d
Rozwiązanie równania:
+
x
2
2
β
+ω x = 0
d 2
t
d
0
t
=
x
Ae−β t co (
s ω t
+
ϕ )
d x
=
− Aβ e−β t co (
s ω t
+
ϕ ) − Aω e−β t sin ( t ω
+
ϕ )
d t
d2 x
=
A(β 2 − ω 2 ) e−β t co (
s ω t
+
ϕ ) + 2 Aβω e−β t sin ( ω t
+
ϕ )
d t 2
( 2
2
A β − ω ) −
e β t c
os ( ω t
+
ϕ ) + 2
−
Aβω e β t s
in ( ω t
+
ϕ ) +
+ 2β[−
−
Aβ e β t c
os ( ω t
+
ϕ ) −
−
Aω e β t s
in ( ω t
+
ϕ ]
2
) +
−
ω Ae β t c os (ω t
+
ϕ ) = 0
0
( 2
2
A β − ω − 2 2
2
β +ω ) −
e β t c
os ( ω t
+
ϕ ) = 0
0
2
2
2
ω = ω − β
2
2
ω = ω − β
0
0
Dodatek 2:
d2 x
d x
Rozwi
2
ązanie równania:
+ 2β
+ω x =
2
0
α sin
0
ω t
d t
d t
d x
d2 x
x( t) = A sin(ω t + ϕ )
= Aω cos(ω t +ϕ) 2
= − Aω sin(ω t +ϕ) d t
d2 t
(ω2 −
+ +
+
=
0
ω2 ) A sin ω
( t ϕ) 2βω A cos ω
( t ϕ) α sin
0
ω t
sin ω
( t + ϕ ) = sin ω t cosϕ + cosω t sin ϕ
cos ω
( t + ϕ ) = cosω t cosϕ − sin ω t sin ϕ
([ω2 −
−
+
−
+
=
0
ω2 )cosϕ 2βω sinϕ] A sinω t ([ω20 ω2)sinϕ 2βω cosϕ] A cosω t α sin 0
ω t
tgϕ
sin ϕ =
ϕ
1
cos
=
1+ tg ϕ
2
1+ tg ϕ
2
sin ϕ
2βω
=
α
tgϕ = −
0
A =
2
2
cosϕ
ω −ω
2
2 2
2
2 1/ 2
[(ω − ω ) + 4β ω ]
0
0
1