Opracowanie pytań Karafiata [small]

background image

zło

ż

enie odwzorowa

ń

Je

ż

eli

: , :

to

:

zdefiniowane

wzorem

nazywamy

zło

ż

eniem odwzorowa

ń

odwzorowanie odwrotne do zło

ż

enia

Niech

: , :

-bijekcje,

Dowód:

odwzorowanie odwrotne do danego

Niech

:

– bijekcja (warunek istnienia)

Odwzorowanie

:

takie,

ż

e

naz. odwrotnym do danego

moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych

,

, |

| |

|

|

·

| |

·

|

!

·

zespolon

ą

w postaci wykładniczej

|| · e

- posta

ć

wykładnicza funkcji zespolonej

||

– moduł liczby z,

e

- liczba Eulera,

- jednostka urojona

#

– argument ,

|

| · e

· |

| · e

|

| · |

| · e

భమ

cosinus i sinus zale

ż

no

ś

ci od fnc wykładniczej.

cos#

e೔കeష೔ക

,

sin#

e೔ക eష೔ക

) e

cos# sin# ·

e

cos*# sin*# ·

+

Kiedy wektory e

1

,...e

n

nazywamy liniowo niezale

ż

nymi

gdy

,

, … , ,

. ∑ ,

e0

0 2 ,

. . . ,

0

α

1,2 α

4, *1 α

*2,3 0,0, α

, α

, α

9

baza przestrzeni wektorowej Co ł

ą

czy dwie bazy

Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów

e0

, … , e0

liniowo niezale

ż

nych, które generuj

ą

dan

ą

przestrze

ń

. Dwie bazy tej samej przestrzeni maj

ą

t

ą

sam

ą

ilo

ść

elementów.

reprezentacj

ę

macierzow

ą

odwzorowania liniowego

Niech

:, ;

- przestrzenie wektorowe nad

<

,

e0

, … , e0

-

baza w

:

,

E>

, … , E>

- baza w

;

?: : ;

- odwzorowanie liniowe.

@ A1, … , BC ?e0

E>

- Reprezentacja

macierzowa odwzorowania

?

w danych bazach:

D

.

.

E

iloczyn macierzy.

:, ;, F

- przestrzenie wektorowe,

e0

, … , e0

- baza w

:

,

E>

, … , E>

- baza w

;

,

ε0

, …, ε0

- baza w

F

?: : ;, H: ; F, H ?: : F

– odwz. liniowe,

– rep. odwzorowania

?

,

– rep. odwzorowania

H

H ?I H?I

, Niech

rep. mac. odwz.

H ?

@ A1, … , BC ?e0

E>

A1, … , C HE>

ε0

H ?e0

H J?e0

K H∑

E>

HE>

ε0

∑ ∑

ε0

ε0

transpozycj

ę

iloczynu macierzy

-macierz

B L ,

-macierz

L M ·

·

Dowód:

· ,

wyznacznik iloczynu macierzy

Niech

,

- macierze

B L B

,

det · det · det

rozwini

ę

cie Laplace’a wyznacznika macierzy

Niech

- macierz

B L B

,

det ∑

gdzie

1, 2, … , B

,

*1

· P

- dopełnienie algebraiczne

elementu

,

P

– minor macierzy

macierz nieosobliwa

Macierz

ą

nieosobliw

ą

nazywamy macierz kwadratow

ą

,

której wyznacznik jest ró

ż

ny od zera. Aby sprawdzi

ć

czy

macierz jest nieosobliwa nale

ż

y policzy

ć

wyznacznik.

wzory Cramera

M 1, 2, … , B

,

B

- liczba niewiadomych

M

-ta niewiadoma ,

Q

– wyznacznik główny macierzy

kwadratowej, nieosobliwej ,

Q

- Wyznacznik

otrzymany z wyznacznika głównego przez zast

ą

pienie w

nim

M

-tej kolumny kolumn

ą

wolnych wyrazów

elementy macierzy odwrotnej

Niech

- nieosobliwa macierz

B L B

,

ೕ೔

||

, @ 1, 2, … , B

gdzie

- element macierzy

rz

ę

dem macierzy, zwi

ą

zek z jej wymiarem

Rz

ę

dem macierzy

nazywamy wymiar najwi

ę

kszej

nieosobliwej podmacierzy kwadratowej

. Rz

ą

d to rz

ą

d

odwzorowania liniowego zwi

ą

zanego z t

ą

macierz

ą

.

wyznaczy

ć

rz

ą

d macierzy

- macierz

L B

(niezerowa, je

ś

li zerowa to

R 0

).

Liczymy podwyznaczniki macierzy

stopnia

M

dla

M minA, BC , … , 1

do momentu otrzymania warto

ś

ci

niezerowej. Za rz

ą

d przyjmujemy wymiar najwi

ę

kszej mac.

nieosobliwej b

ę

d

ą

cej podmacierz

ą

kwadratow

ą

.

twierdzenie Sylvestera

R · T min AU, RC







Kroneckera – Capelliego.

V

·

W

·

X

·

W

·

+ I 0

Powy

ż

szy układ ma co najmniej jedno rozwi

ą

zanie

R RY

Dowód:

R RY

kolumna

0

jest lin. zale

ż

na od

pozostałych

Z,

, … , ,

∑ ,

,

@ 1, … ,

∑ ,

@ 1, …,

- układ równa

ń

R [ RY

kolumna

0

jest liniowo niezale

ż

na od

pozostałych

0

nie jest kombinacj

ą

liniow

ą

∑ ,

zadany układ równa

ń

nie ma rozwi

ą

zania

układ równa

ń

algebraicznych liniowych b

ę

dzie miał jedno

rozwi

ą

zanie dla ka

ż

dej kolumny wyrazów wolnych

V

·

W

·

X

·

W

·

+ I 0

Powy

ż

szy układ posiada rozwi

ą

zania

0 ; R

Dowód:

R RY

- macierz

L B, Y

- macierz

L B 1

R T RY T minA, B 1C T R RY

R \ Z0

dla którego

RY ] R

nie ma rozw.

zwi

ą

zek mi

ę

dzy wyz. mac. a wyz. mac. odwrotnej

det · ^_`

1

·

Ι

wobec tego

det ·

detΙ 1

Z twierdzenia Cauchy’ego

det · det

1

det

transpozycj

ę

macierzy odwrotnej

·

Ι

·

Ι

Ι

Na transpozycj

ę

iloczynu:

·

Ι

forma dwuliniowa Co nazywamy jej repr. macierzow

ą

:, ;

- przestrzenie wektorowe nad ciałem

<

: : L ; <

nazywamy form

ą

dwuliniow

ą

gdy:

1° 0 ; c · , 0 c : <

jest form

ą

liniow

ą

2° I : c I, · c ; <

jest form

ą

liniow

ą

Reprezentacja macierzowa:

c : L : <,

e0

, … , e0

- baza w

:

,

I, 0 ∑

e0

, ∑

e0

∑ ∑

e0

, e0

∑ ∑

form

ę

dwuliniow

ą

nazywamy symetryczn

ą

(anty)

Form

ę

dwuliniow

ą

: : L : <

nazywamy form

ą

symetryczn

ą

je

ś

li

I, 0 : I,0 0, I

,

antysymetryczn

ą

je

ś

li

I, 0 : I, 0 *0, I

twierdzenie o rozkładzie macierzy na cz

ęść

sym/anty

gdzie

- macierz sym.,

- macierz anty.

Dowód:


,


*




*


iloczynu skalarnego

0 0 |0| · d >d · cos0, 0

dla

0, 0 [ 0

0 0

Własno

ś

ci iloczynu skalarnego:

1° 0, 0, I 0 0 I 0 I 0 I

2° 0, 0

, 9

,0 0 ,0 0 0 ,0

3° 0, 0 0 0 0 0

4° 0 0 0 |0|

e 0

5° 0 0 0 0 0 0

6° 0, 0 0 0 0 0 0 h 0 0 h 0 i 0

iloczynu wektorowego

Mówimy,

ż

e iloczyn wektorowy wektorów niezerowych

0

i

0

jest równy

I

, je

ż

eli

Kierunek wektora

I

, jest taki,

ż

e

I i 0

i

I i 0

2° |I| |0| · d >d · sin 0, 0

Zwrot wektora

I

, jest tak dobrany, by trójka

0, 0, I

tworzył układ o orientacji zgodnej z układem
współrz

ę

dnych,

I 0 L 0

Je

ż

eli

0 00 h 0 00

to

I 00

Własno

ś

ci:

1° 0, 0, I 0 0 L I 0 L I 0 L I

2° 0, 0

, 9

,0 L 0 ,0 L 0 0 L ,0

3° 0, 0 0 L 0 *0 L 0

4° 0 0 L 0 00

5° 0 L 0 0 0 0 h 0 0 h 0 j 0

iloczynu mieszanego

0 L 0 I k

k

Własno

ś

ci:

1° 0 L 0 I *0 L I 0 I L 0 0 0 L I 0

*0 L 0 I *I L 0 0

2° d0 L 0 Id l

(obj

ę

to

ść

równoległo

ś

cianu o

kraw

ę

dziach

0, 0, I

)

odległo

ść

punktu od płaszczyzny

^

|భభమమయయబ|

||

odległo

ść

punktu

mn

, n

, n

od płaszczyzny

o

danej

równaniem

B

B

B

B

0

k

ą

t miedzy wektorami

Niech wektor

0

,

,

!

oraz

0

,

,

!

cos0, 0

ೣ"ೣ೤"೤೥"೥

#ೣమ೤మ೥మ#"ೣమ"೤మ"೥మ

k

ą

t miedzy płaszczyznami

Niech

o

c

p

0

,

o

c

p

0

cos#

q

q

background image

elipsoidy



"మ

!మ
$మ

1

hiperboloidy jednopowłokowej



"మ

*

!మ
$మ

1

hiperboloidy dwupowłokowej



"మ

*

!మ
$మ

*1

paraboloidy eliptycznej



"మ

paraboloidy hiperbolicznej


*


"మ

walca eliptycznego



"మ

1

walca hiperbolicznego


*


"మ

1

walca parabolicznego

2n

twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze

B r Z! n

, … , n

, n

pierwsze

Z! ,

, … , ,

%

&೔'(

takie,

ż

e

n

\ n

\ W \ n

oraz

B n

&భ

, … , n

&ೝ

Liczb

ę

B

nazywamy pierwsz

ą

je

ż

eli ma tylko dwa dzielniki

relacji podzielno

ś

ci

1° | t |

2° | | |

3° | | | u

4° | | , t

twierdzenie o algorytmie Euklidesa

Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku

vQp,

twierdzenie o przedstawieniu

vQp,

Niech

, r ZY, w t vQp, Y w

funkcj

ą

Eulera, Ile dla liczby pierwszej

Funkcja Eulera

#: r r

dla dowolnej liczby

B r

jest

okre

ś

lona wzorem:

#B A A0, … , B * 1C c vQp, B 1C

Dla liczby pierwszej

n c #n n * 1, #n

&

n

&

J1 *


K

własno

ś

ci relacji kongruencji.

1° , x mod

2° , , x mod x mod

3° , , , x mod, x mod x mod

x mod

i

x ^mod u x u ^mod

Je

ż

eli

x mod

i

^| x mod^

pełnym zbiorem reszt modulo m

Zbiór zawieraj

ą

cy

klas reszt nazywamy pełnym zbiorem

reszt modulo

i oznaczamy jako

yz A t c x modC

t

/

Ayz, tC

Pełny zbiór reszt modulo 4: (co wy

ż

ej, podstawi

ć

4 za m)

element odwrotny do elementu ciała sko

ń

czonego

Liczb

ę

t

nazywamy odwrotn

ą

do

t

modulo

i

piszemy

mod

. Je

ż

eli

· x 1mod

. Je

ż

eli

vQp, 1

, to istnieje

mod

Małe Twierdzenie Fermata?

Niech

n

- liczba pierwsza

1° t

x modn

2° t c n {

x 1modn

twierdzenie o równo

ś

ci pot

ę

g

x

modn

Je

ż

eli

n

– liczba pierwsza,

n {

oraz

B x modn * 1

to

x

modn

własno

ś

ci funkcji Eulera?

Je

ż

eli

n

jest liczb

ą

pierwsz

ą

, to

#n n * 1

dla

, ] 1 #n

&

n

&

J1 *


K

Je

ż

eli

vQp, B 1

to

#B # · #B

chi

ń

skie twierdzenie o resztach.

Dany jest układ kongruencji:

|

x

mod

X

x

mod

+

Je

ż

eli liczby całkowite dodatnie

, … ,

s

ą

parami

wzgl

ę

dnie pierwsze, a liczby

, … ,

s

ą

dowolnymi

liczbami całkowitymi to istniej

ą

rozwi

ą

zania

,

,

,

,

, …

tego układu kongruencji przy czym

· P

, gdzie

P

· … ·

Czemu jest równe

modB

Je

ż

eli

vQp, B 1

to

x 1modB


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Opracowanie pytań Karafiata [small]
opracowanie pytan karafiata
Opracowanie pytań Karafiata
opracowanie pytan karafiata
Nasze opracowanie pytań 1 40
Opracowanie pytań z anatomii
opracowanie pytań z optyki
Maszyny Elektryczne Opracowanie Pytań Na Egzamin
opracowanie pytan id 338374 Nieznany
Opracowanie pytań 2 kolokwium
cw 3 broma opracowanie pytan 810
Nhip opracowanie pytan id 31802 Nieznany
filozofia opracowanie pytań
opracowanie pytan Automatyka
pytania egz ekonimak II, OPRACOWANIE PYTAŃ NA EGZAMIN
Zestaw 88 Kasia Goszczyńska, materiały farmacja, Materiały 3 rok, Od Ani, biochemia, biochemia, opra

więcej podobnych podstron