1. Znaleźć liczby rzeczywiste λ, µ aby prawdziwe były równości: (
)
λ
µ
2 + i
4 − i 2
2 λ − 3 i 3 µ + 2 i a)
+
= 1 , b) λ
+ µ
= 1+ i, c)
+
= 0 .
2 − 3 i 3 + 2 i 3 − i
1 − 3 i
5 − 3 i
3 − 5 i
2. Rozwiązać układy równań:
{
{
2(1 + 3 i) z − i(3 + 2 i) w = 5 + 4 i (4 − 3 i) z + (2 + i) w = 5(1 + i) a)
; b)
;
(3 − i) z + 2(2 + i) w = 2(1 + 3 i) (2 − i) z − (2 + 3 i) w = −(1 + i)
{ z + w = 2
c)
2 −i
1+ i
5 z
.
+
2 w
= 3
(2 −i)2
(1+ i)2
3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:
√
√
√
√
√
a) 1+ i, 1 −i, − 1+ i, − 1 −i, b) 1+ i 3 , 1 −i 3 , − 1+ i 3 , − 1 −i 3, c) 6+
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
2 + i( 6 − 2) , 6 − 2+ i( 6+ 2), d) 2 +
2 + i 2 −
2 ,
2 −
2 +
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√
i 2 +
2, e)
2 +
3 + i 2 −
3 ,
2 −
3 + i 2 +
3.
4. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby: a) 1 + i tg α, b) 1 − tg2 α + 2 i tg α, c) 1 + cos α + i sin α, d) 1+ i tg α, e) 1 −i tg α
√
√
√
√
(1 + i)(cos α + i sin α), f) cos α+ i sin α
√
, g)
6+ 2+ i( 6 − 2) , h) (cos α + i sin α) +
1+ i 3
cos α+ i sin α
(cos β + i sin β).
5. Obliczyć pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej z:
√
a) z = − 11 + 60 i, b) z = − 1 +
3 i, c) 4 + 3 i, d) z = 6 − 8 i.
6. Rozwiązać równania:
a) z 4 = (1 −i)4, b) ( z+2 i)8+( z− 2 i)8 = 0, c) z 2+2 i = 0, d) z 2+(2+2 i) z =
(1 + 2 i) = 0, e) z 4 − 3 z 2 + 4 = 0, f) z 3 + 1 + i = 0.
7. Znając niektóre pierwiastki wielomianu W ( x), wyznaczyć jego pozo-stałe pierwiastki:
√
√
√
a) W ( x) = x 3 − 3 2 x 2 + 7 x − 3 2 , x 1 =
2 + i,
√
b) W ( x) = x 6 − 2 x 5 + 5 x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 4 x + 4 , x 1 = i, x 2 = − 2 i.
8. Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q:
a) P ( x) = x 30 + 3 x 14 + 2 , Q( x) = x 3 + 1, b) P ( x) = x 5 + x − 2 , Q( x) = x 2 − 2 x + 5.
1