Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM

Matematyka

Poziom rozszerzony

Listopad 2009

W kluczu sà prezentowane przyk∏adowe prawid∏owe odpowiedzi. Nale˝y równie˝ uznaç odpowiedzi ucznia, jeÊli sà inaczej sformu∏owane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane w kluczu, ale poprawne.

Numer

Liczba

Etapy rozwiàzywania zadaƒ

zadania

punktów

1.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

Sprowadzenie uk∏adu równaƒ do równania z jednà niewiadomà.

3 - y = x

*3 = 6 - 2 y + y

-2 y + y = -3

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Obliczenie zmiennej y.

y H 0 i - y

2 + y = -3

lub

y < 0 i y

2 + y = -3

y = 3

y = 1

-

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà niewielkie usterki.

1

Obliczenie zmiennej x.

x = 3 - 3 = 0

lub

x = 3 -

1

- = 2

x = 0

lub

x = 2 lub x = -2

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

x = 0, y = 3 lub x = 2, y = 1

- lub x = -2, y = 1

-

2.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

Wykorzystanie zale˝noÊci mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kàta.

1

1

1

_ + sin x ic

m

cos

- tg

x

x +

= 0

3

1 - sin x

1

1

_ + sin x ic

m

cos x

= - 3

Dokonanie istotnego post´pu.

1

Sprowadzenie równania do równania z jednà niewiadomà.

2

1 - sin x

1

cos x

= - 3

2

cos x

1

cos x = - 3

1

cos x = - 3

Pokonane zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Uwzgl´dnienie za∏o˝eƒ i obliczenie sin x.

2

1

8

sin x = 1 -

=

9

9

2 2

sin x =

3

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

Obliczenie sin x + cos .

x

2 2

1

2 2 - 1

sin x + cos x =

-

=

3

3

3

w w w. o p e r o n . p l

1

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Liczba

Etapy rozwiàzywania zadaƒ

zadania

punktów

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

OkreÊlenie znaku liczby sin x + cos x.

2 2 - 1 . ,

0 6 > 0

3

3.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

Zauwa˝enie, ˝e P = ( ,

x

)

0 i zapisanie odpowiednich równoÊci.

PD = k $ PB

PC = k $ PA

PC = 74 - ,

x 0A i PD = 76 - ,

x 2A

PA = 1

7 - ,

x 0A i PB = 72 - ,

x 1A

Dokonanie istotnego post´pu.

1

Zapisanie równoÊci pozwalajàcych na wyznaczenie k oraz x.

k $ PA = 7 k (1 - ) x , 0A

k $ PB = 7 k (2 - ) x , k A

k (1 - )

x = 4 - x i k (2 - ) x = 6 - x

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Rozwiàzanie uk∏adu równaƒ.

k = 2, x = -2

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

Obliczenie d∏ugoÊci promienia okr´gu i wspó∏rz´dnych punktu .

P

2

2

r = _2 - 1i + 1

_ - 0i = 2

P = _- ,

2 0i

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

Zapisanie równania okr´gu.

2

2

( x + )

2 + y = 2

4.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

Obliczenie log 100 i sprowadzenie logarytmów do tej samej podstawy.

log x + log a

2

a

x

H

1

log a =

x

log x

a

1

log x +

H 2

a

log x

a

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Dokonanie odpowiedniego podstawienia i sprowadzenie nierównoÊci do postaci nierównoÊci kwadratowej.

k = log x

a

1

k +

H 2

k

2

k + 1 H k

2 , gdy˝ k > 0

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

Wykorzystanie wzoru skróconego mno˝enia do przekszta∏cenia nierównoÊci.

2

_ k - 1i H 0

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

2

Zauwa˝enie, ˝e dla ka˝dej liczby k spe∏niajàcej warunki zadania liczba _ k - 1i jest zawsze 2

nieujemna, zatem _log x - 1i H 0.

a

NierównoÊç log x + log a

2 jest zatem prawdziwa.

a

x

H

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Liczba

Etapy rozwiàzywania zadaƒ

zadania

punktów

5.

Dokonanie istotnego post´pu.

1

Zapisanie d∏ugoÊci spirali.

1

1

L =

r

r +

r

r + .... +

r

r

2

9

2

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

1

Zauwa˝enie, ˝e wyrazy sumy tworzà ciàg geometryczny o ilorazie i pierwszym wyrazie r

r .

2

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

Obliczenie sumy ciàgu geometrycznego.

10

1

1 - c m

1

2

1 -

1023

l =

r

r $

=

r

1024

r $

=

r

r

1

1

512

1 - 2

2

6.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

OkreÊlenie dzielników wyrazu wolnego: 1

- , 1, -2, 2, -4, 4.

Sprawdzenie, ˝e jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba .

1

Dokonanie istotnego post´pu.

1

Wykonanie dzielenia wielomianu przez dwumian x - 1 i zapisanie wielomianu w postaci iloczynu.

3

2

W ( )

x = ( x - )

1 ( x + x

2

- x

2 - )

4

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

3

2

Roz∏o˝enie wyra˝enia x + x

2

- x

2 - 4 na czynniki.

3

2

2

x + x

2

- x

2 - 4 = x ( x + )

2 - 2 ( x + )

2 = ( x + )

2 ( x - 2)( x + 2)

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

OkreÊlenie pierwiastków wielomianu: 1, -2, 2, - 2.

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

Obliczenie sumy odwrotnoÊci pierwiastków wielomianu.

1

1

1

1

1 -

+

-

=

– liczba wymierna

2

2

2

2

7.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

Zapisanie odpowiedniej równoÊci, wynikajàcej z faktu, ˝e punkt A = ( , x )

y le˝y w tej samej

odleg∏oÊci od prostej i punktu P.

1

2

y +

2

1

2

(0 - )

x + c

- y m =

2

2

0 + 1

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Podniesienie obu stron równania do kwadratu i wykonanie redukcji wyrazów podobnych.

2

x - y

2 = 0

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

OkreÊlenie wzoru odpowiedniej krzywej.

1 2

y =

x

2

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

Zapisanie wzoru funkcji.

1 2

f ( )

x =

x

2

w w w. o p e r o n . p l

3

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Liczba

Etapy rozwiàzywania zadaƒ

zadania

punktów

8.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

C

b

a

A

b

c

B

Wykorzystanie wzoru cosinusów.

s – d∏ugoÊç Êrodkowej

2

2

a

2

a

s = c m + c - 2 $

$ c $ cos b

2

2

2

2

a

2

s =

+ c - ac cos b

4

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Obliczenie cos b.

2

2

2

b = c + a - c 2 a cos b

2

2

2

a + c - b

cos b =

ac

2

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

Dokonanie odpowiedniego podstawienia i obliczenie .

s

2

J 2

2

2 N

2

a

2

c + a - b

s =

+ c - ac $ K

O

4

K

ca

2

O

L

P

2

2

2

2

c

2

+ b

2

- a

s =

4

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

2

2

2

s = ,

0 5

c

2

+ b

2

- a

9.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

Zapisanie sumy cyfr liczby .

a

a =

...

24681012 98100

S = 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 + 6 + ... + 9 + 8 + 1 + 0 + 0

Dokonanie istotnego post´pu.

1

Pogrupowanie sk∏adników w odpowiedni sposób.

S = (2 + 4 + 6 + )

8 + 7(0 + 2 + 4 + 6 + )

8 + 5A + 8_0 + 2 + 4 + 6 + 8i + 10B +

+ ... + 8_0 + 2 + 4 + 6 + 8i + 45B + 1

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Obliczenie sumy cyfr z wykorzystaniem wzoru na sumćiàgu arytmetycznego.

S = 720 + (20 + )

5 + (20 + 1 )

0 + ... + (20 + 4 )

5 A + 1 =

5 + 45

= 10 $ 20 + (5 + 10 + ... + 4 )

5 + 1 = 201 +

$ 9 = 426

2

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

Obliczenie sumy cyfr liczby 426 i stwierdzenie, ˝e jest to liczba podzielna przez 3, ale niepodzielna przez .

9

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

2

JeÊli liczba a by∏aby kwadratem pewnej liczby, musia∏aby dzieliç si´ przez 3 = 9. Liczba a dzieli si´ przez 3, a nie dzieli si´ przez 9, nie jest wić kwadratem liczby naturalnej.

4

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Liczba

Etapy rozwiàzywania zadaƒ

zadania

punktów

10.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

OkreÊlenie warunków istnienia dwóch ró˝nych pierwiastków dodatnich.

Z

]

] Δ > 0

[ x + x > 0

1

2

] x $ x > 0

1

2

\

Dokonanie istotnego post´pu.

1

OkreÊlenie, kiedy wyró˝nik jest wi´kszy od zera Δ

2

= k - 9 = ( k - )

3 ( k + )

3

Δ > 0 dla k ! (- ,

3 - )

3 , ( ,

3

)

3

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

OkreÊlenie, kiedy suma i iloczyn pierwiastków sà wi´ksze od zera – wykorzystanie wzorów Vi¯te’a.

x + x > 0 + -( k + ) 1 > 0 + k < 1

-

1

2

x $ x H 0 + ,

0 5 ( k + )

5 > 0 + k > -5

1

2

Stàd k ! (- ,

5 - )

1

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

OkreÊlenie iloczynu odpowiednich zbiorów.

k ! [(- ,

3 - )

3 , ( ,

3

)]

3 + (- ,

5 - )

1

k ! _- ,

5 -3i

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

k ! (- ,

5 - )

3

11.

Dokonanie niewielkiego post´pu.

1

D

C

E

K

L

A

F

B

Uwzgl´dnienie w∏asnoÊci czworokàta opisanego na okr´gu.

AD + CB = AB + CD

Dokonanie istotnego post´pu.

1

OkreÊlenie d∏ugoÊci odcinka LK.

AB + DC

AD + CB

LK =

=

= 8

2

2

Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.

1

Wykorzystanie zale˝noÊci mi´dzy polami odpowiednich czworokàtów i bokami czworokàta.

P

3

=

P

5

1

,

0 5 `8 + DC j $ DE

3

=

,

0 5 `8 + AB j $ FE

5

DE = EF – z twierdzenia Talesa AB + DC = 16 & DC = 16 - AB

w w w. o p e r o n . p l

5

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Liczba

Etapy rozwiàzywania zadaƒ

zadania

punktów

Rozwiàzanie cz´Êci zadania.

1

Obliczenie d∏ugoÊci jednej z podstaw.

3

,

0 5 (8 + DC ) $ DE =

$ ,

0 5 (8 + AB ) $ FE

5

16

3

=

AB - DC

5

5

16

3

=

AB - (16 - AB )

5

5

AB = 12

Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.

1

Obliczenie d∏ugoÊci drugiej podstawy.

CD = 16 - 12 = 4

Rozwiàzanie bezb∏´dne.

1

AB = 12, CD = 4

6

w w w. o p e r o n . p l