ZESTAW 2

INŻYNIERSKIE ZASTOSOWANIA STATYSTYKI

1. Osoba X wykonuje pracę w ciągu 4, 5, albo 6-ciu godzin i może popełnić przy tym 0, 1 albo 3 błędy. Zakładając jednakowe prawdopodobieństwo dla każdego z 9-ciu zdarzeń jednoelementowych znaleźć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

a). Praca zostanie wykonana w ciągu 4 godzin (zdarzenie A).

b). Praca zostanie wykonana bezbłędnie w czasie 6 godzin (zdarzenie B).

c). Praca zostanie wykonana w czasie 5 godzin najwyżej z jednym błędem (zdarzenie C).

d). Praca zostanie wykonana z co najwyżej jednym błędem (zdarzenie D).

2. Rozpatrujemy ilość wody (dm³) jaką może mieć do przeprowadzenia betonowy przepust. Dotychczasowe obserwacje pozwalają przyjąć, że:

• P(A) - prawdopodobieństwo, że ilość wody (na sekundę) przyjmie wartość z przedziału (125, 250) wynosi 0,6,

• P(B) - prawdopodobieństwo, że ilość wody (na sekundę) przyjmie wartość z przedziału (200, 300) wynosi 0,7 a p(A
  B)=0,8. Obliczyć prawdopodobieństwa P(
  ), P(
  ), P(AB), P(
  ), P(B
  ), P(B
  
  ).

Trzy ściany czworościanu zostały pomalowane na biało, czerwono i zielono zaś czwarta w pasy biało-czerwono-zielone. Doświadczenie polega na rzucaniu czworościanu na płaszczyznę i obserwowaniu koloru ściany, na którą upadł czworościan. Zdarzenia B, C, Z są określone następująco:

• B - ściana biała,

• C - ściana czerwona,

• Z - ściana zielona.

Sprawdzić czy zdarzenia B, Z, C są: niezależna parami.

4. Na przenośnik taśmowy trafiają jednakowe produkty wytwarzane przez dwa automaty. Stosunek ilościowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego jest równy 3:2. Pierwszy automat wytwarza średnio 65% produktów pierwszej jakości drugi zaś 85%. Spośród produktów na przenośniku pobieramy losowo jeden.

a). Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie to produkt pierwszej jakości.

b). Losowo wybrany produkt okazał się pierwszej jakości. Mógł on zostać wyprodukowany przez pierwszy lub drugi automat. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne.

5. Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kombinacji 111 albo 000 z prawdopodobieństwami (a priori) odpowiednio równymi 0,65 i 0,35. Sygnały podlegają losowym zakłóceniom, w rezultacie czego symbol 1 może być odebrany jako 0 z prawdopodobieństwem 0,2 i z takim samym prawdopodobieństwem symbol 0 może być odebrany jako 1. Zakładając, że symbole 0 i 1 ulegają zakłóceniom niezależnie obliczyć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału:

a). 111,

b). 000,

c). 010.

Na wyjściu odebrano sygnał 010 jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako sygnał 000.

Na wyjściu odebrano sygnał 111 jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako 111

6. W magazynie są wyroby dobre i wadliwe, pochodzące od różnych producentów. Niech

A - oznacza, ze losowo wybrany wyrób jest dobry,


- oznacza, że losowo wybrany wyrób jest wadliwy,

B₁ - oznacza, że losowo wybrany wyrób pochodzi od pierwszego producenta,

B₂ - oznacza, że losowo wybrany wyrób pochodzi od drugiego producenta.

Tabela liczności zdarzeń (liczba wyrobów dobrych od pierwszego producenta).

N - liczba wszystkich wyrobów

A


B₁ a b

B₂ c d

A∩B - oznacza, że losowo wybrany element jest dobry i pochodzi od pierwszego producenta.

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany element jest dobry jeżeli pochodzi od pierwszego producenta.

7. Rzucamy dwa razy kostką do gry.

Zdarzenie A - w obu rzutach liczba oczek jest parzysta.

Zdarzenie B - wyrzucamy chociaż jedną szóstkę.

Zbadać czy zdarzenia A i B są niezależne.

8. Niech:

A - będzie zbiorem punktów (x, y), dla których x²+y²<1,

B - będzie zbiorem punktów (x, y), dla których x²+y²<4,

C - będzie zbiorem punktów (x, y), dla których (x-1)²+y²<1

Znaleźć zbiory:

A
B, A
C, B
C, A
B
C, A∩B, A∩C, B∩C, A∩B∩C,

A-B, B-A, A-C.

9. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6, B podzielnych przez 2, C podzielnych przez 5. Znaleźć zbiory:

A
B, A
C, B
C, A∩B, A∩C, B∩C, A-B, A-C, A
B
C, A∩B∩C.

10. Na kartkach wrzuconych do pudełka napisane są odpowiednio numery 1, 2, 3,…,n.

1. Losujemy w sposób przypadkowo jedną kartkę. Wyznaczyć przestrze© zdzrzeń elementarnych E.

2. Losujemy przypadkowo dwie kartki. Wyznaczyć przestrzeń zdarzeń elementarnych E.

---