Pochodne: wz (f(x)g(x))'=eg(x)lnf(x) logab=logcb/logca=lnb/lna, Przykłady: sinx5=5x4cosx5, sin2x=2cos2x,sin5x=5sin4x cosx, Pochodna w punkcie. x0 z def.f'(x )=lim/x→x0{[f(x)-f(x0)]/[x-x0]} , Wsp. kier. stycznej f'(x0)=tgα=m tgα=Δf/Δx x-x0=h, Równanie stycznej y-f(x0)=f'(x0)(x-x0), Kąt między wykr.tg= [f'(x0)-g'(x 0)]/[1+f'(x0)∙g'(x0)] α=π/2 jeśli f'(x0)g'(x0)=-1
Pochodna funkcji określonej parametrycznie dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y'(t)/x'(t)
Reguła de l'Hospitala
0∙∞ to f∙g=f/(1/g) wych 0/0 lub ∞/∞ ∞-∞ to f-g=[(1/g)-(1/f)]/(1/f∙g) wych 0/0 1∞,∞0,00 to f g =e glnf wych 0∙∞
Schemat przebiegu zmienności funkcji: 1-dziedzina,parzystość, 2-granice, 3-asymptoty, 4-pochodna, monotoniczność,ekstrema, 5-druga poch.,punkty przegięcia, wypukłość(x<0-wyp), (x>0-wkl), 6-tabelka, 7-wykres.
Ciągi: Artmetyczny an=a1+(n-1)r Sumy Sn=[2a1+(n-1)r]n/2 , Sn=(a1+an)n/2 Geometryczny an=a1∙qn-1Sumy Sn=a1∙n , Sn=[a1∙(1-qn)2/(1-q) Szer. zb.q<1 S=a1/1-q q=a n+1 /a n, Symbole: [0/1]=0, [ -∞/1]=−∞, [a∞]=∞, [∞+∞]=+∞, [1/∞]=0, [-∞/+∞]= −∞, [ 1/0]=∞Granice ciągów: limn→∞n√a `=1dla a>0, limα→∞sinα/α=1 Twierdzenie o trzech ciągach an≤cn≤bn, lim n→∞an=lim n→∞ bn=q limn→∞cn=q, Stała Eulera limn→∞(1±1/n)n=e limn→∞(1±1/an) an=e
Kryteria zbieżności: k. d'Alamberta(z silniami,ilorazowe) ∑an an≥0 lim n→∞a n+1/an=q q<1-zb,q>1-rozb k.Cauchy'ego (pierwiastkowe) ∑an limn√an`=q q<1-zb,q>1-rozb k.Leibniza(przemienne)∑(−1)nan an>0 jeśli(an)=0↓malejący a1≥a2≥...an≥... i lim n→∞an=0 wtedy ∑(−1)nan - jest zbieżny k.porównawcze(dla wyr.+) ∑an ∑bn an≤bn 1 zbież to i 2 szer.Dirichleta harm.rzędu α ∑1/nα α≤1-zb., α >1-rozb. war.konieczny∑an limn→ ∞a n =0 limn→∞1/n=0-zb.gdy=1-roz.
Liczby zespolone: z1=(x1,y1) z1=(x1,y1) z1+z2+(x1+x2,y1+y2) z1∙z2+(x1∙x2-y1∙y2 , x1∙y2+x2∙y1) P. kartezjańska i=(0,1) x=(x,0) iy=(0,y) (x,y)=x+iy i2=-1Licz.spżężona z=a+ib *=a−ib z1/z2=(z1∙*2)/(z2∙*2)
Postać trygonometryczna: z=ﺍzﺍ(cosφ+i∙sinφ) arg z=φ z=x+iy ﺍzﺍ=√x2+y2' cosφ=x/z sinφ=y/z z1∙z2=ﺍz1ﺍ ﺍz2ﺍ[cos(φ1+φ2) + i sin(φ1+φ2)] z1/z2=z1/z2[cos(φ1-φ2) + i sin(φ1-φ2)] Wzór Moivre'a: zn=ﺍzﺍn (cos nφ+i sin nφ ) Pierwiastkowanie:n√z'=n√ﺍzﺍ'[cos(φ+2kπ/n)+isin(φ+2kπ/n)] k=0,1,2,3,4,...(n-1) n√z'=w wn=z