Matematyka A, egzamin, 21 czerwca 2007, 9:00 – 12:16

Rozwiazania r´

ożnych zada´

n maja znale´

z´

c sie na r´

ożnych kartkach, bo sprawdza´

c je beda r´

ożne osoby.

Każda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem piszacego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´

cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadzacej ´

cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urzadze´

n elektro-

nicznych; je´

sli kto´

s ma, musza by´

c schowane i wy laczone! Nie dotyczy rozruszników serca.

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia, które zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.

√

1. Predkość wody wyp lywajacej przez otwór w dnie naczynia jest równa 0 , 6 2 Gh , gdzie G = 10 m , s2

a h oznacza g lebokość wody. Naczynie ma kszta lt walca o średnicy podstawy 2 R = 1 , 8 m. Otwór w dnie ma średnice 2 r = 6 cm. Wysokość walca jest równa H = 2 , 45 m. Po jakim czasie ca la woda wycieknie z walca? Zak ladamy, że w chwili poczatkowej walec jest wype lniony w ca lości woda.

2. (a)

Znaleźć rozwiazanie ogólne równania różniczkowego (2 t + 1) x0( t) = 2 x( t) + 4 t .

(b) Znaleźć rozwiazanie spe lniajace warunek x( − 1) = 0 . Znaleźć lim x( t) .

t→− 1 / 2

3. Znaleźć objetość i środek masy jednorodnego obszaru G = {( x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 } , 4

9

czyli znaleźć środek masy odcinka [0 , 1] zak ladajac, że gestość masy w punkcie x , która oznaczamy przez %( x) , równa jest polu elipsy y 2 + z 2 ≤ 1 − x 2 .

4

9

4. Znaleźć rozwiazanie ogólne równania x00( t) + x0( t) − 6 x( t) = (15 t 2 + 6 t) e 2 t + (4 t 2 + 6 t − 2) e− 2 t + 10 cos t.

 x0( t) = x( t) − y( t) − z( t) ,



5. Znaleźć rozwiazanie ogólne uk ladu równań: y0( t) = x( t) + y( t) ,

 z0( t) = 3 x( t) + z( t) .

Znaleźć rozwiazanie uk ladu spe lniajace warunek x(0) = 2 , y(0) = 0 , z(0) = 0 .

6. Znaleźć punkty zerowania sie gradientu funkcji f i lokalne ekstrema tej funkcji oraz wyjaśnić, które z nich sa minimami, a które maksimami, jeśli f ( x, y) = 16 y 4 − x 4 − 16 x 2 y − 32 y 2 dla ( x, y) ∈ 2 .

Wskazówka. W otoczeniu tego z punktów krytycznych, którego charakteru nie da sie wyjaśnić za pomoca ogólnego twierdzenia, rozważyć f na jednej z osi oraz na paraboli 4 y + x 2 = 0 .

7. Niech C = {( x, y):

− 8 ≤ x ≤ 4 , |y| ≤ 4 } i f( x, y) = x 3 − 27 x + xy 2 .

Znaleźć lokalne ekstrema funkcji f .

Znaleźć najwieksza i najmniejsza wartość funkcji f w zbiorze C lub wykazać, że funkcja nie przyj-muje którejś wartości ekstremalnej w tym zbiorze.