezpośrednie zastosowanie do badania zmian w czasie jakim podlegają rozpatrywane zjawiska. Tą specyfiką nie charakteryzują się ani wskaźniki struktury ani też współczynniki natężenia.

Indeksy indywidualne

Indeksy indywidualne mają zastosowanie wtedy, kiedy przedmiotem analizy są zjawiska, które z punktu widzenia celu badania traktowane są jako pewna jednolita całość. Zjawiska te występują wtedy w postaci pojedynczych szeregów czasowych.

Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wielkości statystycznych uporządkowanych wg kryterium następstwa czasowego.

Jeśli wielkości statystyczne ujęte w szeregu czasowym dotyczą zjawisk ekonomicznych, mówimy o tzw. ekonomicznym szeregu czasowym.

Wyróżnia się indeksy indywidualne:

• jednopodstawowe (o podstawie stałej) − obliczamy je korzystając ze wzoru:

; t=1, 2, ..., n

gdzie:

− poziom zjawiska w okresie badanym t,

− poziom zjawiska w okresie podstawowym 0.

Warto przy tym zauważyć, że indeksy te powiązane są ściśle z jednopodstawowym przyrostem względnym. Mamy bowiem :

Indeksy jednopodstawowe dają nam odpowiedź na dwa pytania:

1. O ile % poziom zjawiska w okresie t wzrósł bądź spadł w stosunku do okresu podstawowego ( bazowego)?

2. Jaki jest trend rozwojowy zjawiska w analizowanym przedziale czasowym?

Podstawowym problemem metodologicznym w procesie konstrukcji indeksów jednopodstawowych jest wybór podstawy odniesienia. Wydaje się, że trzeba tu wziąć pod uwagę następujące przesłanki:

1. Podstawa nie powinna odnosić się do okresów, w których badane zjawisko osiąga bardzo mały bądź bardzo duży poziom.

2. Podstawa odniesienia nie powinna być zbyt odległa w czasie. Dotyczy to szczególnie porównań długookresowych.

3. Gdy mamy trudności z jednoznacznym wyborem podstawy odniesienia, to wybieramy przynajmniej 2 lub 3 podstawy.

4. Z przyjętej podstawy odniesienia należy się „wylegitymować”, tj. należy ją uzasadnić.

• Łańcuchowe (o podstawie ruchomej) − obliczamy je z kolei korzystając ze wzoru:

; t = 2, 3, 4,..., n

gdzie:

− poziom zjawiska w okresie poprzedzającym okres badany t.

Biorąc pod uwagę, że łańcuchowy przyrost względny dany jest relacją:

; mamy, że:

Oznacza to, że indeks łańcuchowy jest sumą jedności i łańcuchowego przyrostu względnego. Indeks łańcuchowy pozwala nam znaleźć odpowiedź na następujące pytania:

1. O ile % wzrósł bądź spadł poziom zjawiska w okresie badanym t w stosunku do okresu t-1?

2. W jakim tempie z okresu na okres rozwijało się zjawisko w analizowanym przedziale czasowym?

Znajomość indeksów łańcuchowych dla t = 2, 3, ..., n pozwala na obliczenie tzw. średniookresowego tempa zmian. Wykorzystujemy wtedy relację:

; lub

gdzie:

− średni indeks łańcuchowy, przy czym:

gdzie:

− indeksy łańcuchowe ( t = 2, 3, ..., n),

n = liczba okresów badanych.

Warto zauważyć, że wzór nr 1 można zapisać w postaci:

gdzie:

− poziom zjawiska w ostatnim okresie badanym,

− poziom zjawiska w pierwszym okresie badanym,

− indeks jednopodstawowy, utworzony poprzez porównanie poziomu zjawiska w okresie n z poziomem zjawiska w okresie początkowym.

Średniookresowe tempo zmian ( wyrażone w %) określa, jaki jest przeciętny okresowy przyrost procentowy analizowanego zjawiska w badanym przedziale czasowym.

Obliczone
można wykorzystać w celach prognostycznych. Zakładając, że w okresie prognostycznym zjawisko badane będzie rozwijać się w tempie dotychczasowym (czyli, że zasada dynamicznego status quo będzie zachowana) oraz znając
, mamy, że:

gdzie:

T − numer okresu prognozowanego.

Przeprowadzenie szacunku zmiennej Y przy wykorzystaniu powyższej reguły wymaga jednak, by rozwój dotychczasowy tej zmiennej był jednokierunkowy i by nie podlegał zbyt dużej zmienności. Stosując tą regułę, nie możemy też ustalić błędu prognozy.

Kolejne zagadnienie, które wiąże się z indeksami indywidualnymi to zamiana podstaw indeksów. Z problemem tym możemy się spotkać korzystając z danych publikowanych przez GUS w różnego rodzaju rocznikach. Wiele informacji podanych jest tam właśnie w postaci indeksów dynamiki (wskaźników dynamiki), nie zawsze takich, jakie potrzebne są nam do analizy. Wyróżnić tu można trzy sytuacje:

• zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe,

• zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe,

• zamiana indeksów jednopodstawowych o podstawie K na indeksy jedno-podstawowe o podstawie M.

1. Zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe:

Lata	Indeks (2000 = 100)	Indeks (rok poprzedni = 100)
2002 2003 2004 2005 2006	95 105 110 115 125	. (105/95)100 = 110,53 (110/105)100 = 104,76 (115/110)100 = 104,55 (125/115)100 = 108,70

2. Zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe:

t < t₀ :

t > t₀ :

gdzie: symbol s oznacza indeks o stałej podstawie, natomiast z o zmiennej podstawie

Przyjęto t₀ = 2003:

Lata	Indeksy (rok poprzedni = 1)	Indeksy (2003 = 1)
2001 2002	. 0,80	(1,111 / 0,80) = 1,389 (1,00 / 0,90) = 1,111
2003	0,90	1,00
2004 2005 2006	1,10 1,05 1,20

3. Zamiana indeksów jednopodstawowych o podstawie „K” na indeksy jedno-podstawowe o podstawie „M”:

Lata	Indeks (1999 = 100)	Indeks (2006 = 100)
2002 2003 2004 2005 2006	114,0 120,5 125,0 120,0 115,0	(114,0 / 115,0)100 = 99,1 (120,5 / 115,0)100 = 104,8 (125,0 / 115,0)100 = 108,7 (120,0 / 115,0)100 = 104,3 (115,0 / 115,0)100 = 100,0

Przykłady

Zadanie 1.

Liczba bezrobotnych zarejestrowanych w Polsce w latach 2000-2006 (w tys.) przedstawiała się następująco:

Lata	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Liczba bezrobotnych	2703	3115	3217	3176	3000	2773	2309

1. Scharakteryzuj dynamikę bezrobocia w Polsce w badanym okresie używając w tym celu indeksów jednopodstawowych 2000 = 100.

2. Jak zmieniała się liczba bezrobotnych w Polsce w badanych latach z roku na rok?

Rozwiązanie:

Tabela robocza:

Lata	Liczba bezrobotnych	Indeksy (2000 = 100)	Indeksy (rok poprzedni = 100)
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006	2703 3115 3217 3176 3000 2773 2309	100 (3115 / 2703)100 = 115,2 (3217 / 2703)100 = 119,0 (3176 / 2703)100 = 117,5 (3000 / 2703)100 = 111,0 (2773 / 2703)100 = 102,6 (2309 / 2703)100 = 85,4	. (3115 / 2703)100 = 115,2 (3217 / 3115)100 = 103,3 (3176 / 3217)100 = 98,7 (3000 / 3176)100 = 94,5 (2773 / 3000)100 = 92,4 (2309 / 2773)100 = 83,3

ad a) W kolejnych latach, do roku 2005, liczba bezrobotnych była większa niż w roku 2000. Natomiast w roku 2006 było ich już o 14,6 % mniej niż w roku wyjściowym. Najwięcej bezrobotnych w porównaniu z rokiem 2000 było w roku 2002 i było to o 19 % więcej.

ad b) W całym badanym okresie nie było jednej tendencji zmian bezrobocia. W latach 2000−2002 liczba bezrobotnych z roku na rok rosła. Najsilniejszy roczny przyrost bezrobocia miał miejsce w 2001 roku i wyniósł 15,2 % w stosunku do roku 2000. W latach 2003-2006 bezrobocie z roku na rok spadało, najsilniej w 2006 roku - o 16,7% w stosunku do roku 2005.

Zadanie 2.

Dynamikę liczby rozwodów w Polsce w latach 2000−2006 przedstawia następujący szereg indeksów:

Lata	Indeksy 2000=100
2000	100,0
2001	105,8
2002	106,1
2003	113,6
2004	131,5
2005	157,9
2006	167,5

1. Jak zmieniała się liczba rozwodów w Polsce w badanym okresie z roku na rok?

2. Oblicz średnio-roczne tempo zmian liczby rozwodów w Polsce w tym okresie.

3. Jakiej liczby rozwodów można oczekiwać w 2008 r., jeżeli w 2006 r. było ich w Polsce 71,7 tys.?

Rozwiązanie:

ad a) Odpowiedzi na to pytanie można udzielić po obliczeniu indeksów łańcuchowych:

Lata	Indeksy 2000 = 100	Indeksy rok poprzedni = 100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006	100 105,8 106,1 113,6 131,5 157,9 167,5	. (105,8 / 100,0)100 = 105,8 (106,1 / 105,8)100 = 100,3 (113,6 / 106,1)100 = 107,1 (131,5 / 113,6)100 = 115,8 (157,9 / 131,5)100 = 120,1 (167,5 / 157,9)100 = 106,1

Obliczone indeksy łańcuchowe wskazują na stały przyrost liczby rozwodów w Polsce w badanych latach. Największy roczny przyrost liczby rozwodów w Polsce miał miejsce w 2005r. i wyniósł 20,1 % w stosunku do roku 2004. Natomiast najmniejszy przyrost był w 2002 r. Liczba rozwodów wzrosła wówczas w stosunku do roku 2001 tylko o 0,3 %.

ad b) Obliczamy średnio-roczne tempo wzrostu liczby rozwodów:

W latach 2000 - 2006 liczba rozwodów w Polsce wzrastała średnio-rocznie o 9,0 %.

ad c) Wykorzystujemy wcześniej podany wzór:

Y_n = 71,7 T = 9 n = 7

Jeżeli tempo wzrostu liczby rozwodów z lat 2000 - 2006 utrzyma się nadal, to w roku 2008 powinno ich być w Polsce 85,2 tys.

Zadanie 3.

Dynamikę liczby studentów w Polsce w latach 2000-2006 przedstawia następujący szereg indeksów:

Lata	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Indeksy rok poprzedni = 100	.	108,45	104,77	103,22	103,60	101,45	101,18

1. Oblicz średnio-roczne tempo wzrostu liczby studentów w Polsce w badanym okresie.

2. Oszacuj przypuszczalną liczbę studentów w Polsce w 2008 r., wiedząc, że w 2006 było ich 1977 tys.

3. O ile procent wzrosła liczba studentów w 2006 r. w stosunku do 2002 r. ?

Rozwiązanie:

ad a) Obliczamy średnio-roczne tempo

W latach 2000 - 2006 liczba studentów w Polsce rosła przeciętnie rocznie o 3,75 %.

ad b) Wykorzystujemy wzór:

Jeżeli tempo wzrostu liczby studentów w Polsce z lat 2000-2006 utrzyma się nadal to liczba studentów w 2008 roku powinna wynieść około 2128 tys. Można jednak podejrzewać, że jest to liczba zawyżona, gdyż w dwóch ostatnich latach roczne przyrosty liczby studentów były zdecydowanie niższe.

ad c) Należy zamienić podane indeksy łańcuchowe na indeksy jednopodstawowe 2002=100 (obliczenia w tabeli):

Lata	Indeksy rok poprzedni = 100	Indeksy 2002 = 100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006	. 108,45 104,77 103,22 103,60 101,45 101,18	100 (100,00 x 103,22)/100 = 103,22 (103,22 x 103,60)/100 = 106,94 (106,94 x 101,45)/100 = 108,49 (108,49 x 101,18)/100 = 109,77

Liczba studentów w 2006 roku wzrosła w stosunku do roku 2002 o 9,77 %.

Indeksy agregatowe

Indeksy agregatowe - mają zastosowanie w przypadku badania dynamiki zespołów zjawisk tworzących tzw. agregaty. Zjawiska cząstkowe wchodzące w skład danego agregatu są nieporównywalne, stąd należy znaleźć wspólny dla nich punkt odniesienia ( wspólny mianownik ). Jest nim pieniądz.

W związku z powyższym, podstawową konstrukcją agregatowego indeksu jest indeks wartości. Obliczamy go wg wzoru:

gdzie:

,
- cena jednostkowa zjawiska cząstkowego wchodzącego w skład danego agregatu w okresie podstawowym 0 i badanym t.

,
- fizyczne rozmiary (wolumen, ilość ) zjawiska cząstkowego wchodzącego w skład danego agregatu w okresie podstawowym 0 i badanym t .

Indeks ten (wyrażony w %) wskazuje o ile % wartość agregatu w okresie badanym wzrosła bądź spadła w stosunku do okresu podstawowego.

Łatwo więc zauważyć, że indeks wartości ma ograniczone możliwości poznawcze, stąd stosowany jest jako wskaźnik podstawowy, służący jako punkt wyjścia do dalszych przeszacowań. Dotyczy to konieczności badania wpływu na dynamikę wartości agregatu dynamiki cen i dynamiki ilości.

W tym celu tworzymy agregatowe indeksy cen i ilości. Do ich konstrukcji posługujemy się zasadą naukowego (świadomego) abstrahowania, która polega na tym, że chcąc określić zmiany w cenach przyjmujemy ilości za stałe (niezmienne) i odwrotnie. Oznacza to, że chcąc uchwycić dynamikę cen standaryzujemy ilości, chcąc zaś zbadać dynamikę ilości standaryzujemy ceny.

Standaryzacja może przy tym być prowadzona na różnych poziomach. W szczególności odbywa się ona na poziomie:

• okresu podstawowego,

• okresu badanego.

W pierwszym przypadku mówimy o indeksach wg formuły Laspeyresa, w drugim zaś Paaschego.

Konstrukcja indeksów agregatowych cen i ilości wg powyższych formuł jest następująca:

1. indeksy wg formuły Paaschego

;

2. indeksy wg formuły Laspeyresa

;

Obliczone w podany wyżej sposób indeksy agregatowe mają swoją interpretację poznawczą, tak np.:

• agregatowy indeks cen Paaschego (wyrażony w %) wskazuje o ile % ceny danego agregatu, w okresie badanym wzrosły bądź spadły w stosunku do okresu podstawowego, przy ceteris paribus fizycznych rozmiarów tego agregatu na poziomie okresu badanego.

Analogicznie interpretujemy
z tym, że wtedy ilości są takie jak w okresie podstawowym.

• agregatowy indeks ilości Laspeyresa określa natomiast o ile % fizyczne rozmiary agregatu wzrosły bądź spadły w okresie badanym, w stosunku do okresu podstawowego, przy założeniu stałości cen na poziomie okresu podstawowego.

Podobnie interpretujemy , wtedy jednak zakładamy niezmienność cen na poziomie okresu badanego.

Warto dalej zauważyć, że pomiędzy indeksem wartości oraz indeksami cen i ilości zachodzą następujące powiązania:

Jest to tzw. podwójna równość indeksowa.

Szacowanie agregatowych indeksów cen i ilości w ich klasycznej postaci wymaga określonej struktury danych. Musimy mianowicie mieć dane empiryczne dotyczące cen i ilości wszystkich zjawisk cząstkowych składających się na dany agregat.

Nie zawsze taka struktura informacji jest możliwa do uzyskania. Stąd konieczne staje się korzystanie z nieklasycznych postaci agregatowych indeksów cen i ilości.

Szczególnie przydatne spośród tych postaci są^:

• Postać średnio-arytmetyczna, którą wykorzystujemy, gdy posiadamy informacje o wartościach zjawisk cząstkowych wchodzących w skład danego agregatu w okresie podstawowym oraz indywidualne indeksy cen bądź indywidualne indeksy ilości:

;

;

• Postać średnio-harmoniczna, którą stosujemy, gdy posiadamy informacje o war-tościach zjawisk cząstkowych w okresie badanym oraz informacje o indywidu-alnych indeksach cen bądź ilości.

;

;

Interpretacja indeksów obliczanych wg tych postaci jest taka sama jak indeksów w wersji klasycznej.

Warto ponadto zwrócić uwagę na fakt, że o ile w indeksach obliczonych wg wersji klasycznej wagami są odpowiednio ceny bądź ilości w okresie badanym lub podstawowym, to w przypadku obliczania indeksów o postaci średnio-harmonicznej i średnio-arytmetycznej wagami są wartości z okresu badanego bądź podstawowego

Przykłady

Zadanie 1.

Pewien zakład produkujący zabawki drewniane podał następujące informacje o rozmia-rach produkcji i cenach jednostkowych trzech rodzajów zabawek produkowanych w I-ym i II-im półroczu 2006 r.

Zabawka	Jednostka miary	Rozmiary produkcji (tys. jednostek)		Cena jednostkowa ( zł.)
				I półrocze	II półrocze	I półrocze	II półrocze
samochód klocki mebelki	sztuka pudełko komplet	3,5 2,1 1,2	4,1 2,0 1,2	30 15 25	33 20 28

Scharakteryzuj dynamikę wartości, ilości i cen zabawek produkowanych przez ten zakład w drugim półroczu w porównaniu z półroczem pierwszym.

Rozwiązanie:

Oznaczamy ilości i ceny odpowiednimi symbolami i wykonujemy potrzebne obliczenia:

Zabawka	Rozmiary produkcji		Cena (zł)		q0p0	qtpt	qtp0	q0pt
		q0	qt	p0					pt
samochód klocki mebelki	3,5 2,1 1,2	4,1 2,0 1,2	30 15 25	33 20 28	105,0 31,5 30,0	135,3 40,0 33,6	123,0 30,0 30,0	115,5 42,0 33,6
	X	X	X	X	166,5	208,9	183,0	191,1

• Liczymy indeks wartości:

Indeks wartości w procentach: 125,5 %.

Wartościowo produkcja wymienionych zabawek wzrosła w drugim półroczu 2006 r. w stosunku do pierwszego półrocza o 25,5 %.

• Liczymy agregatowe indeksy cen:

• Paaschego:
  

• Laspeyresa:
  

Jeżeli przyjąć jako stałe ilości produkcji z drugiego półrocza to ceny zabawek wzrosły w drugim półroczu w stosunku do pierwszego przeciętnie o 14,2 %.

Jeżeli natomiast przyjmiemy za stałe ilości produkcji z pierwszego półrocza to przeciętny wzrost cen wyniósł 14,8 %.

• Liczymy indeksy ilości:

• Paaschego:
  

• Laspeyresa:
  

Przy założeniu stałych cen z drugiego półrocza produkcja ilościowo wzrosła o 9,3 % w stosunku do półrocza pierwszego. Jeżeli natomiast jako stałe przyjmiemy ceny z pierwszego półrocza to wówczas wzrost ilości produkcji wynosi 9,9 %.

Zadanie 2.

Uzyskano następujące informacje o wartości sprzedaży czterech artykułów budowlanych przez pewną firmę w 2005 i 2006 r., oraz o zmianach cen tych artykułów w 2006 r.

Artykuły	Wartość sprzedaży (tys. zł.)		Zmiana cen 1.01.2006 r.
		2005 r.		2006 r.
A B C D	50 110 80 65	65 120 85 75	- 5,0 % + 2,5 % - 1,5 % + 6,5 %

Scharakteryzuj dynamikę wartości, ilości i cen sprzedaży tych artykułów w 2006 roku w porównaniu z 2005 r.

Rozwiązanie:

Liczymy indeks wartości:

Wartość sprzedaży analizowanych czterech artykułów wzrosła w 2006 r. w stosunku do 2005 r. o 13,1 %.

Informacje o zmianie cen wykorzystujemy do ustalenia indywidualnych indeksów cen poszczególnych artykułów, a następnie liczymy średnio-harmoniczną postać indeksu cen Paaschego (potrzebne obliczenia w tabeli):

Artykuł	Wartość sprzedaży (tys.zł)		Zmiana cen 1.01.2006 r.	ip (%)
		2005 r.				2006 r.
A B C D	50 110 80 65	65 120 85 75	-5,0 +2,5 -1,5 +6,5	95,0 102,5 98,5 106,5	68,42 117,07 86,29 70,42
	305	345	X	X	342,20

Indeks ten informuje nas, że jeżeli jako stałe przyjmiemy ilości sprzedaży z 2006 r, to można powiedzieć, że ceny wzrosły przeciętnie o 0,8 % w 2006r. w porównaniu z rokiem.

Wykorzystując równość indeksową liczymy agregatowy indeks ilości Laspeyresa:

Mamy:
stąd:

Z tego wynika, że ilościowo sprzedaż tych artykułów wzrosła w 2006 r. w stosunku do 2005 r. przeciętnie o 12,2 % (przy założeniu stałych cen z 2005 r.).

3

---