Egzamin dla Aktuariuszy z 21 czerwca 1997 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

49 – miejsce na asy

4! – ustawienie asów

48! – ustawienie pozostałych 49 ⋅ !

4 ⋅4 !

8

!

4 ⋅49

!

4

=

=

5 !

2

49 ⋅ 50 ⋅ 51⋅ 52

52 ⋅ 51⋅ 50

Zadanie 2



θ 

P max ≤ θ ∧ max ≥

 = 9

,

0 375



c 

c>1

t ∈ ( ;

0 θ)

8

 t 

P(max ≤ t) =  

 θ 

 θ 

1

F ( θ) − F   = 1 −

= 9

,

0 375 → c ≈ ,

1 4142

8

 c 

c

Zadanie 3

50−

30

k

k

−30 20

−20

e

e

P(

P N

N

50 N

k

5

( 0

k)!

k!

N

k N

N

50

1 =

1 +

2 =

) ( 1 + 2 =

1 =

)

−

=

P( N

N

50

1 +

2 =

) =

=

50

50

−50

e

5 !

0

k

50

k

k

50

−

− k

3050

50

e

 2 

5 !

0

50 

 3   2 

50 

 2   3 

2 3

=

 

=

   

−





=

   





→ var = 50 ⋅

= 12

5

( 0 − k)! k! 3  5050

50

e

 k 

 5   3 

 k 

 5   5 

5 5

Zadanie 4

1

cov( X , Y ) x +

X Y

7 = m

x

m

Y +

( − X ) cov( , ) 1

→

=

2

2

2

σ

σ

2

X

X





var Y = 9 = E(var( Y X ) + var( E( Y X ) 1

1

= 8 + var X + 7 = 8

2

2

+ σ

σ

X →

X = 4

 2



4

1

z tego: cov( X , Y ) =

4 = 2

2

Zadanie 5



n

(

2

i

x − )

1



 

1



−





2

8

(∑ ix −2∑ ix+ n) 



 ∏ e

 −







 2Π 2 

 e

8



P 



0

= P

> t =

n

2

2

i

x



∑ ix









1



− 8



−



 

 ∏ e





e

8



  2Π 2 



≅ N (0;4 n)

 2∑ xi − n









x







∑

8

7

6

i

n



n 

8



= P e

> t = P

− > ln 

t =





P ∑ X

i

> 4ln t +  = , 0 01





4

8







2 











n 

n



4 ln t +



4 ln t +

∑ Xi

n

P

2 

2

>

= 01

,

0

→

=

4

33

,

2

ln t +

= 33

,

2

⋅ 2 n

 2 n

2 n



2 n

2









≅ N ( n;4 n)







8

7

6



moc P

µ=  ∑ X i > 3

,

2 3 ⋅ 2 n  > 9

,

0

1 









3

,

2 3 ⋅ 2



n − n

3

,

2 3 ⋅ 2 n −





P Y >

>

n

9

,

0

→

≤ − ,

1 28







2 n



2 n

n

3

,

2 3 + ,

1 28 ≤

2

n ≥ 7,22

n ≥ 52 1

, 2 → n = 53

Zadanie 6

1 ∞

1

1

1

∫ ∫

− y+

( x + y)

x

e

dydx = ∫ [

x

− y

x

−

− xe e −

y

e ye

− x y

e e

]∞

−

= x x

x

dx

x

x

x

∫ + +1 = ∫(2 + )1 = [ 2 + ]1 2

0 =

0 x

0

0

0

Zadanie 7

=

−

−

−

f (

2

2

2

f X

θ f θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ X = 0)

( 0 ) ( ) 1( 3)

1

(

3

)

1

(

3

)

=

=

=

=

P( X = 0)

1

1

1





2

3

3

∫ 1(− θ 3

)

4

θ

θ − θ





4



4



0

0

1

1

 4

5 1

ODP = ∫ θ ⋅

θ

θ

4 1

( −

2

θ 3

) θ = 12∫

 1

1 

3

4

5 −





θ − θ = 12

−

=

4

12

1 

2

−  = 12

=

=





,

0 6

4

5

4

5

20

20

0

0









0

Zadanie 8

8

− λ∑ xi

8

=

−

i 1

2

λ 9

x

L = λ e

λ x e

9

8

ln L = 8ln λ − λ∑ x λ

x

λx

i + 2 ln

+ ln 9 − 9

i=1

∂

8

9

= 8 − ∑ x

x

x

λ

i + 2 −

10

0

9 =

− ∑ i = ⋅

∂ λ λ

λ

λ

i=1

i=1

9

10 − λ∑ x

λ

i =

→ = 10

ˆ

0

9

i=1

∑ xi

i=1

Zadanie 9



2

1  50



2

( x

...

x

26 +

+ 50 ) 

 

ODP =

∑ x

i − 2 

5







24 



25



i=26



 x

x

1 + ... +

25 = 25 ⋅1 ,

0 4



x

+ + x =

−

⋅

=

 x

x

...

500

25 1 ,

0 4

240

1 + ... +

50 = 500

26

50



50

5002

⋅

2

(25 1 ,04)2

2

2

( x

x

1 + ... +

25 )2

 x

x

→ ∑ x

i

= 98 +

− 24 ⋅ 3

,

3 33 −

1 + ... +

25 −

= 24 ⋅ 3

,

3 33



25

50

25

i=26



= 231 ,

4 008

2

2

( x

x

1 + ... +

50 )2

 x

x

1 + ... +

50 −

= 98



50

2

1 

 240







ODP =

231 ,

4 008 − 25







= ,

0 417

24 

 25





 

Zadanie 10

Łańcuch Markowa:

2 1

2 1

2

2

2

P

)

1

,

1

(

=

+

=

p(

)

1

,

2

=

p

)

1

,

3

(

=

3 2

3 2

3

3

3

1 1

1

1

p ,

1

( 2) =

=

p( ,

2 2) =

p(3,2)=0

2 3

6

3

1 1

1

1

p

)

3

,

1

(

=

=

p(2,3)=0

p

)

3

,

3

(

=

2 3

6

3

szukamy rozkładu stacjonarnego i p 1

 2

1

1 





3

6

6





[

2

1

p , p , p 

0  = p , p , p 1

2

3 ]

[ 1 2 3]

 3

3



 2

1 

0





 3

3 

2

2

2

 p

p

p

p

1 +

2 +

3 =

1

3

3

3





1

p

p

2 =

1

1



1



4

p

p

p

1 +

2 =

2

→ 

6

3



1



 p

p

3 =

1

1



1

4

 p

p

p

1 +

3 =



3

6

3

p + p + p = 1

1

2

3

1

1

p +

p +

p = 1

1

1

1

4

4

3

2

p = 1 → p =

1

1

2

3