WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski

Poznań 2002/2003

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 3

Odkształcenia liniowe i kątowe jako funkcje przemieszczenia Odkształceniem liniowym włókna przechodzącego przez dany punkt nazywamy jego względną zmianę długości.

π

.

β = − γ

12

12

2

dX2

dX1

rys.1

Przyjmujemy następujące oznaczenia:

P' Q' − PQ

ε11 =

(3.1)

PQ

ε11-wyraża względną zmianę długości włókna │PQ│ w wyniku czynników zewnętrznych

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 2

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

Znajdźmy relację między ε11 a składowymi tensora odkształceń skończonych Lagrange’a. Załóżmy, że włókno PQ, którego długość wynosi dX1 doznało odkształceń:

PQ = dX 1

(3.2)

2

2

P' Q' − PQ = 2 L dX dX

(3.3)

ij

i

j

PQ( dX

)

0

,

0

,

1

2

2

dla i = j = 1

P' Q' − PQ = 2 L dX

11

1

(3.4)

2

2

2

P' Q' = 2 L dX + dX

11

1

1

Podstawiając (1.4) i (1.2) do (1.1) otrzymujeny: 1+ 2 L dX − dX

11

1

1

ε =

= 1+ 2 L −1

11

11

dX 1

(3.5)

1

11+ 2 L −1 ≈ 1

( + ⋅ 2 L ) −1 = L

11

11

11

2

Dla małych przemieszczeń można uznać, że L11 oznacza względną zmianę długości włókna │PQ│

1

u

∂

u

∂

u

∂

u

∂

1

k

k

1

L = (2

+

) ≈

11

(3.6)

2

X

∂

X

∂

X

∂

x

∂

1

i

i

1

Interpretacja składowych tensora odkształceń skończonych Lagrange’a Rozważmy nieskończenie mały płaski element ograniczony dwoma włóknami tworzącymi w stanie naturalnym kąt prosty: PQ o długości dL i współrzędnych (dX1,0,0) P' Q' o długości dL’ i współrzędnych (o,dX2’,0) Po przemieszczeniach włókna te odkształcą się zmieniając swą długość i kąt między nimi

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 3

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

dL→ dl , dL’→ dl'

Iloczyn skalarny wektorów dl i dl' można zapisać następująco: dl ⋅ dl' = dl ⋅ dl'⋅cosθ = dx dx '

(3.7)

k

k

Gdzie θ jest kątem między rozważanymi włóknami po odkształceniu, dxk to współrzędne włókna PQ a dxk to współrzędne P’Q’ po przemieszczeniu.

Z poprzednich rozważań wiemy, że:

dl − dL

dl = 1

( + e) dL , e = 1+ 2 L −1 ( e ≈

)

11

dL

(3.8)

dl'− dL'

dl'= 1

( + e') dL' , e'= 1+ 2 L −1 ( e'≈

)

22

dL'

x

∂

x

∂ '

k

dx =

dX

, dx '

k

=

dX '

k

i

k

(3.9)

X

∂

X

∂ '

j

i

j

Traktujemy współrzędne Xi i Xj oraz xk i xk’ jako współrzędne przemieszczanego punktu. Wobec tego:

∂ xk

∂

dxk ⋅

x

dx '

k =

dX

k dX

i

j = 2 L dLdL'

(δ = )

0

12

12

∂

(3.10)

X i

∂ X j

Wobec tego na podstawie (1.7) oraz (1.10) otrzymujemy: 2 L dLdL'

cos

12

θ =

(3.11)

dldl'

Podstawiając zależności (1.8) do powyższego wyrażenia: 2 L dLdL'

2 L

cos

12

12

θ =

≈

(3.12)

1

( + e 1

)( + e') dLdL'

1

( + e 1

)( + e')

Dla małych odkształceń możemy przyjąć, że mianownik wyrażenia (3.12) jest bliski 1.

π

cosθ = cos( − β ) = sin β

(3.13)

2

Oznaczmy kąt β jako zmianę kąta między włóknami „i=1” (PQ) i „j=2”

(PQ) pod wpływem czynników zewnętrznych.

Jest to więc kąt odkształcenia podstawowego: sin β = sin γ ≈ γ

(3.14)

12

12

(dla małych odkształceń)

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

czyli:

γ = 2 L

(3.15)

12

12

L12 jest równy połowie kąta odkształcenia postaciowego.

Zapisując tensor Lagrange’a z pominięciem małych wyższego rzędu otrzymamy (w przemieszczeniach):

1

u

∂

u

∂

u

∂

u

∂

1

2

1

2

γ = 2 ⋅ (

+

) =

+

12

(3.16)

2 x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

2

1

2

1

Wprowadzając tensor małych odkształceń Cauchy’ego ε12 (ε12≈L12) otrzymamy:

1

1

u

∂

u

∂

ε = γ = ( 1

2

+

)

12

(3.17)

2 12

2 x

∂

x

∂

2

1

Równania geometryczne

Równaniami geometrycznymi nazywamy związki między odkształceniami a przemieszczeniami. Mają one postać: 2 L 12

ε = 1+ 2 L −1

ε = arcsin

11

11

12

1+ 2 L

1+ 2 L

11

22

2 L 13

ε = 1+ 2 L −1

ε = arcsin

22

22

13

(3.18)

1+ 2 L

1+ 2 L

11

33

2 L 23

ε = 1+ 2 L −1

ε = arcsin

33

33

23

1+ 2 L

1+ 2 L

22

33

gdzie Lij-tensor odkształceń Lagrange’a

1

u

∂

u

∂

u

∂

u

∂

L = ( i

j

k

k

+

+

)

ij

(3.19)

2 X

X

∂

X

∂

X

∂

j

i

i

j

W liniowej teorii sprężystości zakładamy, że pochodne przemieszczeń są małe. Mamy wówczas do czynienia z tensorem małych odkształceń Lagrange’a:

1

L = ( u + u )

ij

2 i, j

j, i

(3.20)

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

Pierwsze równanie geometryczne (1.18) możemy zapisać następująco: 2

(ε + )

1 = 1+ 2 L

11

11

(3.21)

Przy założeniu, że odkształcenia ε są bardzo małe, ich iloczyn będzie dążył do zera : ε2 →0

0 + 2ε +1 = 1+ 2 L

11

11

ε =

(3.22)

L

11

11

Ogólnie zapisujemy:

ε = L

ij

ij

(3.23)

Związki geometryczne w liniowej teorii sprężystości mają postać: 1 ∂ u

∂ u

ε = ( i

ij

+

j )

i, j = ,

1 3

,

2

(3.24)

2 ∂ X j

∂ X i

u

∂

1

u

∂

u

∂

1

ε =

ε = ( 1

2

+

)

11

12

X

∂

2 X

∂

X

∂

1

2

1

u

∂

1

u

∂

u

∂

2

ε =

ε = ( 1

3

+

)

22

13

(3.25)

X

∂

2 X

∂

X

∂

2

3

1

u

∂

1

u

∂

u

∂

3

ε =

ε = ( 3

2

+

)

33

23

X

∂

2 X

∂

X

∂

3

2

3

Powyższe równania geometryczne obejmują sześć składowych stanu odkształcenia i trzy składowe stanu przemieszczenia jako funkcje współrzędnych X1, X2, X3. Równania te często nazywane są równaniami Cauchy’ego.

Tensor odkształceń ma postać:

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

ε

ε

ε

11

12

13 





Tε = ε

ε

ε

21

22

23 

(3.26)

ε

ε

ε 

 31

32

33 

ω12

rys. 2

Tensor obrotu (spinu):

1

ω = ( u − u )

ij

2 i, j

j, i

(3.27)

np:

ω12-kąt obrotu siecznej kąta, między bokami 1 i 2

εij= εji –tensor symetryczny

ωij=- ωji –tensor skośnie symetryczny

Analiza stanu odkształcenia w punkcie

Przez analogię do stanu naprężenia w punkcie, można wykazać, że istnieją trzy kierunki odkształceń głównych i trzy wartości, jak również trzy niezmienniki stanu odkształcenia.

ε

(

− εδ u

)

= 0

ij

ij

j

(3.28)

u u = δ

i

j

ij

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

ε

εδ

ij −

ij = 0

(3.29)

tensor odkształceń przyjmie postać:

ε − ε

ε

ε



11

12

13





ε

ε − ε

ε

= 0

21

22

23





(3.30)

 ε

ε

ε − ε 

 31

32

33



Równanie charakterystyczne:

3

2

ε − I ε + I ε − I = 0

1

2

3

(3.31)

Niezmienniki mają wartość:

I

ε

ε

ε

ε

1 =

11 +

22 +

33 =

ii

ε

ε

ε

ε

ε

ε

I 2 = 11

12

+ 11

13

+ 11

13

ε

ε

ε

ε

ε

ε

21

22

22

23

31

33

(3.32)

ε

ε

ε

11

12

13 





I

ε

ε

ε

3 =  21

22

23 

ε

ε

ε 

 31

32

33 

Rozwiązaniem równania charakterystycznego (1.33) są trzy wartości odkształceń głównych ε1, ε2, ε3 , gdzie ε1> ε2> ε3

Niezmiennik I1 posiada sens fizyczny.

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

Na zmianę objętości ciała w punkcie wpływa zmiana długości boków (nachylenie ścianek nie ma wpływu). Względną zmianę objętości prostopadłościanu można zapisać następująco: dV − dV

1

0

(3.33)

dV 0

Objętość początkowa prostopadłościanu:

dV = dX dX dX

0

1

2

3

(3.34)

Objętość końcowa :

dV = 1

( + ε ) dX 1

( + ε ) dX 1

( + ε ) dX

1

11

1

22

2

33

3

(3.35)

Pomijając małe wyższego rzędu otrzymamy:

dV = 1

( + ε + ε + ε ) dX dX dX

1

11

22

33

1

2

3

(3.36)

Podstawiając objętości do wyrażenia (1.33): dV

1

(

ε

ε

ε )

1 − dV 0

+ 11 + 22 +

dX dX dX

33

1

2

3 − dX dX dX

=

1

2

3 =

dV

dX dX dX

0

1

2

3

(3.37)

= ε

ε

ε

11 +

22 +

33 = I 1 = e

gdzie e-dylatacja

e = ε = u , = divu

ii

i i

(3.38)

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 9

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

Niezmiennik I1 określa względną zmianę objętości ciała w punkcie (dylatacja).

Równania równowagi wewnętrznej ciała

pi- składowa sił masowych

fi- składowa sił powierzchniowych

1. Dla zachowania warunków równowagi spełniony musi być warunek:

W = 0

(3.39)

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

∫ fdS + ∫ dV

p

= 0

(3.40)

S

V

gdzie: f-siły powierzchniowe, p-siły masowe (objętościowe) dla i-tej współrzędnej:

∫σ α dS p dV 0

ji

nj

+ ∫ i =

(3.41)

S

V

dokonujemy zamiany całki powierzchniowej na objętościową:

∫σ α dS σ dV

ji

nj

= ∫ ji, j

(3.42)

S

V

dokonując podstawienia powyższej całki obiętościowej do wzoru (1.41) otrzymujemy:

∫σ dV p dV 0

ji, j

+ ∫ i =

V

V

(3.43)

∫(σ

p ) dV

0

ji, j +

i

=

V

Z czego wynika, że:

σ ji j + pi = 0

i, j = ,

1 3

,

2

,

(3.44)

Rozpisując wyrażenie:

∂σ

σ

σ

11

∂ 21 ∂



+

+

31 + p 1 = 0

 ∂ x

x

x

1

∂ 2

∂ 3

∂σ

σ

σ

21

∂ 22 ∂



+

+

32 + p 2 = 0

(3.45)

 ∂ x

x

x

1

∂ 2

∂ 3

∂σ

σ

σ

31

∂ 32 ∂



+

+

33 + p 3 = 0

 ∂ x

x

x

1

∂ 2

∂ 3

2. Kolejnym warunkiem koniecznym do zachowania równowagi wewnętrznej ciała jest:

M 0 = 0

(3.46)

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 11

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

r × f dS + r × f dV = 0

∫

∫

(3.47)

S

V

dla i-tej składowej:

( n)

M

e x f

dS

e x p dV

i =

ijk

j

k

+ ijk j k

= 0

∫

∫

S

V

( e x σ )α dS

e x p dV

ijk

j

lk

nl

+ ijk j k

= 0

∫

∫

(3.48)

S

V

( e x σ ) dV

e x p dV

ijk

j

lk

l

+ ijk j k

= 0

,

∫

∫

V

V

korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu :(uv)’=u’v+uv’ otrzymujemy:

∫( e σ e x σ

e x p ) dV

0

ilk

lk + ijk

j

lk , l + ijk

j

k

=

(3.49)

V

wiedząc, że:

σ

p

lk l +

k = 0

,

(3.51)

wynika z tego, że:

e σ

ilk

lk = 0

∫

(3.52)

V

powyższe równanie jest spełnione gdy:

σ = σ

lk

kl

(3.53)

Oznacza to, że tensor naprężeń jest symetryczny.

Równanie nierozdzielności odkształceń

Funkcje opisujące stan odkształceń ciała nie mogą być dowolne, lecz muszą spełniać pewne warunki. W równaniach geometrycznych 6

składowych odkształcenia wyrażone jest przez 3 składowe przemieszczenia. W celu otrzymania jednoznaczności wyznaczanych 3

funkcji składowych przemieszczenia, należy na składowe odkształcenia nałożyć nałożyć warunki zapewniające ciągłość materii po odkształceniu ciała (continuum materialne).

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 12

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

Warunki nierozdzielności otrzymuje się drogą operacji różniczkowania na równaniach Cauchy’ego

1

u

∂

u

∂

i

j

ε = (

+

) //

ij

, rk

2 x

∂

x

∂

j

i

(3.54)

ε //

ε //

ε //

kr

, ij

ik

, jr

rj

, ik

1

ε

u

u

ij kr =

( i jkr +

)

,

2

,

j, ikr

1

+ ε

u

u

kr ij =

( k ijr +

)

,

2

,

r, ijk

(3.55)

1

+ ε

u

u

ik jr =

( i jkr +

) /

k ijr

⋅ (− )

1

,

2

,

,

1

+ ε

u

u

jr ik =

( j ikr +

) /

r ijk

⋅ (− )

1

,

2

,

,

ε

ε

ε

ε

ij kr +

kr ij −

ik jr −

jr ik = 0

,

,

,

,

(3.56)

Otrzymujemy dwie grupy zależności:

-zależności między odkształceniami występującymi w jednej płaszczyźnie:

2

2

2

∂ ε

∂ ε

∂ ε

11

22

12

+

= 2

2

2

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

2

1

2

1

2

2

2

∂ ε

∂ ε

∂ ε

11

33

13

+

= 2

(3.57)

2

2

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

3

1

3

1

2

2

2

∂ ε

∂ ε

∂ ε

22

33

23

+

= 2

2

2

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

3

2

3

2

-zależności między odkształceniami występującymi w różnych płaszczyznach:

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

WYKŁADY Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 13

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE

2

∂

∂ε

∂ε

∂ε

∂ ε

23

13

21

11

(−

+

+

) =

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

1

1

2

3

2

3

2

∂

∂ε

∂ε

∂ε

∂ ε

13

23

21

22

(−

+

+

) =

(3.58)

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂ x

∂

2

2

1

3

1

3

2

∂

∂ε

∂ε

∂ε

∂ ε

12

13

21

33

(−

+

+

) =

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

x

∂

3

3

2

3

2

1

Powyższe 6 równań wyraża zasadę ciągłości materii, nazywane również równaniami Saint-Venanta.

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Krawczyk,

Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper