ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

1

1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ROZCIĄGANIA"

A

q

L

x

1

x

2

x

3

- pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo w pkt. A (0,0,0)

- x

1

- oś podłużna pręta, x

2

, x

3

- osie centralne przekroju

- obciążenie zewnętrzne:

denko

(

)

q q,0,0

q const

=

pobocznica

(

)

q 0,0,0

- siły masowe

(

)

P 0,0,0

ZADANIE:

wyznaczyć tensor napręż. Tσ, tensor odkszt. Tε i wektor przemieszczenia

u

.

2. ROZWIĄZANIE

2.1. Komplet równań TS

σ

i j j

,

= 0 (1)

(

)

ε

i j

i j

j i

u

u

=

+

1

2

,

,

(2)

(

)

[

]

ε

ν σ

ν σ

δ

i j

i j

k k

i j

E

=

+

−

1

1

(3)

+ statyczne war. brzegowe

q

i

i j

j

ν

ν

σ α

=

denko x

1

= L ,

(

)

ν 1 0 0

, ,

q

=

×

=

×

=

×








σ

σ
σ

11

21

31

1

0

1

0

1

(4a)

pobocznica

(

)

ν

α

α

ν

ν

0

0

0

2

3

,

,

≠

≠

0
0
0

12

2

13

3

2 2

2

2 3

3

3 2

2

3 3

3

=

+

=

+

=

+








σ

α

σ

α

σ

α

σ

α

σ

α

σ

α

ν

ν

ν

ν

ν

ν

(4b)

+ kinematyczne war. brzegowe

w pkt. utwierdzenia A (0, 0,0)

u

1

= u

2

= u

3

= 0

(5)

∂

∂

∂

∂

u

x

u
x

2

1
1

2

0

0

=

=













∂
∂

∂
∂

u

x

u

x

2

3
3

2

0

0

=

=













∂

∂

∂

∂

u
x

u

x

1

3
3

1

0

0

=

=













ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

2

2.2. Podejście statyczne do zagadnienia brzegowego

"wymyślić" T

σ

sprawdzić równ. Naviera

sprawdzić stat. war. brzeg.

sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.

wyznaczyć odkształcenia

ε

i j

= ε

i j

σ

i j

(

)

+ kinematyczne war. brzegowe

wyznaczyć przemieszczenia

ε

i j

=

1

2

(

i, j

u

+

j, i

u

)

‘

- macierz naprężenia

(

)

( )

(

)

( )

S W

S Z

M W

M Z

q

II

I

II

I

=
=

⇒

=

















T

σ

0 0

0 0 0
0 0 0

(6)

Macierz naprężenia (6) spełnia równania równowagi (1) i statyczne warunki brzegowe (4)

‘

- macierz odkształceń (r.Hooke'a)

(

)

(

)

[

]

ε

ν σ

ν σ

σ

σ

11

11

11

22

33

1

1

1

=

+

−

+

+

=

E

E

q

(

)

(

)

[

]

ε

ν σ

ν σ

σ

σ

ν

22

22

11

22

33

1

1

=

+

−

+

+

= −

E

E

q

(

)

(

)

[

]

ε

ν σ

ν σ

σ

σ

ν

33

33

11

22

33

1

1

=

+

−

+

+

= −

E

E

q

(

)

[

]

ε

ν σ

12

12

1

1

0

=

+

=

E

ε

ε

13

23

0

=

=

T

ε

ν

ν

=

−

−





















×

1

0

0

0

0

0

0

E

E

E

q (7)

Macierz (7) spełnia równania nierozdzielności odkształceń, gdyż

ε

ε

i j

i j k l

const

=

⇒

≡

,

0

‘

- funkcje przemieszczeń (rów. Cauchy'ego)

∂
∂

∂
∂

ν

∂
∂

ν

u

x

q

E

u

x

q

E

u

x

q

E

1

1

2

2
3

3

=

= −

= −

∂

∂

∂

∂

∂
∂

∂
∂

∂

∂

∂

∂

u
x

u

x

u

x

u

x

u
x

u

x

1

2

2

1

2

3

3

2

1

3

3

1

0

0

0

+

=

+

=

+

=

(8)

Ukł. (8) to układ 6 równań różniczkowych cząstkowych liniowych I rzędu

" CORN" = "CORJ" + "CSRN"

⇒

u

u

u

i

i

o

i

s

=

+

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

3

Całka ogólna równania jednorodnego opisuje przemieszczenia punktów ciała sztywnego (rów.
jednorodne tzn.

ε

ij

=0, a to oznacza brak odkształceń ciała, czyli zarazem ciało sztywne). W

każdym zagadnieniu teorii sprężystości całka ogólna jest identyczna.

- całka ogólna

(

)

u

x x

a b x

c x

o

1

2

3

2

3

,

= +

+

(

)

u

x x

d b x

f x

o
2

1

3

1

3

,

= −

+

(

)

u

x x

g c x

f x

o
3

1

2

1

2

,

= −

−

- całka szczególna równania niejednorodnego : metoda przewidywania

- funkcje przemieszczeń

(

)

u

x x x

q

E

x

a b x

c x

1

1

2

3

1

2

3

,

,

=

+ +

+

(

)

u

x x x

q

E

x

d b x

f x

2

1

2

3

2

1

3

,

,

= −

+ −

+

ν

(9)

(

)

u

x x x

q

E

x

g c x

f x

3

1

2

3

3

1

2

,

,

= −

+ −

−

ν

Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należy wyznaczyć z kinematycznych war. brzegowych (5).

a = b = c = d = f = g = 0

(

)

u

x x x

q

E

x

1

1

2

3

1

,

,

=

(

)

u

x x x

q

E

x

2

1

2

3

2

,

,

= − ν

(10)

(

)

u

x x x

q

E

x

3

1

2

3

3

,

,

= − ν

WNIOSEK :

Macierz naprężenia (6) macierz odkształcenia (7) i wektor przemieszczenia (10)

spełniają ściśle komplet równań teorii sprężystości wraz ze statycznymi i kinematycznymi war.
brzegowymi. Są więc ścisłym rozwiązaniem zagadnienia czystego rozciągania dla pręta
stanowiącego przedmiot analizy.

3. ANALIZA ROZWIĄZANIA

1. Stan

naprężenia opisany przez macierz (6) to jednorodny (identyczny w każdym punkcie

ciała) i jednoosiowy (tylko jeden element macierzy naprężenia jest niezerowy) stan
naprężenia.

2. Diagonalna

postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie

σ

11

jest maksymalnym naprężeniem normalnym

spośród wszystkich możliwych

odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.

3. Stan

odkształcenia opisany przez macierz (7) to jednorodny (identyczny w każdym

punkcie ciała) i trójosiowy (niezerowe składowe w 3 wzajemnie prostopadłych
kierunkach) stan odkształcenia.

4. Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że czystemu rozciąganiu towarzyszą

jedynie odkształcenia liniowe. Włókna równoległe do osi x1 wydłużają się najbardziej, a

równoległe do x

2

i x

3

najmniej.

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

4

5.

Analiza deformacji pręta.

‘

wydłużenie pręta

u

q

E

x

1

1

=

(

)

u

x

L

L

q

E

L

def

1

1

=

=

=

∆

∆L

L

q

E

=

⇒

ε

1

= ∆L

L

‘

przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego (na przykładzie przekroju

prostokątnego o wymiarach początkowych b x h)

Funkcje

przemieszczeń u

2

i u

3

nie zależą od zmiennej x

1

(tzn. położenia przekroju

poprzecznego), tak więc deformacja każdego przekroju poprzecznego jest identyczna.

u

q

E

x

2

2

= − ν

(

)

u

x

b

q

E

b

2

2

2

2

= ±

= m ν

∆ b

u

b

u

b

q

E

b

=







 +

−







 =

2

2

2

2

ν

∆ b

b

q

E

= ν ⇒ ε

2

= −

∆ b

b

u

q

E

x

3

3

= − ν

ε

3

= −

∆ h

h

x

1

x

2

x

3

h

b

L

∆

x

1

x

2

x

3

L

b

x

2

x

3

b

∆

2

b

∆

2

h

x

2

x

3

h

∆

2

h

∆

2

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

5

4. INNE WIĘZY KINEMATYCZNE DLA PRĘTA PODDANEGO CZYSTEMU ROZCIĄGANIU

1. Jeżeli więzy są takie, że narzucają 6 warunków, to tensory naprężenia (6) i odkształcenia (7)

nadal są ścisłym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego. Funkcje przemieszczeń są opisane
równaniami (9), z których należy wyznaczyć uprzednio 6 stałych z 6 war. kinem.

2. Jeżeli więzy są takie, że narzucają mniej niż 6 warunków, to pręt jest układem geometrycznie

zmiennym.

3. Jeżeli więzy są takie, że narzucają więcej niż 6 warunków, to rów. Cauchy'ego muszą prowadzić

do innych "prawych" stron niż w ukł. (8), bowiem całka szczególna musi "wprowadzić" dodatkowe
stałe (te powyżej 6 "standardowych"). "Prawe" strony to odkształcenia, które wynikają z przyjętej
macierzy naprężenia. Tak więc macierz naprężenia musi być przyjęta odmiennie od tej w postaci
(6).

5. INNE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA ROZCIĄGAJĄCEGO (PROSTE ROZCIĄGANIE)

5.1. Zasada de Saint-Venant'a

A

B

‘

znane jest rozwiązanie dla układu sił jak na rys. A

‘

obciążamy ciało innym układem sił (rys. B), ale statycznie równoważnym (tzn.

S

S

M

M

A

A

A

A

≡

≡

;

)

Zasada de Saint-Venanta

: Tσ, Tε, u nie zmieniają się z wyjątkiem niewielkiego obszaru wokół

miejsca przyłożenia obciążenia.

5.2. Redukcja obciążenia przy czystym rozciąganiu do środka ciężkości przekroju

(

)

q q, ,

0 0

(

)

r

x x

0

2

3

,

,

S

q d A

q A

S

d A

S

d A

A

A

A

1

2

3

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫∫
∫∫

(

)

M

x

x

d A

M

x q d A

q

x A

M

x q d A

q

x d A

A

A

A

A

A

1

2

3

2

3

3

3

2

2

0

0

0

0

0

=

−

=

=

=

=

=

−

= −

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

WNIOSEK:

obciążenie przy czystym rozciąganiu redukuje się w środku ciężk. przekroju

poprzecz. do wypadkowej N (q A, 0, 0), a zatem do siły osiowej (podłużnej).

DEFINICJA:

każdy przypadek takiego obciążenia pręta, które redukuje się do siły osiowej

nazywamy prostym rozciąganiem lub krótko rozciąganiem.

5.3. Składowe tensora naprężenia i odkształcenia w prostym rozciąganiu

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

11

22

33

12

13

23

0

≡

=

=

=

=

=

=

x

N

A

ε

ε

σ

σ

σ

ν σ

ν

τ

τ

τ

11

22

33

12

13

23

0

≡

=

=

=

= −

= −

=

=

=

x

x

x

E

N

E A

E

N

E A