Dynamika przetwornika pomiarowego

1. Wstęp

Właściwości dynamiczne urządzeń pomiarowych są niezwykle istotne przy wykonywaniu pomiarów wielkości zmiennych w czasie. Metody opisu właściwości dynamicznych opisuje automatyka - przedmiot będący w programie studiów.

Transmitancja operatorowa.

Jeżeli na wyjście układu (rys. 1) podany zostanie sygnał X(t) odpowiedzią przetwornika na ten sygnał będzie sygnał Y(t), to własności przejściowe tego układu można opisać w dziedzinie liczb zespolonych posługując się tzw. transmitancja operatorową. Ujmuje ona zależność miedzy sygnałem wejściowym w postaci liczby zespolonej a odpowiadającym mu sygnałem wyjściowym, również w postaci liczby zespolonej.

x

y

Rys. 1. Schemat blokowy przetwornika pomiarowego

Y ( s)

K ( s) =

X ( s)

gdzie:

Y(s) – transformata operatorowa sygnału wyjściowego, X(s) – transformata operatorowa sygnału wejściowego.

Transformaty wylicza się korzystając z przekształcenia Laplacea:

∞

F( s ) = ∫ f ( t )⋅ exp( − s ⋅ t )⋅ dt 0

Funkcja przejścia

Metoda opisu własności dynamicznych układu w ujęciu czasowym polega na wyznaczeniu postaci sygnału na wyjściu Y(t) przy znanej postaci sygnału na wejściu X(t). Najbardziej powszechne są metody generowania sygnałów skokowych i impulsowych.

Sygnał X(t) o właściwościach:

X (t) = 0 dla t < 0

X (t) = 1 dla t ≥ 0;

nazwano sygnałem skoku jednostkowego 1(t), a odpowiadający mu sygnał Y(t) funkcją przejścia skoku ys(t ). Można ja wyznaczyć analitycznie: y ( t)

1

= L− [ X ( s)⋅ K( s)

s

Przykładową funkcję przejścia skoku przedstawia rys. 2.

1

ys

k

t

Rys. 2. Przykładowa funkcja przejścia przetwornika pomiarowego Widmowa postać transmitancji

Jeżeli w zależności K(s) podstawić s = jω, to otrzymaną liczbę zespoloną nazywa się transmitancją widmową K(jω). Transmitancję widmową można przedstawić w różnych formach graficznych. W praktyce najbardziej powszechne są:

• Charakterystyka amplitudowo-fazowa. Przykład przedstawia rys. 3.

Im

ω=

A(ω)

Re

ω=0

φ(ω)

B(ω)

ω= ω1

|G(jω)|

Rys. 3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa

• Logarytmiczno częstotliwościowe charakterystyki modułu i fazy, przedstawione przykładów na rys. 4.

2

L (ω)

dB

60

40

20

lg

ωξ=1/Τ

ω

0

1

2

3

4

5

6

-10

-20

ω

lg

1 ξ=1/Τ 2

3

4

5

6

ω

0

π

4

π

2

ϕ (ω)

Rys. 4. Charakterystyki amplitudowo-fazowe

2. Właściwości przetworników

Układy rzeczywiste różnych struktur posiadają te same właściwości dynamiczne, co jest podstawą i kryterium ich podziału. W praktyce pomiarowej najczęściej mamy do czynienia z elementami: proporcjonalnymi – zerowego rzędu,

inercyjnymi I-go rzędu,

inercyjnymi II-go rzedu,

oscylacyjnymi z inercją II-go rzędu.

Elementy proporcjonalne – zerowego rzędu:

Przetworniku 0-rzędu

Przetworniki te nazywane są także bezinercyjnymi lub proporcjonalnymi. Równanie przetwornika:

y( t) = k ⋅ x( t)

Transmitancja operatorowi (stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych): Y ( s)

K ( s) =

= k

X ( s)

gdzie:

k - współczynnik wzmocnienia statycznego.

Wtedy odpowiedź układu na skok jednostkowy wyraża zależność: y ( t) = k ⋅ x ( t) , s

st

3

Zaś zależność opisująca transmitancje operatorową ma postać: K ( j ⋅ω) = k

Są to przetworniki idealne. W praktyce przy przyjęciu założeń upraszczających, niektóre z przetworników rzeczywistych mogą być tak opisywane. W ograniczonym zakresie za przetworniki bezinercyjne możemy uważać dzielniki rezystancyjne, dźwignie, tensometry.

Przetworniki I-go rzędu

Przetwornik taki zawiera jeden element magazynujący energię. Równanie przetwornika:

T ⋅ y' + y = k ⋅ x

Transmitancja:

k

K ( s) =

1+ T ⋅ s

Gdzie: k – współczynnik wzmocnienia statycznego,

T – stała czasowa.

Przetworniki I-go rzędu rozważymy na przykładzie przetwornika termometrycznego o pojemności cieplnej m•c, pomijalnie małej w porównaniu z pojemnością mierzonego ośrodka (prosty termoelement o cienkich przewodach, bez osłony). Zakładamy także pomijalnie małe nagrzewanie prądem pomiarowym. Ciepło dQ dopływające do przetwornika w czasie dt

równe jest ciepłu przejmowanemu dzięki konwekcji. Równanie energii: dQ = α ⋅ A ⋅ ϑ

(

− ϑ ) ⋅ dt = m ⋅ c ⋅ dϑ

o

t

t

gdzie:

α – współczynnik przejmowania ciepła (stały);

A – całkowite pole wymiany ciepła.

Porządkując otrzymamy:

m ⋅ c dϑ t

⋅

+ ϑ = ϑ

t

o

α ⋅ A dt

dϑ t

T ⋅

+ ϑ = ϑ

t

o

dt

gdzie:



J



 kg ⋅



kg ⋅

T

[ ] ≡ 

K 

 2

W



 m ⋅

2





m ⋅ K 

jest stałą czasową termometru.

4

Własności dynamiczne przetwornika I-go rzędu.

Własności dynamiczne w ujęciu czasowym – odpowiedź na skok jednostkowy.

Zakładamy wymuszenie skokowe (gwałtowny wzrost temperatury np. w skutek szybkiego zanurzenia w ośrodku o wysokiej temperaturze) o postaci:

x( t) = Θ ⋅ t

(

1 ),

1

X ( s) = Θ ⋅ s

k

1

k ⋅ Θ

Y ( s) = K ( s) ⋅ X ( s) =

⋅Θ⋅ =

1+ T ⋅ s

s

s ⋅ 1

( + T ⋅ s)

Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a uzyskamy:

t

−

y ( t) = k ⋅ Θ ⋅ 1

(

T

− e )

s

Znormalizowaną (tj. odniesiona do amplitudy wymuszenia) odpowiedź przetwornika I-go rzędu pokazano na rys. 5 w funkcji czasu zredukowanego (t/T).

1

0,8

awoko 0,6

k sźdiew 0,4opdo

0,2

0

0

1

2

3

4

5

6

czas zredukowany, t/T

Rys. 5 Charakterystyka skokowa przetwornika I-go rzędu.

Własności dynamiczne w ujęciu częstotliwościowym - odpowiedź na wymuszenie harmoniczne

Odpowiedź na wymuszenie harmoniczne określimy w oparciu o transmitancję widmową (powstałą z transmitancji operatorowej dla s=j·ω):

k

k

− j ϕ

⋅ (ω )

− j ϕ

⋅ (ω )

G( j ⋅ ω) =

=

⋅ e

= G( j ⋅ω) ⋅ e

2

1 + j ⋅ ω ⋅ T

1 + (ω ⋅ T )

gdzie:

moduł transmitancji widmowej określający stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia:

5

k

G( j ⋅ ω ) = G(ω) =

;

2

1 + (ω ⋅ T )

argument transmitancji określający przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem wymuszającym a odpowiedzią:

ϕ(ω) = ar [

g G( j ⋅ ω)] = − arctg(ω ⋅ T ) 1

je 0,8

womid

0,6

ji wcn

itamsn 0,4

l traudom 0,2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

pulsacja zredukowana, ω*T

Rys. 6. Zredukowana charakterystyka amplitudowa przetwornika I-go rzędu.

Charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) pokazano na rys. 6 i 7

0

-15

ew -30

oz

faiec -45

ięnuserz -60

p

-75

-90

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

pulsacja zredukowana, ω*T

Rys. 7 Charakterystyka fazowa przetwornika I-go rzędu.

Przykładami przetwornika I-rzędu są czwórniki elektryczne typu RC. W rzeczywistości tymi właściwościami charakteryzuje się większość przetworników.

6

Przetwornik II-go rzędu.

c

b

m

Rys. 8 Szkic przetwornika II-go rzędu.

Przetworniki takie (rys. 8) zawierają:

• element magazynujący energię kinetyczną;

• element magazynujący energię potencjalną;

• element powodujący dyssypację (rozproszenie) energii.

Równanie różniczkowe przetwornika jest następujące:

m ⋅ y ′ + b ⋅ y′ + c ⋅ y = k ⋅ x Transmitancja operatorowa ma postać:

k

k

G( s) =

=

(

2

m ⋅ s + b ⋅ s + c)

m ⋅ ( s − s ) ⋅ ( s − s ) 1

2

Gdzie: s1,2 – pierwiastki równania charakterystycznego;

2

− b ± b − 4⋅ m⋅ c

2

2

2

s

=

= −δ ± δ −ω = −δ ±ω

o ⋅

D −1

,

1 2

2 ⋅ m

b

δ = 2⋅ m

c

ω =

o

m

δ

D = ω o

W zależności od bezwymiarowego wskaźnika (stopnia) tłumienia wyróżnić można trzy przypadki rozwiązania nas najbardziej interesuje rozwiązanie oscylacyjne (0<D<1).

Wówczas:

s

1

,

1

= δ

− ±ω ⋅

− D 2

2

= δ

− ± j ⋅ω

o

h

Ostatecznie transmitancja operatorowa ma postać:

7

ω ⋅ k

0

(

G s ) =

2

2

s + 2 ⋅ D ⋅ ω ⋅ s + ω

0

0

Własności dynamiczne w ujęciu czasowym – odpowiedź na skok jednostkowy.

Zakładamy wymuszenie skokowe (gwałtowny wzrost temperatury np. w skutek szybkiego zanurzenia w ośrodku o wysokiej temperaturze) o postaci:

x( t) = Θ ⋅ t

(

1 ),

1

X ( s) = Θ ⋅ s

k ⋅ Θ ⋅ ω

Y ( s) = G( s) ⋅ X ( s) o

=

s ⋅ ( s − s ) ⋅ ( s − s ) 1

2

Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a uzyskamy:





 



−δ⋅ t

D



y ( t )

1

s

= k ⋅ Θ ⋅  − e ⋅  cos(ω h ⋅ t ) +

⋅ sin( ω h ⋅ t 

)

2







1 − D

 

lub:



− D⋅ω o⋅ t





e



y ( t)

s

= k ⋅ Θ ⋅ 1−

⋅ sin(ω h ⋅ t + γ )



1 −

2

D



γ = arcsin 1

(

2

− D )

Znormalizowaną (tj. odniesiona do amplitudy wymuszenia) odpowiedź przetwornika II-go rzędu pokazano na rys. 9 w funkcji czasu zredukowanego (t/T).

2

D=0,0

1,5

a

D=0,2

woko

D=0,4

k s

D=0,6

ź

1

d

D=0,8

iewop

D=1,0

do

0,5

0

0

2

4

6

8

10

ω0t

Rys. 9. Charakterystyka skokowa przetwornika II-go rzędu.

8

Własności dynamiczne w ujęciu częstotliwościowym – odpowiedź na wymuszenie harmoniczne.

Odpowiedź na wymuszenie harmoniczne określimy w oparciu o transmitancję widmową (powstałą z transmitancji operatorowej dla s=j•ω

2

K ⋅ω

K

G( j ⋅ω) =

o

=

2

2

2

j ⋅ω + j ⋅ω ⋅ 2 ⋅ D ⋅ω

ω

o +

o

ω  ω 

1 + j ⋅ 2 ⋅ D ⋅

−  2 

ω

ω

o

 o 

Moduł transmitancji widmowej określający stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia:

K

G( j ⋅ ω = G(ω) =

2

2

2









ω



ω 

1







−

 + 2





 ⋅ D ⋅





 ω

ω

o 





o 





Argument transmitancji określający przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem wymuszającym a odpowiedzią:







ω 

2 ⋅ D ⋅ ω

ϕ(ω) = arg[ G( j ⋅ω)]





= − arctg

o







2 

ω

1 − 

 



 ω o  

Charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) pokazano na rys. 10 i 11. Do grupy przetworników II-go rzędu należy większość przetworników elektrycznych (typu RLC) i mechanicznych (ustrój pętlicowy, pisak rejestratora). Także przetworniki piezoelektryczne należą do tej grupy.

3

2,5

D=0,0

an

2

dlę

D=0,2

gz

w 1,5

ad

litup

D=0,40

m

1

a

D=0,8

D=0,6

0,5

D=1,0

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

częstość względna

Rys. 10. Charakterystyka amplitudowa przetwornika II-go rzędu.

9

0

D=0

-20

D=0,2

-40

D=1

-60

-80

ϕ(ω)

-100

-120

-140

D=0,6

D=0,8

-160

-180 0

0,6

1

1,6

2

2,6

Częstość względna

Rys. 11. Charakterystyka fazowa przetwornika II-go rzędu.

10