Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
E (
[ X X X X X
E X
X X
X
X
X
X
3 +
)2
4
1 +
2 +
3 = 9] =
[ 23 + 2 3 4 + 24 1 + 2 + 3 = 9]=
= E( 2
X
X + X + X = 9 + 2 EX E X X + X + X = 9 + E X
3
1
2
3
)
4
( 3 1 2 3 ) ( 24)
E( X + X X + X + X = 9 = E X X + X + X = 9 + EX
3
4
1
2
3
) ( 3 1 2 3 )
4
dla i ∈ ( ,
0 ... 9
, )
P(
P X
i X
X
i
X
i X
X
X
Bernoulli
3 =
1 +
2 +
3 = 9)
( 3 = , 1 + 2 = 9 − )
1
=
P(
;
9
X
X
X
1 +
2 +
3 = 9)
≅
3
2
2
1 2
1
1
czyli: E (
[ X + X X + X + X = = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + =
3
4 )
9
1
2
3
] 9
9
2 10 9
10 102
181
3 3
3
3
E( X + X X + X + X = 9 = +
=
3
4
1
2
3
) 3 10 13
ODP = 181 − 1
( )
3 2 = 12
Zadanie 2
0<X+Y<2
X-Y<0
Sprawdzamy (B)
1 x
1
1
P = ∫ ∫
−0,5 y −0,5
x
,
0 25
x
e
e
dydx = ∫
−0,5
,
0 25
x
e
[− −0,5
2
y
e
]
,
0 25
x
e
2
2
x
e
0 = ∫
−0,5 ( − −0,5 )=
0 0
0
0
=
[ 0−,5
5
,
0
− 2 e x ]1 − 5,
0
= 5
,
0
2 − 2 −
e
− 5
,
0
= 5
,
0
−
− e czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa 0
(
1 )
1
Zadanie 3
P( X = ,
1 X ≠ ,
1 X ≠
1
2
3
)1
P =
P( X ≠ ,
1 X ≠
2
3
)1
LICZ = P( X
X
X
P X
2 ≠
,
1
3 ≠ 1
1 =
)1 ( 1 = )1=
1 3
= ⋅ [ P(
X = 1 X = P X =
+
= ⋅ + ⋅ = + = ⋅ =
1
0
)1 ( 0 )1 ... ] 3 1 2 1 4 3 1 1 3 2 1
.
2 4
8 2 9
4 9
8 9
9
8 9
12
3
MIAN = ∑ P(
1 3
3
3
X
,
1 X
1 X
i P X
i
P X
1
P X
2
P X
3
2 ≠
3 ≠
1 =
) ( 1 = )= ⋅ ( 1 = )+ ( 1 = )+ ( 1 = )=
i=
2 4
4
4
1
3 1 2
1 4
3 1 2
1
3 3 4
3 2
3 4
3 1
1
1
1
1 + 4 + 3
8
2
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ =
+
+
=
+ + =
=
=
8 2 9
4 9
4 2 9
3
4 4 9
8 9
4 9
4 3
12
3
4
12
12
3
1
3
1
ODP =
⋅ =
12 2
8
Zadanie 4
B – liczba białych pozostałych po I losowaniu ( S B ma rozkład hipergeometryczny 2
)≅
N=10, M=B, n=5
1
E( S
= ⋅
=
2
)
B
B
5
B
10
2
var(
10 −
5
1
S B
2
)
B
B
= 5⋅
=
B(10 − B)
10
10
9
36
rozkład B:
X - liczba wylosowanych białych
X=8-B
B=8-X
N=16, n=6, M=8
8
EX = 6 ⋅
= 3
16
1 1 10
var X = 6 ⋅ ⋅ ⋅
= 1
2 2 15
2
EX
= 1+ 9 = 10
EB = E 8
( − X ) = 8 − 3 = 5
2
EB = E 8
( − X )2 = E(64 −16
2
X + X ) = 64 −16 ⋅ 3 +10 = 26
var B = 26 − 52 = 1
ODP = E(
+
var( S B +
E S B =
⋅ −
+ = + =
=
2
)
( ( 2 ) 1
var
(10 5 26) 1 2 1 8 3 11
36
4
3
4
12
12
Zadanie 5
<
< +
+ −
P(
P
X
t
F t
F
X −1 < t X > )
(1
)1
(
)
1
)
1
(
1 =
=
P( X > )
1
1 − F )
1
(
t
2
t 2
2
x
w
2
F
t
( )
2 x
θ e θ dx
e θ
θ
dw
1 e θ
X
= ∫
− x
=
=
= ∫ − w
−
= − t
2 xdx
0
= dw 0
−θ ( + )
1 2
−θ
−θ
−θ ( + )
1 2
2
1 −
−1+
−
P Y
( < t) = P( X −1 < t X > ) t
t
e
e
e
e
−θ ( t +2 t)
1 =
=
= 1− e
1 −1 + e−θ
e−θ
2
2
f ( y) = f ( x −1 x > )
−θ ( t +2 t)
1 = − e
[− t 2θ − 2θ]
−θ ( t +2 t)
= 2θ t( + )
1 e
10
10
−θ ∑( 2
y
2 y
2
i +
i )
10
10
2 θ
y
1
i
e
2
p ( x)
∏( i + ) =1
10
θ 10 −(θ θ
y
2 y
2 −
)∑( 2
1
i +
i )
θ2
=
i=1
2
i
e
10
=
=1
p ( x)
θ
10
θ
−θ ∑ y 2 y
1
( 2
1
i +
i )
10
10
2 θ
y
1
i
e
1
∏( i + )
1
=1
i=1
1
dla θ > θ d
i
l
a T ( x) =
L T x jest funkcją niemalejącą 2
1
10
( ( ))
∑( 2
y + 2 y
i
i )
i 1
=
czyli Pθ= T x > c =
3 (
( )
) ,005
przy θ = 3 :
3
− ( y 2 +2 y)
f ( y) = (
6 y + )
1 e
P( 2
y + 2 y < t) = P(( y + ) 1 2 −1 < t ) = P(( y + ) 1 2 < t + )
1 = P( y +1 < t +1) =
= P( y < t +1 − ) 3
− ( t 1
+ −2 t 1
+ 1
+ +2 t 1
+ −2)
1 = 1 − e
= 1
3
− e− t ≅ wykl ) 3
(
∑
10 ( 2 y y
Z
i
+ 2 i )≅ Γ 1
( 0 )
3
,
≅
i=1
1
t
3 x
c
10
=
1
1
3
2
P
> c = P Z < = ∫
9
−3 x
x e
dx =
=
Z
c
Γ 1
( 0)
1
0
d
3 x =
dt
2
6
6
20 −1 − t
c
10
9
t
c
2
2
= ∫
−
3
t
6
6
e 2 dt =
,
0 05
851
,
10
10
∫ t e
=
→ =
→ c =
Γ 10
(
) 6
20
851
,
10
0
0
10
2 Γ
c
2
4
1
4
2 3
≅ 2
χ (20)
1
6
czyli odrzucamy, gdy:
>
10
∑( 2
y
y
i
+ 2 i ) 10 8,51
i 1
=
10
10 8
, 51
czyli: ∑ ( 2
y
y
i
+ 2 i )<
i=
6
1
∑
10 ( y
i +
)2
1
−10 < 10 8
, 51
i=
6
1
∑
10 ( Y
i +
)2 10 8,51
10 8
, 51 +
1
<
+10 =
60 = 70 8,51 =118,085
i=
6
6
6
1
Zadanie 6
t ∈ (−
0
;
∞ )
t
1
1
P(
e
t
ln X < t) = ∫
= [ x] e
0
= t
e 2
2 x
0
1
− ∑ln X ≅ Γ n; ≅ Y
i
2
1
ln U
ln X
n =
∑
i
n
sprawdzamy (B)
−2
4 e
−2
1
−
4 e
2
−2
P U
n ≤
+ e = P ( X
X
n
e
1 ⋅ ⋅ ⋅
n )
≤
+
=
n
n
1
−2
4 e
−2
4 e
−2
−2
= P
∑ln X
i > ln
+ e = P ∑ln Xi >
n ln
+ e =
n
n
n
4 e−2
− n ln
+ e−2
−
− 2 n
4 e 2
−
−
2
Y
2 n
n
= P Y < − n ln
+ e
= P
<
→ P( N < lim X
n )
n
2 n
2 n
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
X n
2
4
4
− n ln −
e
+
1 − 2 n
− n− 2 + ln
+
1 − 2 n
n
n
n
1
4
X
ln
1
n =
=
=
+ =
2 n
2 n
2
n
4
n
n
n
1
4
4
1
= ln
+1
→ ⋅ 4 = 2
2
n
2
4
1
4
2 3
→ e
P( N < 2) ≈ 9
,
0 77 czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa Zadanie 7
k
2
−
P( k min(
t
X ,..., X
< t = 1− Pmin > = 1
− e = 1− e−2
1
k )
)
t
t
k
k
f
( t)
⋅
= 2 −2
e t ≅ wykl(2)
min k
E( NZ
E NZ
N
k P N
k
P N
k
p
N )
∞
∞
= ∑ ( N
= ) ( = = ∑ 1
)
(
=
= 1
)
(1− r )
k =
k
2
2
1
=1
E( NZ
E NZ
N
k P N
k
P N
k
p
N )
∞
∞
2 = ∑ ((
)2 = ) ( = = ∑ 1
)
(
=
= 1
)
(1− r
N
)
k =
k
2
2
1
=1
(
−
− +
−
−
NZ )
1
r
r
2 r
2 r
p
p
p
p
var
= (
r
− p −
− p + p
=
=
N
) 1
1
(1 2 r 2 r ) 2 2 1 2
1
2
4
4
4
Zadanie 8
STAŁE NIEISTOTNE:
1
2
1
2
LICZ = sup ex
p −
∑( X − m
wiemy d
l
a
,
1
−
∑ −
2
→
1 =
2 =
i
)
( Y m
i
)
to
m
X m
Y
m , m
1
2
2
18
MIAN = sup
− 1
exp
∑( X m
Y
m
i −
)2 − 1 ∑( i − )2
m
12
4
4
4
4
4
4
2 18
4
4
4
4
4
4
3
f ( m)
∂
1
f ( m) = exp(...) ⋅ ∑ ( X
2
i − m) +
⋅ ∑( Yi − m) =
∂ m
18
=
1
1
20
exp(...)∑ X
20
20
0
20
i −
m + (∑ Yi −
m) = →
∑ Xi + ∑ Yi = m + m
9
9
9
20
X ⋅ 20 + Y ⋅
9
9
X + Y
m =
=
200
10
9
1
2
1
1
9 X + Y 2
2
1
9 X + Y 2
λ = exp− ∑( Xi − X ) − ∑( Yi − Y )
+ ∑ Xi −
+
∑ Yi −
=
2
18
2
10
18
10
1
1
1
9
1
= exp− (∑ 2
X i −
2
20 X )−
(∑ 2 yi − 2
20 Y )+ ∑ 2
X i −
X
X i − YX i +
2
8
,
0 1 X + 1
,
0 8 Y
X
+
2
,
0 01 Y
2
18
2
5
5
1
9
1
+
∑ 2
y
i
−
y
X i − Yyi +
2
8
,
0 1 X + 1
,
0 8 Y
X
+
2
,
0 01 Y =
18
5
5
=
1
1
10
1
9
1
2
2
2
2
2
2
2
exp− ∑ X
i
+10 X −
∑ yi + Y + ∑ Xi − ⋅ 20 X − ⋅ 20 XY + 1, 8 X
2
18
9
2
10
10
+ ,
0 09 ⋅ 20 Y
X
+ ,
0 01⋅ 5
,
0 ⋅
1
1
1
2
20 Y +
∑ 2
y
i
− 1,
0 ⋅ 20 XY −
⋅
2
20 Y + 8
,
0 1⋅
⋅
2
20 X
18
90
18
1
1
2
+ 1,
0 8 ⋅
⋅ 20 XY + ,
0 01⋅
⋅ 20 Y
= ex
[ 2
p X + Y − 2 XY ] = exp ([ X − Y )2
2
]
18
18
dla H :
0
P(
X − Y >
c
ln c )
20
20 ln
7
= P N >
ln
c = 1
,
0 →
= ,
1 64 → ln c =
,
1 64
7
7
20
1
9
bo: X ≅ N ;
m
, Y ≅ N ;
m
20
20
var( X − Y ) = var X + var Y − 2cov( X , Y ) 1
9
1
=
+
− 2 ⋅
⋅ 20 corr( X , Y
X
Y
i
i )
7
⋅ var
var
i
i =
20
20
400
20
CHCEMY
7
P X − Y <
,
1 64 < 1
,
0
20
20
P − ,
1 64
−
(
m − m
< N <
−
m − m
<
1
2 )
20
,
1 64
( 1
2 )
1
,
0
7
7
sprawdzamy i wychodzi 1,66 (najbliżej)
Zadanie 9
E( ˆ
m − m)2 → min
E( 2
2
ˆ
m − 2
ˆ
m
m
+ m )= E( 2
ˆ
m )− 2 mE( ˆ
m)
2
+ m
n
n
Em
ˆ = ∑ a m m
a
i ⋅
= ∑ i
i=1
i=1
Em
ˆ 2 = E (
[ a X
1
1 + a X
2
2 + ... + a X
a X
a X
...
a X
n
n )( 1
1 +
2
2 +
+ n n )] =
n
= ∑ a 2 EX 2
a a E X X
i
i
+ ∑ i j ( i j ) =
i=1
i≠ j
n
2
= ∑
2
m
a
m 2
a a m 2
i
+
+ ∑ i j
1
i
i=
i≠ j
2
∑ n
2
m
n
a
m 2
a a m 2
2 m 2
a
m 2
min
i
+
+ ∑ i j
−
∑ i +
→
1
i
i=
i≠ j
i=1
∂
m 2
= 2 a
m 2
2
a m 2
2 m 2
0
i
+
+ ∑ j
−
=
∂ a
i
i
j≠ i
2
2
m + im
n
2
2
a
i
+ m ∑ ai − a
i
− m = 0
i
i=
1
m 2 + im 2
n
a
m 2
m 2
m 2
a
i
−
=
−
∑
i
i
i=1
n
m 2 1 − ∑ a
i
n
i=1
a
i 1
a
i =
= −
2
∑
m
i
i=1
i
∂ ⋅ i = a m 2 im 2 i a m 2 im 2 0
i (
+
)+ ∑ j − =
∂ a 2
i
j ≠ i
∑ n ∂
n
n
n
⋅ i = ∑ a m 2 im 2
i
a m 2
im 2
0
i (
+
)+ ∑ ∑ j −∑ =
2
1
a
i=
∂ i
i=1
i=1
j≠ i
i=1
(
)
1
m 2 ∑
n
n
n
n
2
2
2 n n
a
m
ia
im
a
a
m
0
i +
∑ i + ∑
∑
+
i −
i −
=
2
i=1
i=1
i=1
i=1
(
)
1
(
)
1
m 2 ∑
n
n
n
n
2
2 n n
2
2 n n
a
m
ia
m
a
m
ia
m
0
i +
∑
+
i +
∑ i − ∑
+
i −
=
2
2
i=1
i=1
i=1
i=1
m 2 (
)
1
(
)
1
2
n n + n
m 2 n n
m +
∑
+
a
i =
2
2
i=1
2
∑ n
m n( n + )
1
2
n( n + )
1
a
i =
⋅
=
2
2
2
2
(
)
1
2
(
)
1
1
m
m n n
n n
i=
+
+
+
+
Z tego:
n( n + )
1
2 + n 2 + n − n 2 − n i
2
a = i1−
= i ⋅
=
i
2 + n( n + )
1
2 + n( n + )
1
2 + n 2 + n
Zadanie 10
X
STAT
X ≅ J ( ;
0 θ ),
i ≅ J (
)
1
,
0
i
≅ U ( i)
i
θ
θ
P(θ ∈ [
1
2 X
,2 X
P
5
,
0
U
i
U
:
3 n
n− :
2 n ])
=
> ( ,3 n)
<
( n−2, n)
=
2
1
1
1
1
1
= 1− P J ≥ l u
b J
P J
P J
P J
J
n
≤ 5
,
0 = 1 −
> − n < + > i n
<
3
−
2
3
−2
3
−2
2
2
2
2
2
1
4
4
4
2
4
4
4
3
=0
P(
1
0,5
J >
n
n
n
n
5
,
0 ) = ∫
!
n
(
2)(
)
1
2
x 1
(
x)
dx
1
x
t
1 2
n
t
t t
3
−
−3
= − = = ∫ −
−
( − + 2) −3 =
2( n − )
3 !
2
0,5
0
0,5
n( n − )
1 ( n − 2) n−2
n−
t
t
2
1
t n
n( n − )
1 ( n − 2) 1
1
2
1
1 1
=
−
+ =
−
+
=
n−2
n−1
n
2
n − 2
n −1
n
2
2
n − 2
2
n −1
2 n
0
n( n − )
1 ( n − )
2 1 4
4
1
n( n − )
1 ( n − )
2 4( n 2 − n)− (
4 n 2 − 2 n)+ n 2 − n 3 +
=
−
+
=
2 =
n
2
2 n − 2
n −1
n
n+
2 1
( n − )
2 ( n − )
1 n
1
=
n + n +
n 1
+ ( 2
2)
2
P(
0,5
!
n
n
1
J
5
,
0
x
1
(
x) dx
WIDA
C ZE T
O S
AMO
n
n
2
n 2 <
) = ∫
−3
2
2
−
−
=
= n+1 ( + + )
( n − )
3 2
!
2
0
2
P = 1 −
n + n +
= −
n + n +
≥
n 1
+ ( 2
2)
1
1
n ( 2
2)
9
,
0
2
2
2
n + n + 2
f ( n) =
≤ 1
,
0
2 n
f(n) jest malejąca więc sprawdzamy i wychodzi n=11