Matematyka A, kolokwium, 26 maja 2010, 18:05 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozruszni-

k´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb ca lkowitych a, b istnieja

,

takie liczby ca lkowite

x, y , ˙ze

13 4
16 5

x
y

=

a

b

.

Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy

13 4
16 5

.

Czy istnieje taki niezerowy wektor ~v , ˙ze kA~vk = k~vk ?

2. (10 pt.) Niech A =





2

√

2

2 −

√

2

0

√

2

√

2

0 −

√

2

√

2



 .

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A .

Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

−1

.

Znale´z´c warto´sci i wszystkie wektory w lasne macierzy A

4

.

Znale´z´c macierz A

8

.

3. (10 pt.) Niech ~

w =

1

2
2

, ~x =

x

y
z

.

(3.1) Znale´z´c macierz A taka

,

, ˙ze A~x =

1

18

(~

w · ~x)~

w +

1
2

~x −

√

3

6

~

w × ~x .

(3.2) Znale´z´c A~

w .

(3.3) Sprawdzi´c, ˙ze je´sli wektor ~x jest prostopad ly do wektora ~

w , to r´ownie˙z wektor A~x jest

prostopad ly do wektora ~

w .

(3.4) Sprawdzi´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x zachodzi r´owno´s´c kA~xk = k~xk .

(3.5) Niech ~x oznacza wektor prostopad ly do wektora ~

w . Znale´z´c kosinus ka

,

ta mie

,

dzy wek-

torami ~x i A~x .

(3.6) Sprawdzi´c, ˙ze je´sli λ jest warto´scia

,

w lasna

,

macierzy A , to |λ| = 1 .

4. (10 pt.) Rozwia

,

za´c uk lad r´owna´

n

x

0

(t) = 6x(t) − 3y(t),

y

0

(t) = 8x(t) − 5y(t).

5. (10 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n

x

0

(t) = −13x(t) + 25y(t),

y

0

(t) = −9x(t) + 17y(t),

kt´ore spe lnia warunek x(0) = −2 , y(0) = −1 .