METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW

Rozwiązywanie równań i układów równań

Ścisłe (symboliczne) rozwiązywanie równań i układów równań

solve ( równania, niewiadome)

równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.

Przybliżone (numeryczne) rozwiązywanie równań i układów równań

fsolve ( równania, niewiadome)

równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.

Niewiadome można podać określając przedział, w którym poszukiwane jest rozwiązanie np.: x = .

1 . ,

2 y = − .

3 0

. .

Zadania

1. Rozwiązać w sposób ścisły równania:

 π 

sin 



1

a) 3

 4

x −



x

= 0 Odp.

, 0

(− 2−2) 2

9 (3

)

125 

ln



 4 

b) 5 x 1

−

− 5 ⋅ 2 x − 5 ⋅ 2 x−2 = 0 Odp. −

 2 

ln 

 5 

c) 5

x − 2 4

x − 16 3

x + 2 2

x + 15 x = 0 Odp. 0, -1, 1, -3, 5

2. Rozwiązać w sposób ścisły układy równań. Otrzymane rozwiązania przypisać do indywidualnych zmiennych np. x 1, y 1, x 2, y 2.



3 

 ( 2

x )

x

− y = 0



1

24 

a) 

Odp. { x = ,

1 y = }

1 ,  x =

, y =

 – pierwiastek podwójny

 4 x−1

x

− 4

y = 0



2

2 





2 x − 3 y + 4 z = 6





176

− 94

− 115

b) − 4 x + 2 y − 7 z = −3 Odp.  x =

, y =

, z =







29

29

29 

− x + 3 y − 6 z = 8

Wskazówka: Do wyłuskania odpowiednich wartości rozwiązań wykorzystaj komendę eval.

3. Znaleźć przybliżone rozwiązania następujących równań

 x 

a) sin  − 2 x = 0 w przedziale x ∈ (−1 , 5 0) Odp. -12.566041, -6.308421

 2 

b) arctg( 3 2

− x + )

1 = 0 Odp. -0.577350, 0.577350



x

x 

c) ecos( ) sin( x) − cos  = 0 w przedziale x ∈ , 1

(

)

5 Odp. 2.181076, 3.141593, 4.102109

 2 

Wskazówka:

a) Wykreśl odpowiednią krzywą.

b) Określ przedział w którym znajduje się wybrane rozwiązanie i użyj tego przedziału w wywołaniu komendy fsolve.

c) Czynność z podpunktu b) powtórz dla każdego pierwiastka.

4. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania następujących układów równań:

cos( x + y) = xy



a)  2

x

Odp. { x = -5.97939, y = -0.16565}, { x = -0.14160, y = 1.99944},



+ 2

y = 4

 9

{ x = 0.14160, y = -1.99944}, { x = 5.97939, y = 0.16565}



y 2

2

( x − )

2

+

= 2

9

b) 

Odp. { x = 0.60559, y = 0.70760}, { x = 3.41343, y = -0.14134}



cos( x)

 y + sin( y) =



x

Wskazówka: Postępuj podobnie jak w punkcie 3. Do narysowania krzywych wykorzystaj komendę implicitplot z pakietu plots, służącą do wykreślania funkcji niejawnych.

5. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania, w tym zespolone, następującego równania wielomianowego: 3 4

x − 16 3

x − 3 2

x + 13 x + 16 = 0

Wskazówka: W wywołaniu komendy fsolve wykorzystaj opcję complex.

Odp. –0.662359-0.562280 i, –0.662359+0.562280 i, 1.324718, 5.333333