Egzamin poprawkowy z matematyki dla student´

ow chemii, 20 lutego 2009, 13:05 – 16:05

Rozwia

֒

zania r´

o˙znych zada´

n maja

֒

znale´

z´

c sie

֒

na r´

o˙znych kartkach, bo sprawdza´

c je be

֒

da

֒

r´

o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

֒

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´

cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

֒

cej ´

cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

֒

dze´

n elek-

tronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

֒

by´

c schowane i wy la

֒

czone!

Nie dotyczy rozrusznik´ow

serca.

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

֒

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly pojawi ly sie

֒

na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1.

Zdefiniowa´c log

d

c

pamie

֒

taja

֒

c o za lo˙zeniach o d i c .

Niech a = log

10

7 , b = log

10

5 . Wyrazi´c log

10

35 oraz log

10

14 za pomoca

֒

a

i b .

Wykaza´c, ˙ze 2a < 1 + b .

2.

Poda´c definicje

֒

kosinusa i sinusa dowolnego ka

֒

ta.

Rozwia

֒

za´c nier´

owno´s´c: | sin t| > sin(t+

π

2

) . Zilustrowa´c jej rozwia

֒

zanie na okre

֒

gu x

2

+y

2

= 1 .

3.

Niech f (x) =

3

px

2

(x

2

− 2) . Obliczy´c f

′

(x) i f

′′

(x) dla ±

√

2 6= x 6= 0 .

Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja f maleje i te, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja f jest wypuk la i te, na kt´orych jest wkle

֒

s la.

Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

′

przy x −→ ±

√

2 i przy x −→ 0 .

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4.

Obliczy´c wyznacznik

−1

2

−2

14

5

−2

6

−30 −33

.

Znale´z´c iloczyn wektorowy i skalarny wektor´

ow

−−−−−−−→

[−1, 2, −2] i

−−−−−−→

[14, 5, −2] oraz kosinus i sinus ka

֒

ta

mie

֒

dzy tymi wektorami.

Znale´z´c pole tr´

ojka

֒

ta o wierzcho lkach (0, 0, 0, ) , (−1, 2, −2) i (14, 5, −2) . Czy wszystkie trzy

ka

֒

ty tego tr´

ojka

֒

ta sa

֒

ostre?

5.

Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji ln(x

6

) +

12

π

· cos

πx

2

w punkcie x

0

= 1 .

6.

Naszkicowa´c obszar z lo˙zony z punkt´ow (x, y) , kt´

orych wsp´o lrze

֒

dne spe lniaja

֒

obie nier´owno´sci:

0 ≤ y ≤ sin x i 0 ≤ x ≤ sin y i znale´z´c jego pole.

Informacje po˙zyteczne lub zbe

֒

dne

: 5

3

= 125 , 3

4

= 81 , 4

3

= 64 , 81

2

= 6561 , 5

7

= 78125 , 3

2

= 9 ,

3

3

= 27 , 3

4

= 81 , 3

5

= 243 , 33 = 3 · 11 , 6 = 3 · 2 , 30 = 3 · 10 , 2

8

= 256 , 15

2

= 225 , 2

17

= 131072 ,

19

3

= 6859 , 19

4

= 130321 , 19

5

= 2476099 .