Egzamin dla Aktuariuszy z 12 stycznia 2002 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

X

n+ = X n ⋅ X X ≅ J (

)

1

,

0

X n − iloczyn n X

≅ J(0,1)

1

Z tego:

n

 1 

EX =  

n

 2 

 1 

2

1

1

1

EX 2 = ( EX 2 ) n

n =   EX =

+ =

n

 3 

12

4

3

n

2 n

 1 

 1 

var X =   −  

n

 3 

 2 

2

n

n



n

n

1





 4



 1 

 1 





 

  −1

  −  

 2





 3



 3 

 4 









n

4 

ODP =

=

=   −1

  n

  n

 3

1

1



 

 

 2 

 2 

Zadanie 2

Metodą eliminacji dla N

A = 2

E( N N

E A N

P A

N

P A

N

1

A = 2) = 6 +

( 1 A = 2)= 6+1⋅ ( 1=1 A = 2)+ 2 ( 1= 2 A = 2)=

8 

 4 

 8

8 

 8

 





 





 

1 

 1 

 8

 2 

 8

8 ⋅ 4 + 2 ⋅ 28

1

= 6 +1

+ 2

= 6 +

= 7 i pasuje tylko odpowiedź (E)

12

12

66

3









 2 

 2 

można policzyć EN

i

EN i sprawdzić czy EE( N N

= EN

1

A )

1

A

1

Zadanie 3

2

X

var( Y X ) ≤

4

1

1



2

X 

var X +

E ( X ) = var

 + E(var( Y X ) =

2

4

 2 

1

1

var X +

E 2 ( X ) = E(var( Y X ) 4

4

jesli

2

1

2

EX

= E(

X

var( Y X )









< E

= 1

2

EX

→





sprzeczność

4

 4 

4

2

X

Z tego var( Y X ) =

a skoro tak to:

4

 P( Y = X )= 1

0



2



1

 P( Y = X X ) =



2

P( Y = x) = ∫ P( Y = x x) f ( x = ∫ 1

)

f ( x = 1

)

2

2

Zadanie 4

A

- nie przetną się

P( A P

x

P P

x

P

x

P

x P

x

2 =

)= ( 3 ∈( , Π

2 ), 4 ∈ ( , Π

2

l

) u

b 3 ∈ ( ,

0 ), 4 ∈ ( ,

0 )) =

2

2

2Π

x

2

2









2

2

2

2

1

1

 2Π − x 

 x 

(2Π) − 4Π x + x +









= ∫

+ ∫

=

x

x

x



 + 

 =

= 1−

+









2

2

2Π

2Π

 2Π 

 2Π 

(2

 x







Π)

Π 2Π

0

2

x

x

2Π 1 −

+

P( )

A = ∫

Π 2Π2 =1− + 2

1

= 2

2Π

3

3

0

2

1

ODP = 1 −

=

3

3

Zadanie 5

E( ˆ

W − W )2 = E( zX

1

(

z) X

X

pX

E ( z

)

1 X

1

(

z

p) X

1 +

−

0 −

1 +

)2

0

= ( −

1 +

− +

)2

0

=

= E[( z − 2 2

)

1 X

(

2 z

)

1 1

(

z

p) X X

1

(

z

p) X

1 +

−

− +

0

1 +

− + 2 20 ]=

= ( 2

z − 2 z + )

2

1 EX

4 z

2 z

2 zp

2

2 p E X X

1 2 z

z

2 p

2 pz

p EX

1 + (

− 2 +

− −

) ( 0 )+( − + 2

1

+

−

+ 2 ) 20 =



>0

6

4

4

4

4

7

4

4

4

4

8 





= z 2 EX 2 2

2

4

2

2

2

1 −

E

2

2

2

2



( X X

0

1 ) + EX 0  + z(−

EX 1 + E( X X

0

1 ) +

pE( X X

0

1 ) −

EX 0 − pEX 0 )+ c









2

2

b

2 EX + 2 EX 1

( + p) − 2 E X X (2 + p) 0

1

( 0 1)

z = −

=

*

2

2 a

2 EX − 4 E X X

+ 2 EX

1

( 0 1)

2

0

EX 2

1

0 =

EX 2

1

1 =

E( X X

cov

,

0

1 ) =

( X X

0

1 ) = p

2 + 2 1

( + p) − 2 p(2 + p) 2 + 2 + 2 p − 4 − 2 2

p

2( p + 2) − 2 p( p + 2) 2( p + 2) 1

( − p)

p

z =

=

=

=

= 1+

*

2 − 4 p + 2

4 1

( − p)

4 1

( − p)

4 1

( − p)

2

Zadanie 6

n

p

 1 

2

 

 2 

3

 1 

3

  ⋅ 2

 2 

..

..

ORR

OROO

ROROO

k

1

−



k

1 

 1 

k

  ⋅ 2 =  

ROO

RORR

ORORR

 2 

 2 

∞

k −1

2

X = ODP = ∑  1 

1

 1 

k 

= 2 ⋅ + 

3

 + ...

k =

 2 

2

 2 

2

2

3

1

 1 

 1 

X

= 2  + 3  + ...

2

 2 

 2 

2

 1 

 

2

3



1 

1

 1 

 1 

 2 

1

3

X 1 −  = 2 ⋅

+   +   + ... = 1+

= 1+ ⋅ 2 =



2 

2

 2 

 2 

1

4

2

1 − 2

3

X =

⋅ 2 = 3

2

Zadanie 7



2 



σ 

X ≅ N µ,





n 



2 

 σ 

X = Y + µ, Y ≅ N  , 0





n 

4

X

E

= E( 4

3

2

2

2

2

3

4

σ

µ σ

Y + 4 Y

µ

+ 4 µ Y + 2 Y µ + 4 µ Y + µ ) 4

2

2

3

6

4

=

+

+ µ

2

n

n

∑( X − X

i

)2

2

2

E

= n −1 → ES = σ

2

σ



2

2



2

2

4 

4



2

S 



4

2 S X

S 

µ

E

= E X −

=





E X −

+

2 



n 



n

n 

E( 2 2

S X )

 2



2

2

2  σ

2 

= ES X

E

= σ 

+ µ 

 n



2

S ( n − )

1

4

 S ( n − )

1 2 

≅ χ( n − )

1





→ E

= 2( n − )

1 + ( n − )

1 2

2

= n −1

2



4



σ



σ



4

4

σ

σ

n +

4

(

)

1

ES =

( n − )

1 ( n + )

1 =

( n − )

1 2

n −1

4

2

2

 4



 4



3 σ

6 µ σ

4

2  σ

2

2 

1  σ ( n + ) 1 

var =

+

+ µ −

+ σ µ +

− 4

µ =

2





2 



n

n

n  n



n 

n −1



3 4

σ

6 2 2

µ σ

2 4

σ

2 2 2

4

σ µ

σ ( n + )

1

4

σ

4 2 2

4

µ σ

σ ( n +

=

+

−

−

+

=

+

+

)

1 =

2

2

2

n

n

n

n

n ( n − )

1

2

2

n

n

n ( n − )

1

4

4

4

( n − )

1 σ + σ ( n + ) 1

4 2 2

2 nσ

4 2 2

2

4

4 2 2

=

+ µ σ =

+ µ σ =

σ +

µ σ

2

2

n ( n − )

1

n

n ( n − )

1

n

n( n − )

1

n

Zadanie 8

Innymi słowami: znaleźć n takie by test najmocniejszy istniał



n

∑( X 1

i − 0

)1

, 2



  1  −



2

 

 e



 2Π 



ln t + ,

1 005 n 





P

> t = P ∑ X

i >

 =

0 

n

∑( X 1

i − 0)

,

0 05

2

0





1

,

0



 1





−

2



 

 e



  2Π 





ln t + ,

1 005 n





−10 n 

∑ X −10 n





+

i

1

,

0

ln t

,

1 005 n

= P

>

= ,

0 05 →= ,

1 64 →

= ,

1 64 n + 10 n

0 

n

n



1

,

0









 ∑ X i −10 1, n

,

1 64 n + 10 n −10 1

,



n

moc: 



P

>

≥ 5

,

0

→ ,

1 64 + 10 n −10 1

,

n ≤ 0







n

n



1

,

0

n ≥ ,

1 64

n ≥ 1 ,

6 4

n ≥ 268 9

, 6 ≈ 271

Zadanie 9

S: c-kwantyl rzędu 0,01 z chi(5), z tego c=0,554

2

2

3

2

S

S

X

X

X

N : G

= 2

2

123

1

, G

, S

X

123

456 =

456

2

123 =

∑

1 +

2 +



 i −

3 

,

0 211

,

0 211

2 i= 

3



1

6

2

2

1

X

X

X

S

X

456 =

∑

4 +

5 +



 i −

6 

2 i= 

3



4

2 2

2

S

S

n

zl o

d 2

S

123

χ

123

456

≅ ( )

2 ≅

2

σ

5 2

S

5 2



σ

5 2 

EG

S = E

=

S

b

o 



E

= 5





5

,

0 54

5

,

0 54

2

 σ 

2

G

N =

2

σ

max( 2

2

S

S

X

X

X

χ

123

456 ) =

2

,

max(

,

1

2 )

 1 

n

z

l (2)

i

≅ wyk l 

,

0 211

,

0 211 2

 2 

σ 2

3

σ

3 2

3

5

,

0 54

EG

=

⋅ 2 =

=

E G

≈ 5

,

1 8 E G

N

( S )

( S )

,

0 211 2

,

0 211

,

0 211

5

Zadanie 10

2

var S = λEX

2

var S = λ X

E

2

2

EX

=

2

λ

1

EX =

λ

∞

2

∞



a 

− λ t+ 

∞

2

X

E 2 = ∫ 

a 

−

a

 x − 

λx

λe

dx = x −

= t = ∫ 2



λ 

−

t λe

dt =

a

e

∫ 2 − λt

−

t λe

= a

e



λ 

λ

2

a

λ

0

0

λ

−

e a

S = 2

var

λ

−

2

2 e a

2

var S =

→

= 3

,

0 6

→ − a = ln 3

,

0 6 → a = − ln 3

,

0 6 ≈ ,

1 0217

λ

λ

λ