WYKŁAD 1 5-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska TEORIA POLA
FUNKCJE WEKTOROWE
Definicja: Funkcja wektorowa jednej zmiennej
Niech I ⊂ R będzie dowolnym przedziałem. Funkcję r: I R 3 R 2 nazywamy funkcją wektorową jednej zmiennej. Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci:
r t=[ x t , y t , z t] lub r t=[ x t , y t ] dla t∈ I x t , y t , z t to funkcje skalarna zmiennej t Definicja: Funkcja wektorowa wielu zmiennych
Niech D⊂ R 3 R 2 . Funkcję F : D R 3 R 2 nazywamy wektorową wielu zmiennych.
Funkcję taka będziemy zapisuje się w postaci:
F x , y , z=[ P x , y , z ,Q x , y , z ,R x , y , z] dla x , y , z∈ D
F x , y , z=[ P x , y , z ,Q x , y , z] dla x , y∈ D
P , Q , R to funkcje skalarne określane na obszarze D
POLE SKALARNE, POLE WEKTOROWE
Definicja: Pole skalarne
Polem skalarnym określanym na obszarze D⊂ R 3 R 2 nazywamy funkcję skalarną f : D R
Definicja: Powierzchnia ekwiskalarna
Powierzchnia f x , y , z= C , gdzie C jest stała rzeczywistą Definicja: Ciągłość pola skalarnego
Mówimy, że pole skalarne jest ciągłe(n-krotnie różniczkowalne), jeżeli funkcja skalarna f : D R jest funkcją ciągłą(n-krotnie różniczkowalną) Definicja: Pole wektorowe
Polem wektorowym, określonym w obszarze D⊂ R 3 R 2 nazywamy funkcję wektorową
F : D R 3 R 2
Definicja: Ciągłość pola wektorowego
Mówimy, że pole wektorowe jest ciągłe(n-krotnie różniczkowalne), jeżeli funkcja wektorowa jest
F : D R 3 R 2 funkcją ciągłą(n-krotnie różniczkowalną) GRADIENT POLA SKALARNEGO
Definicja: Gradient pola skalarnego
Załóżmy, że dane jest pole skalarne f x , y , z [ f x , y] określone w obszarze D⊂ R 3 R 2
Gradientem pola skalarnego f w punkcie A x y z ∈ D [ A x y ∈ D]
0
0,
0, 0
0
0,
0
nazywamy
wektor:
δf
δf
δf
grad f A =[ δf A ,
A ,
A ]
=[ δf A ,
A ]
0
lub grad f A
δx
0
δy
0
δz
0
0
δx
0
δy
0
1 WYKŁAD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Specyficzny wektor nazywany również „nablą” o postaci:
∇ =[ δ δ
δ
δf δf
,
,
] wówczas grad f =∇ f =[ δf ,
,
]
δx δy δz
δx δy δz
Własności gradientu:
•
gradient grad f A
0
jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwiskalarnej
f x , y , z= C przechodzącej przez punkt A 0
•
długość wektora gradientu ∣ grad f A ∣
0
jest wprost proporcjonalna do szybkości
wzrostu pola
•
zwrot wektora grad f A
0
jest od powierzchni ekwiskalarnej o mniejszej wartości pola do powierzchni ekwiskalarnej o większej wartości pola
DEWERGENCJA POLA WEKTOROWEGO
Definicja: Dywergencji pola wektorowego
Załóżmy, że dane jest pole wektorowe
F x , y , z [ F x , y] określone w obszarze D⊂ R 3 R 2 Dywergencja pola wektorowego F =[ P , Q , R] [ F =[ P ,Q]] w punkcie A x y z ∈ D [ A x y ∈ D]
0
0,
0,
0
0
0,
0
nazywamy liczbą
div
F A = δP A δQ A δR A
0
δx
0
δy
0
δz
0
div
F A = δP A δQ A
0
δx
0
δy
0
Dywergencję nazywamy inaczej rozbieżnością pola wektorowego.
Definicja: Pole bez źródłowe
Jeżeli div
F A=0 dla każdego punktu A∈ D to pole F nazywa się bez źródłowym.
Definicja: Operator Laplace'a
∇ 2 =
δ 2 δ 2
∆ ∆=[ δ 2 ,
,
]
δx 2 δy 2 δz 2
ROTACJA POLA WEKTOROWEGO
Definicja: Rotacja pola wektorowego
Załóżmy, że dane jest pole wektorowe
F x , y , z [ F x , y] określone w obszarze D⊂ R 3 R 2 Rotacja pola wektorowego F =[ P , Q , R] [ F =[ P ,Q]] w punkcie A x y z ∈ D [ A x y ∈ D]
0
0,
0,
0
0
0,
0
nazywamy wektor:
δP
δQ
rot
F A =[ δR A − δQ A ,
A − δR A ,
A − δP A ]
0
δy
0
δz
0
δz
0
δx
0
δx
0
δy
0
δQ
rot
F A =[0 , 0 ,
A − δP A ]
0
δx
0
δy
0
Rotację pola nazywamy inaczej wirowością pola wektorowego.
2 WYKŁAD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Jeżeli rot
F a=0 dla każdego A∈ D to pole F nazywamy bez wirowym.
POTENCJAŁ POLA WEKTOROWEGO
Definicja: Potencjalne pole wektorowe
Pole wektorowe
F określone w obszarze D⊂ R 3 R 2 nazywamy polem potencjalnym, jeżeli istnieje pole skalarne f określone w D takie, że:
F = grad f
Pole skalarne f nazywamy wówczas potencjałem pola
F
Definicja: Powierzchnie ekwipotencjalne
Powierzchnie równego potencjału f x , y , z= C dla f będącego potencjałem pola wektorowego
F .
Definicja: Warunek konieczny potencjalności pola
F
Pole
F jest potencjalne w obszarze D , jeżeli rot
F x , y , z=0 dla każdego x , y , z∈ D
Definicja: Warunek dostateczny potencjalności pola
F
Niech D=[ a a ]×[ b b ]×[ c c ]
1,
2
1, 2
1, 2
wówczas pole
F jest potencjalne w obszarze D wtedy i
tylko wtedy gdy rot
F x , y , z=0 dla każdego x , y , z∈ D
3 WYKŁAD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska