Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

sup L θ

( ; x)

m , m

λ( x) = 1 2

> t

sup L θ

( ; x)

m , m

1

2

m 1≠ m 2

2

2

9

∑( Xi− m

∑ yi−

1 )

9

(

2

m )

 1  −



1



−

2

8

L( θ; x) = 

 e



 e

 2Π 

 2Π ⋅ 2 

∑( Xi − m )2

∑ yi − m

1

(

)2

2

ln L = 9

− ln 2Π −

− 9ln 2 2Π −

2

8

∂

2

= ∑

∂

X

= −

i − 9 m

= 0

1

∂

9

m

2

∂ m

2

∂

− 9

0

1 =

1

→ m

X 1

= 0

9 > 0 → max

∂

∑ y

2

∂

∂ m ∂ m

0

−

2 =

i

9

=

−

m

Y

9

m = 0

= −

1

2

4

2

∂ m

4

4

2

2

∂ m

4

2

2

2

9

∑( Xi− X )

9

∑( yi− Y )

 1  −



1



−

2

8



 e



 e

 2Π 

 2Π ⋅ 2 

λ( x) =

2

2



4 X + Y 



4

∑

X Y

 Xi −



∑

+ 

 yi −



9



5



9



5



 1  −



1



−

2

8



 e



 e

 2Π 

 2Π ⋅ 2 



2

2







4 X + Y 



4 X + Y 

2

2

∑ Xi −



∑ yi −

 ∑( Xi − X )

∑( yi − Y )











5





5



P 

0

−

−

+

+

> ln t  =



2

8

2

8













=

9

2

9

2

36

2

9

36

9

2

9

P

X

0

+ Y −

X

− XY −

XY −

Y

+

(16 X 2 +8 XY + Y 2) 



> ln t  =

 2

8

5

5

20

20

40



 9 36 18 



2

9

9

9 



2

9

36

9 



= P

0 

−

+

 X +  −

+

 Y −  +

−  XY > ln t =

 2

5

5 

 8

20

40 

 5

20

5 



 9

2

9

9





=

2

2

10

5

P 

X

Y

XY

t

P X

Y

t

X

Y

N

0

+

−

> ln  = ( − )







>

ln 

− ≅  ;

0



10

10

5





9



 9 

2





 ( X − Y 3

) 



P 

 > 2ln t → 2 ln t = 8

,

3 41

0 

5









 X + + X

Y +

+ Y 





II : var( X − Y )

...

...

1

4

2

1

3

= var X + var Y − 2cov 1

9



; 1

9  = + −

9 ⋅ ⋅1⋅ 2 =



9

9



9

9

81 

2



9

 ( X − Y ) 2



3 

10 9





10

8

,

3 41

P 

 >

ln t = P χ ) 1

(

>

 ≈ 0

,

0 1





3



9 3





3

2









1 



4 

 1 

moc: X ≅ N ;

m

, Y ≅ N m − ; 2

, X − Y ≅ N ; 2





9 



9 

 3 



2

10

10

10

P ( X − Y )











>

ln t  = P X − Y > ln t l

u

b X − Y < −

ln t =







9





9

9















= P ( X − Y − 2)

 10



3 >

10



ln t − 2 3 l u

b ( X − Y − 2)









3 < −

ln t − 2

3 =













9





9





 ≅ }

N (0 )

1

,







= P

X

> − 9

,

0

3 l

u

b X < − 9

,

5 9 ≈ 8

,

0 2









Zadanie 2

 ∂

( y β β x

i −

0 −

1 i )



= −2∑

= 0

∂ β

var ε



0

i

 ∂ = −

x

2∑

i

( y β β x

i −

0 −

1 i ) =



0

∂ β

var ε

1

i



y

1

x

i

i

∑

− β

β

0 ∑

− 1∑

= 0



var ε

var ε

var ε

i

i

i





2

∑ x Y

x

x

i i

−

i

i

β

β

0 ∑

− 1∑

=



0



var ε

var ε

var ε

i

i

i

∑ x 

y

x

i

∑ i − β 1∑



i





∑ x y

var ε

var ε

var ε

i

i

i 

i

i 

−

∑ y

x

i

−

var ε

1

β

i

∑

1 ∑

i

var

var

var ε

β

β

1 =

i

0 =

ε

ε

i

i

∑ 1

2

∑ xi

var εi

var εi

∑ 1 ∑ x y

x

y

i

i

− ∑ i ∑

i

var ε

var ε

var ε

var ε

i

i

i

i

β

1 =

2

2

∑ 1 ∑ x



x

i

− ∑



i





var ε

var ε

ε

i

i



var i 

2

σ

się skraca, można założyć, że var ε =1 lub 9

i

5

5

∑ 1 = ∑ 1 + ∑ 1 = 5 + 5 = 50

2

2

2

2

2

var εi

i=1 σ

i=1 9 σ

σ

9 σ

9 σ

5

5

∑ xi = ∑ 1 + ∑ 4

1 

20 

=

65

5 +

 =

2

2

2

2

var εi

i= σ

i

9 σ

σ

9

1

=





1

9 σ

2

5

5

∑ xi = ∑ 1 + ∑ 16

1 

80 

=

125

5 +

 =

2

2

2

2

var εi

i= σ

i

9 σ

σ

9

1

=





1

9 σ

50 125

652

2025

MIAN =

−

=

= 25

9

9

81

81

50

65

LICZ = ∑

x



i



−

 y

i

 9 var ε

9 var ε

i

i 

5

5

E( LICZ ) = ∑ 50

65 

200

65

75



−

( β

β

β

4 β

β

25 β

0 +

1 ) + ∑ 





−

( 0 +

1 ) =

1 =

1

i=  9

9 

81

81

3

1

i= 



1

5

2

5

2

var( LICZ ) = ∑ 15 

15

1125

1125

1250

 −



2

σ + ∑











2

9 σ = 2

σ

+

=

2





σ

i= 

9 

9

81

9

9

1

i= 







1

ˆ

Eβ = β

1

1

1250 2

σ

2

ˆ

9

2

var β =

= σ

1

625

9



2



ˆ

β

N β ; σ

1 ≅



2 

 1 9



5

∑(

1

65

5

65

50

β + β + ∑

β + 4 β −

β

0

1 )

5

( 0

1 )

1

(5 β + β + β + 4 β − β

β

0

1 )

( 0

1 )

1

0

9

9

1

=

1

ˆ

=

9

9

9

β

E

i

i

=

=

=

= β

0

0

50

50

50

9

9

9



2

y

x

x

y

var ( LICZ )

β

= var

i

i

β

i

i

β

0

 ∑

 

+



∑





var

2

cov

;

1

∑



−



∑





1 





var εi  

var εi 

var εi



var εi





y



1



15

15

15

15



cov ∑

i

; β

cov y

...

y

y

...

y ;

y

...

y

y

...

y

1

=

 1 + + 5 + 6 + + 10 −

1 −

−

5 +

6 +

+



10

=







var εi



2

25 σ



9

9

9

9



1

 15



⋅

2

15

2

8 75

8

8

=

−

⋅ 5 σ +

⋅5 ⋅9 σ

=

= ⋅3 =





25 2

σ 

9

9



9 ⋅ 25

9

3



5

5

y

1

5

50

var

i

 ∑

 =



∑1+ ∑ ⋅9 = 5 + =



var εi 

i=

81

9

9

1

i=1

2

 50  65 2

65 50 

50

8450

6500

800

var ( LICZ )



β

=

+ 



− 2



⋅

=

+

−

=

0

 9  9  9

9 9 

9

81

81

27





800

800 81

24

ˆ

27

var β =

=

=

0

2





27 2500

25

50





 9 



24



ˆ

β

N β ;

σ

0 ≅



2 

 0 25



P(

ˆ

β

β 5

5 z

5

ˆ

z

β

β

z σ

P

9

,

1 6

z

0 −

0 <

0

) 



 0 − 0



=

0

0



<

 →

=

→ 0 =



24 σ

24 

24





P(

3 z

3

ˆ

z

β

β

z σ

P X

9

,

1 6

z

1 −

1 <

1

) 



=  < 1  →

= 1 → 1 =



2 

2

Z tego wychodzi najbliżej odpowiedź C

Zadanie 3

2

f ( x = ∫ 3

)

dy = 3 → X , Y n zl X ≅ 3

, Y ≅ J ,

1

( 2)

4

4

4

x

x

x

1

 t − t

1 ∈ ;

1

( 2)

P( S < t X ) = P( XY < t X ) 

=  x

x



t



1

≥ 2



x

1

f ( S X ) = x < s < 2 x x

1 3

108

g(

4

x S =

f S

x f x

x

x

3)

( = 3 ) ( )



∈

=

= x =

]

3

;

5

,

1

[



5

x

f ( S =

5

)

3

3 3



∫

0 wpp

5

3 x

2

Zadanie 4



S 

 X >

 = A - rozłączne

i

i



2 

Z tego:



X + ... + X



ODP = 10

1

10

P X >

 = 10 P X > X + + X

= P X > Y gdzie 1

(

...

1

2

10 )

10 (

)



2



X ≅ wykl( λ), Y ≅ Γ ; 9

(

λ)

∞ ∞

9

∞ 10

ODP =

λ

λ

10∫ ∫ − λx

8 − λy

λe

y e

dxdy = 10∫

8 − λy 1

− λy

y e

e

dy =

!

8

!

8

λ

0 y

0

9 ∞

λ

α = 9

8 −2 λy

10 9

λ

!

8

10

10

5

= 10

∫ y e

=

=

=

=

=

!

8

β = 2 λ

!

8

(2 λ)9

29

512

256

0

Zadanie 5

4

L =

θ

X

(4 θ) n (Π X

e

i )3

− ∑ i

ln L = n ln(4 θ) + ∑

3

X

θ

X

i −

∑ 4

ln

i

∂ = n −∑ 4

n

X

θ

i

= 0 → =

∂ θ θ

∑ 4

X i

n

−

X 4

g θ

( ) =

∑

e

i

= T

n

4

3 −2

f ( x) = 8

x

x e

2

1

1

4

4

4

P(

t

t

X 4 < t)





x =





= P X < t

=

3

4

−

w

2 x

−2 w





∫8 x e

=

= ∫ 2 e

≅ wykl(2)





4 x 3 dx

0

= dw 0

n

∑ X −

i

2 →

Φ X ≅ wykl(2) 1

i

n

2

Sprawdzamy (B)



2

2

2

2





1  2



1 

2



−

−

P Tn − e

>

l

u

b Tn − e

< −

 = P Tn >

T

2

2

2 



+ 

1 l

u

b n < 2 −

+ 

1

=







ne

e

n 



e  n



e 

n





n

 2



n



2 





= P −

> −2 + ln

+ 

1 l

ub −

< −2 + 1−

 =





 ∑ X i

 n



∑ Xi



n 



n



2 

n



2 





= P

< 2 − ln1+

 l u

b

> 2 − ln1−

 =





 ∑ X i



n 

∑ Xi



n 











n

n



= P∑ X

l

ub

i >

∑ Xi <

 =





2 



2  



2 − ln1+



2 − ln1−

 





n 



n  



















n





n







 ∑ X −

∑ X −



i

i

CTG



n

n  2



n

n 

=

2

P

2 >

2



− 

l

u

b

<

−







→



1



2 

2

n

1



2 

2

n 

n





2 − ln 1 +

n















 2 − ln1 −







2





n 



2





n 





1

4

4

4

4

2

4

4

4

4

3

1

4

4

4

4

2

4

4

4

4

3 



A

B



n

n

CTG

→ 1− Φ(lim A + Φ lim B

n )

(

n )

2



→

n

4

6

4

7 e 8 n



n 



2  2 

ln 1

 +







n 



2 



2 





2 n − 2 n + n ln 1 +

n ln 1





+









2 n



n 



n 





An =

− n =

=

=

→ 1



2 



2 



2 



2 

2 − ln 1 +

2





− ln 1+

2





− ln 1+

2





− ln 1

 +





n 



n 



n 



n 

4

1

4

2 3

→0

B

analogicznie

n → −1

ODP = 1 − Φ )

1

( + Φ(− )

1 = 1 − Φ )

1

( + 1 − Φ )

1

(

= 2 − 2Φ )

1

(

≈ 3

,

0 2

Zadanie 6

Teoria – odpowiedź (E) jest prawidłowa Zadanie 7

Można wypisać wszystkie możliwości

+ oznacza, że istnieje prawdopodobieństwo LICZ i MIAN to odpowiednio prawdopodobieństwo licznika i mianownika w prawdopodobieństwie warunkowym

X

X

X

X

LICZ

MIAN

0

1

2

3

1

2

2

1

1

2

3

1

+

1

3

2

1

1

3

3

1

2

2

2

1

2

2

3

1

2

3

2

1

+

+

2

3

3

1

3

2

2

1

3

2

3

1

+

3

3

2

1

3

3

3

1

4 3

1

1

P( LICZ ) =

⋅1⋅ =

9 4

4

12

2 1 3

4 3

1

3

1

1

1

1 + 4 + 3

8

P( MIAN ) =

+

⋅1+ ⋅1⋅ =

+ + =

=

9 2 4

9 4

3

4

12

3

4

12

12

1 12

1

ODP =

=

12 8

8

Zadanie 8

X

- ilość orłów w rzutach 5,6,7,8

(5,8)

E(

X

X + X

+ X

X

= E X X

= X → E X X

=

4

(5,8)

(9 1

, 2)

12 )

3 ( 4 12 )

12

( 4 ) 12

12

3

var E( X X

=

X

= ⋅ ⋅

=

4

12 )

1

1

1 1

1

var

12

12

9

9

2 2

3

1 1

var X = 4 ⋅

= 1

4

2 2

var X = E var X X

+

E X X

→ E

X X

= − =

4

( 4 12) var ( 4 12)

var( 4 12 )

1

2

1

3

3

Zadanie 9

Szukamy E( θ min = ) 1

 t

0

< θ

n

P(min < t θ) = 1− P(min > t θ) 

=   2 

θ







1 −

t

>

 2 

θ



 t 

t

θ 2

2

θ 2

bo: ∫

= 1−

= F ( x ) θ

t

θ

<

x 3

t 2

0

2 n

f (min )

θ

θ =

−

t 1 2 n t

> θ

2 n −1

dla θ < 1

2

θ n 1

n

f (

θ

2

1

n −

+

θ

n+

θ min = )

2

1 2

1 =

=

2(2 n − )

1 (2 n + 2) = (2 n + 2) 2 1

θ

θ ∈ (

b

)

1

,

0

o :

1

2

θ n 1

2(2 n − )

1

∫

θ

2 n −1 2

0

1



1

2 n+2 

θ

1

MIAN = 

 =

2(2 n − )

1 2 n + 2

2(2





n − )

1 (2 n + 2)

0

1

n

E(

1

2 +3

n

θ

n

n

θ min = )





1 = ∫

2 +2

(2 + 2)

2 +

(2 n + 2) θ

=

2



 =

2 n

3

2 n

3

0



+



+

0

Zadanie 10

 1 −0,5 x 1

+



 e



−0,5 x 1

+

x

P  4

>

+

t  = P

> 2 = − 5

,

0

+1 + > ln 2

H 0

( e

t ) P(

x

x

t )

 1 − x





e





2



1. x < −

1 −

(

5

,

0

− x − )

1 − x > ln(2 t) → x < 1 − 2 ln(2 t) 2

1

2. x ∈ (− 0

;

1

) x < − ln(2 t) −

3

3

3. x >

0 x > 1 + 2 ln(2 t) nie wiadomo jakie t ale jeżeli K:x>3....

e

na pewno x > 1 + 2 ln(2) = 3 → t =

2

1. x < 1 − 2 ln e = −

1 x < −1 też wchodzi do K

2

1

2. x ∈ (− 0

;

1

) x < − ln e − x < −1 odpada 3

3

Z tego a=-1

∞

−1

α =

1

x

1 x

1

1

P ( X

)

3

P ( X

)

1

e

e

e

e

,

0 209

0

> + 0

< − = ∫ − + ∫

−3

−

=

+

1 ≈

2

2

2

2

3

−∞