PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA KOLOKWIUM NR. 3

Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa PG

rok akademicki 2012/2013 (semestr2)

Kolokwium będzie się składało z 4 zadań . Każde zadanie za 5 punktów..

Poniżej przykładowe zadania z kolokwiów z poprzednich lat.

Zakres materiału:

1. Całki potrójne(współrzędne sferyczne i walcowe, objętość) 2. Całki krzywoliniowe (nieskierowane, skierowane, Twierdzenie Greena, niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania) 3. Całki powierzchniowe (niezorientowane, pole płata, zorientowane, Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego) y

4. Równania różniczkowe zwyczajne(o zmiennych rozdzielonych, y' = f ( ) , liniowe, Bernoulliego, zupełni , równania rzędu n o x

stałych współczynnikach)

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Całki potrójne

2

2

2

2

2

2

Zadanie Wprowadzając współrzędne sferyczne napisać całkę ∫∫∫ z x + y + z dxdydz , gdzie V : 0

≤ z ≤ 4 − x − y

V

x ≤ 0 i y ≥ x w postaci iterowanej.

5 π

π

4

2

2

5

2

Odpowiedź: ∫ ϕ

d ∫ dr∫ r sin ψ co ψ

s

ψ

d

π

0

0

2

Zadanie Za pomocą całki potrójnej napisać wzór (nie obliczać całki) na objętość bryły będącej częścią wspólną powierzchni: 2

2

2

x + y + z − 4 z ≤ 0 oraz 2

2

2

x + y + z − 2 z − 3 ≤ 0 .

15

2π

2

+

1

4− 2

r

Odpowiedź: ∫ dϕ ∫ dr ∫ rdh

0

0

2− 4− 2

r

Całki krzywoliniowe

6 y

1 2

Zadanie a). Obliczyć całkę ∫

dl, gdzie L : y =

x , 0 ≤ x ≤ 1.

x

2

L

2

2

2

b). Obliczyć ∫ ( x + y + z ) dl , gdzie K jest łukiem linii śrubowej y = sin t, x = cos t , z = t, 0 ≤ t ≤ 2π .

K

1

3

Odpowiedź: a). 2 2 − 1, b). 2(2π + (2π ) )

3

x + y

Zadanie a). Obliczyć ∫

dl , gdzie L jest odcinkiem od punktu (

A ,

0 0) do B( ,

2 4) ,

x 2 + 3

L

b). Obliczyć ∫ − y( y + ) 1 dx + y( x + )

1 dy gdzie K jest górną częścią okręgu o środku w punkcie (− , 1 − )

1 dla

K

− 2 ≤ x ≤ −1 skierowaną przeciwnie do wzrostu zmiennej x .

Odpowiedź: a). 3

5(ln 7 − ln )

3 , b). −1 π

−

2

2

2

Zadanie Obliczyć ∫ ( x + y) dx + y dy , gdzie K jest kwadratem o wierzchołkach: (− , 1 − )

1 ,

,

1

( − )

1 ,

)

1

,

1

(

i (−

)

1

,

1

obieganym

K

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. (Można zastosować twierdzenie Grena, ale nie trzeba).

Odpowiedź: − 4

y

Zadanie ∫ 1

( + ln x +

d

) x − 1

( − ln x) dy , gdzie K jest dowolnym łukiem gładkim rozpiętym od punktu (

A ,

e 2) do B

)

1

,

1

(

, leżącym

x

K

w pasie x > ,

0

Odpowiedź: − 1 − e

2

Zadanie Obliczyć ∫ 2 xydx + x dy , gdzie K jest dowolnym łukiem o początku w punkcie O( , 0 0) i końcu K (

)

1

,

2

.

K

Odpowiedź: 4

Całki powierzchniowe

2

2

2

x + y

z

2

2

Zadanie Obliczyć ∫∫ x + y dS , gdzie S jest częścią powierzchni

=

dla 0 ≤ z ≤ 4 .

9

16

S

2π

3

5

2

Odpowiedź: ∫ ϕ

d ∫ r dr = 30

3

π

0

0

2

Zadanie Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną: ∫∫(2 x + y − z ) dS , gdzie S jest powierzchnią płaszczyzny z = 5 , której 5

S

rzutem na płaszczyznę OXY jest koło o środku w punkcie ( , 0 0) i promieniu R = 3.

3

2π

Odpowiedź: ∫ dr ∫ (2 r cosϕ + r sinϕ − ) 5 r ϕ

d

= −45π

0

0

2 x

z

S = { 2

2

2

x + z = y , x < ,

0 z > ,

0 a ≤ y ≤ b , a, b > }

Zadanie Obliczyć całkę ∫∫

+ dxdz , gdzie

0 .

y 2

S

b

π

Odpowiedź: ∫ dr∫ 2 cosϕ + sin d

ϕ ϕ = a − b

a

π

2

2

Zadanie Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną ∫∫ x dydz + xydxdz + xdxdy, jeżeli S jest wewnętrzną stroną powierzchni S

S = {

2

2

z = x + y , x ≥ ,

0 y ≥ ,

0 z

= }

1 .

Równania różniczkowe

2

y + 2 xy

Zadanie Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego: y' =

, y )

1

(

= 2

− .

2

x

y

Odpowiedź:

= 2 x

y +

x

Zadanie Obliczyć rozwiązanie zagadnienia: (ln y − 2 x) dx + ( x − 2 y) dy = 0 , y ) 1

( = e .

y

2

2

2

Odpowiedź: x ln y − x − y = 1 + e

Zadanie Wyznaczyć całkę ogólną równania: xy'+ y = −3 x ln x C

3

1

Odpowiedź: y =

− x(ln x − )

x

2

2

2

e− x

Zadanie Dane jest równanie: y' ' 4

+ y'+4 y =

. Wiedząc, że całka ogólna równania jednorodnego jest postaci 4 3

x + x

−2 x

2

− x

y ( x) = C e

+ C xe znaleźć całkę ogólną równania niejednorodnego 0

1

2

− x

x

x

x

x

2

−2

1

−2

−2

Odpowiedź: y( x) = C e

+ C xe

− e arctg 2 x + xe

ln

1

2

2

4 2

x + 1

(4)

3 x

Zadanie Rozwiązać równanie y

− y''= 8 x + 4 e metodą przewidywań.

− x

x

3 x

3

Odpowiedź:

4

4

y = C + C x + C e

+ C e + e − x

1

2

3

4

72

3

y ln y

Zadanie a). Wyznaczyć rozwiązanie równania: y' =

.

tgx

b). Dane jest równanie: y' '−2 y' = x . Wyznaczyć całkę ogólną równania jednorodnego. Stosując metodę przewidywań znaleźć postać całki szczególnej równania niejednorodnego (bez wyliczania współczynników).

C sin x

2 x

2

Odpowiedź: a). y = e

, b). y ( x) = C + C e

, Y ( x) = Ax + Bx

o

1

2