Zmiana energii pola magnetycznego wynikająca ze zmiany położenia wybranego elementu związana z pracą mechaniczną wykonaną. Jeśli analizujemy ruch obrotowy wirnika maszyny elektrycznej, wówczas moment elektromagnetyczny wytworzony w maszynie elektrycznej można wyznaczyć ze wzoru: dE
M
e
= −
e
dα
Me – moment elektromagnetyczny
Ee – energia pola magnetycznego
α - kąt położenia wirnika
Energia pola magnetycznego n uzwojeń Równania napięciowe n obwodów w maszynie elektrycznej można wyrazić wg ogólnej zależności:
dΨ
u = Ri
k
+
k
k
dt
Po wymnożeniu tego k- tego równania opisującego k-te uzwojenie przez wartość chwilową prądu otrzymamy zależność na moc chwilową dostarczoną do k-tego uzwojenia:
2
dΨ
p = u i = Ri + i k
k
k k
k
k
dt
W równaniu występują dwa składniki:
- Straty mocy w uzwojeniach (w miedzi)
- Moc pola magnetycznego i moc mechaniczna Przy założeniu, że analizujemy stan, gdy nie zmienia się położenie wirnika drugi składnik zawiera tylko moc pola magnetycznego. Energię zgromadzoną w polu magnetycznym możemy zatem obliczyć ze wzoru: t
d
E
i
dt
e
∑∫ Ψ
=
k
k
dt
k
0
t
E =
i dΨ
e
∑∫ k k
k
0
Przyjmijmy, że indukcyjności własne i wzajemne są wartościami stałymi (założenie liniowości obwodu magnetycznego), wówczas: Ψ = L i + M
i
k
k k
ki( k ≠ i) i Dla uproszczenia analizy dalsze rozważania będą obejmowały dwa uzwojenia: Ψ = L i + M i
1
1 1
12 2
Ψ = L i + M i
2
2 2
12 1
Otrzymamy energię zgromadzoną w polu magnetycznym dwóch uzwojeń sprzężonych:
E =
e
∫ i d( Li + M i )+ i d L i M i 1
1 1
12 2
∫ ( +
)
2
2 2
12 1
E = L i di
M
i di
L
i di
M
i di
e
1 ∫
+
1
1
12 ∫
+
1
2
2 ∫
+
2
2
12 ∫ 2 1
E = L i di
M
( i di
i di )
L
i di
e
1 ∫
+
1
1
12 ∫
+
+
1
2
2
1
2 ∫ 2 2
E = L i di
M
d ( i i )
L
i di
e
1 ∫
+
1
1
12 ∫
+
1 2
2 ∫ 2 2
1
1
2
2
E =
L i +
L i + M i i
e
1
2 2
12 1 2
2
1
2
1
1
E =
i ( L i + M i ) +
i ( L i + M i ) e
2 1
1
12 2
1
2 2
2 2
12 1
1
E =
iψ +
i ψ
e
1
1
2
2
2
2
W ogólnym przypadku dla k uzwojeń:
1
E =
i ψ
e
∑ k k
2
k
Wzór ogólny na moment elekromagnetyczny maszyny elektrycznej można wyrazić zależnością:
1
= −
d
M
(
ψ
e
∑ i )
k
k
2 dα m k
MOMENT MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ
Energia zgromadzona w polu magnetycznym maszyny indukcyjnej może być przedstawiona jako:
1
E =
∑ i ψ kk
2
k
Przy pominięciu składowej zerowej:
∑ i ψ = i ψ + i ψ + i ψ + i ψ
k
k
α
s
α
s
β
s
β
s
α
r
α
r
β
r
β
r
k
W zapisie wektorowym:
∑ i ψ = Re{ *
*
i ψ + i ψ }
k
k
s
s
r
r
k
Biorąc pod uwagę równania strumieniowo-prądowe: α
ψ
j
= L i + L i e
s s
µ r
s
− α
ψ
j
= L i + L i e
r r
µ s
r
− α
j
jα
∑ i ψ = Re{ i ( *
*
L i + L i e
) + + i (
*
*
L i + L i e )}
k
k
s
s
µ
r
r
µ
s
r
r
s
k
− α
j
α
∑ i ψ = Re{ *
*
*
*
j
L i + L i i e
+ L i i + L i i e }
k
k
s
µ s
r
r
µ
r
s
r
r
s
k
Jako,
że zależność na moment wyznaczona jest jako pochodna po kącie to po wykonaniu różniczkowania otrzymamy:
1
− jα
α
M = −
p Re{
*
*
j
− jL i i e
+ jL i i e }
e
µ s
µ
2
r
r
s
1
− α
j
α
M = −
pL Re{ j(
*
*
j
i
− i e
+ i i e )}
e
µ
2
s
r
r
s
1
− α
j
jα
M = −
pL Im{
*
*
i
− i e
+ i i e }
e
µ
2
s
r
r
s
Oznaczając:
'
α
j
i = i e
r
r
1
M = −
pL Im{
'*
* '
i
− i + i i }
e
µ
2
s
r
s
r
Im{ i
− i }
'*
= −Im{ * '
i i }
s
r
s
r
M = pL Im{ i i }
'*
e
µ
s r
Biorąc pod uwagę, że:
ψ ' = L i' + L i
r
µ s
r
r
otrzymamy:
µ s
i'
r
=
r
Lr
'*
*
ψ − L i
µ
M = pL Im{ i
s
r
}
e
µ
s
L
r
L
M = p µ Im{
'*
*
i ψ − L i i }
e
L
s
µ
s
r
s
r
L
M
p µ
=
Im{ i ψ }
'*
e
L
s
r
r
Inną postać uzyskamy wyznaczając z równań strumieniowo-prądowych prądy stojana i wirnika w zależności od strumieni i podstawiając tak otrzymane równania do równania na moment, otrzymamy:
L
M = p
µ
Im{ψ ψ }
'*
2
e
−
s
L r
L
Lµ
s
r