Aula 09 Parte 02

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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Aula 9 – Parte 2

Juros Compostos ......................................................................................................................................... 2

1.1

Período de Capitalização ..................................................................................................................... 2

1.2

Fórmula do Montante Composto ........................................................................................................ 3

Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ......................................................................... 3

Convenção Linear e Convenção Exponencial .............................................................................................. 4

Logaritmo no regime composto ................................................................................................................ 13

Taxas Equivalentes .................................................................................................................................... 18

Taxa Nominal e Taxa Efetiva ..................................................................................................................... 19

Descontos Compostos............................................................................................................................... 26

7.1

Desconto Racional (por dentro) Composto ....................................................................................... 27

7.2

Desconto Comercial (por fora) Composto ......................................................................................... 28

7.3

Demonstração da fórmula dos valores tabelados ............................................................................. 44

Relação das questões comentadas ........................................................................................................... 45

Gabaritos ................................................................................................................................................... 54

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1 Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao
capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a
expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante
5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o
montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são

∙ 10.000 = 2.000 e o montante após o

primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano são

∙ 12.000 = 2.400 e o montante após o

segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são

∙ 14.400 = 2.880 e o montante após o terceiro

ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são

∙ 17.280 = 3.456 e o montante após o quarto

ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano são

∙ 20.736 = 4.147,20 e o montante após o quinto

ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

1.1

Período de Capitalização

O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de
período de capitalização.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são
calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital.

Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por
trimestre.

E assim por diante.

Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade
de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de
efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de
juros).

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1.2

Fórmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula
básica:

= ∙ (1 + )

→ montante (capital + juros).

→ Capital inicial aplicado.

→ taxa de juros

→ número de períodos.

Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então
o número de períodos é igual a 4 bimestres.

Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por
acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação:

= + ⇔ = −

2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta

Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de
10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de
capitalização:

a) 1 mês
b) 15 dias (meio mês)
c) 2 meses

Resolução

a) Capitalização Simples

= ∙ (1 + ∙ )

= 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 1) = 1.100

Capitalização Composta

= ∙ (1 + )

= 1.000 ∙ (1 + 0,1)

= 1.100

Observe que, para

= 1, o montante simples é igual ao montante composto.

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b) Capitalização Simples

= ∙ (1 + ∙ )

= 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 0,5) = 1.050

Capitalização Composta

= ∙ (1 + )

= 1.000 ∙ (1 + 0,1)

= 1.048,81

Observe que, para

= 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto.

Atenção: este valor

1,01

foi colocado com o auxílio de uma calculadora. Se você

precisar de algum valor “excêntrico” como este, a banca será obrigada a fornecer uma
tabela financeira.

c) Capitalização Simples

= ∙ (1 + ∙ )

= 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 2) = 1.200

Capitalização Composta

= ∙ (1 + )

= 1.000 ∙ (1 + 0,1)

= 1.210

Observe que, para

= 2, o montante simples é menor do que o montante composto.

Em resumo, temos as seguintes relações

= 1

O montante simples é igual ao montante composto.

0 < < 1

O montante simples é maior do que o montante
composto.

> 1

O montante simples é menor do que o montante
composto.

3 Convenção Linear e Convenção Exponencial

Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor
cobrar juros simples.

Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de
períodos for fracionário.

Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e
meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim,

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poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar
mais dinheiro obviamente).

Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular
o montante de duas maneiras:

- Convenção Exponencial

- Convenção Linear

Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês,
juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.

- Convenção Exponencial

A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no
expoente da expressão do montante.

Assim,

)

= ⋅ +

3,5

10.000 (1 0,10)

M =

⋅ +

3,5

10.000 1,10

M =

⋅

O valor 1,10

3,5

= 1,395964 deverá ser fornecido pela questão.

10.000 1, 395964

M =

⋅

13.959, 64

M =

- Convenção Linear

A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o
montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário.

Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear:

)

Int

frac

i n

= ⋅ +

⋅ + ⋅

Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e n

frac

a parte fracionária do

período.

10.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 5)

M =

⋅ +

⋅

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10.000 1,10 1, 05

M =

⋅

13.975, 50

M =

Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da
convenção exponencial.

01.

(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20

000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é

a) R$ 45.000,00
b) R$ 47.500,00
c) R$ 60.000,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 50.000,00

Resolução

= ∙ (1 + )

= 20.000 ∙ (1 + 0,50)

= 45.000,00

Letra A

02.

(BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com

vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de
resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas
decimais)
a) 20.999,66
b) 21.985,34
c) 22.111,33
d) 22.400,00
e) 22.498,00

Resolução

= ∙ (1 + )

= 20.000 ∙ 1,04

O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.

1,04 × 1,04 = 1,0816

1,0816 × 1,04 = 1,124864 ≅ 1,1249

= 20.000 ∙ 1,04

= 20.000 ∙ 1,1249 = 22.498,00

Letra E

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03.

(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no

valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano,
são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à
taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a

a) 22 meses
b) 20 meses
c) 18 meses
d) 16 meses
e) 15 meses

Resolução

Aplicação a juros compostos:

= ∙ (1 + )

= 12.500 ∙ (1 + 0,08)

= 14.580

Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado
14.580 – 12.500 = 2.080.

Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será
dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 =
1,25%=0,0125 ao mês.

= ∙ ∙

2.080 = 10.400 ∙ 0,0125 ∙

2.080 = 130 ∙

= 16 &'('(

Letra D

04.

(AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao

mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e
assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 2.691,43
b) $ 3.691,43
c) $ 4.691,43
d) $ 5.691,43
e) $ 6.691,43

Resolução

Na capitalização composta o montante é dado por

= ∙ (1 + )

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10.000 = ∙ (1 + 0, 10)

10.000 = ∙ 1,61051

10.000

1,61051 = 6.209,21

Não há gabarito compatível e a questão foi anulada.

05.

(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade

de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre.
Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4%
ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante
referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de
a) R$ 14.400,00.
b) R$ 14.560,00.
c) R$ 14.580,00.
d) R$ 16.000,00.
e) R$ 16.400,00.

Resolução

Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a metade do
capital em cada uma das aplicações, então o capital das aplicações será x.

1ª aplicação (Regime Composto)

Sabemos que

= + ⇔ = −

No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte.

= ∙ (1 + )

A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 semestres).

= ) ∙ 1,08

= 1,1664 ∙ )

Como

= − ,

= 1,1664 ∙ ) − )

= 0,1664 ∙ )

2ª aplicação (Regime Simples)

= ∙ ∙

Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres.

= ) ∙ 0,04 ∙ 4

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= 0,16 ∙ )

A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00.

= 4.080

0,1664 ∙ ) + 0,16 ∙ ) = 4.080

0,3264 ∙ ) = 4.080

) = 12.500

Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante.

= 1,1664 ∙ )

= 1,1664 ∙ 12.500 = 14.580,00

Letra C

06.

(CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses,

à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos
por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era
de

a) R$ 560,00
b) R$ 585,70
c) R$ 593,20
d) R$ 616,00
e) R$ 617,40

Resolução

Temos nesta questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples e outra
na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização simples é dado por

)

i n

= ⋅ + ⋅

A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. Podemos
aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a taxa é de 4% ao mês e
o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma,

500 (1 0, 04 3)

M =

⋅ +

⋅

500 1,12

M =

⋅

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560

M =

Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda aplicação.

Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00,
taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses.

O montante da capitalização composta é dado por

)

= ⋅ +

560 (1 0, 05)

M =

⋅ +

560 1, 05

M =

⋅

617, 40

M =

Letra E

07.

(AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa

de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa
de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais
próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$
21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,03

= 1,425760)

a) R$ 25 000,00.
b) R$ 39 000,00.
c) R$ 31 000,00.
d) R$ 48 000,00.
e) R$ 50 000,00.

Resolução

Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será aplicada a juros
compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros simples.

Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do capital com os
juros.

= + ⇒ =

−

Capitalização Composta

Capital aplicado: C

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Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês

Tempo de aplicação: 12 meses

Assim, o juro da capitalização composta será dado por:

)

− = ⋅ +

−

1, 03

= ⋅

−

1, 425760

⋅ − ⋅

0, 425760

⋅

Capitalização Simples

Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês

Tempo de aplicação: 12 meses

Assim, o juro da capitalização simples será dado por:

C i n

= ⋅ ⋅

0, 035 12

= ⋅

⋅

0, 42

⋅

As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02.

21.144, 02

0, 42

0, 425760

21.144, 02

⋅ +

⋅ =

0,84576

21.144, 02

⋅ =

21.144, 02

0,84576

C =

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25.000

C =

O capital total aplicado é

2 ∙ .

Logo,

50.000

⋅ =

Letra E

08.

(AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado

aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%.
b) 5%.
c) 5,33%.
d) 6,5%.
e) 7%.

Resolução

Podemos, para facilitar o raciocínio, admitir o que o capital inicial é igual a R$ 100,00.
Para que o capital aumente 80%, os juros serão iguais a R$ 80,00 (80% de 100,00).
Então o montante será igual a R$ 180,00. A taxa e o tempo estão na mesma unidade.

Apliquemos a fórmula dos juros compostos.

)

= ⋅ +

180 100 (1

)

⋅ +

1,80

)

= +

Foi fornecida uma tabela na prova para o auxílio de questões como essa.

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De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos

1, 04

1,80

≅

Letra A

4 Logaritmo no regime composto

09.

(Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da

Administração-SC – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital
aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações
adicionais: log 3

≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012.

Assinale abaixo a única alternativa correta.

a) 5 meses
b) 10 meses
c) 20 meses
d) 30 meses
e) 40 meses

Resolução

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Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é mensal.

Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do capital (M =
3.C)

Assim,

= ⋅

Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por

)

= ⋅ +

. Temos então:

)

⋅ +

= ⋅

(1 0, 03)

1, 03

Para resolver esta equação exponencial, devemos logaritmar os dois membros da
equação (na base que foi dada no enunciado).

log1, 03

log 3

log1, 03

log 3

n ⋅

log 3

log1, 03

n =

0, 48

0, 012

n =

0, 480

0480

480

40 meses.

0, 012

0012

n =

Letra E

010. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo
do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de
juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere
à taxa de juros utilizada.

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Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre.
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
c) simples, sempre.
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resolução

O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o
montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será
maior do que o juro composto.

Letra E

011.

(SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma

renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

* = log

* < .

* = .

* = √.

* > .

Resolução

Vimos que:

= 1

O montante simples é igual ao montante composto.

0 1

O montante simples é maior do que o montante
composto.

O montante simples é menor do que o montante
composto.

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Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a
convenção exponencial.

Letra E

012. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma
taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final
do período, adotando a convenção linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00
b) R$ 24.932,05
c)

)

R$ 24.805,00

d) R$ 23.780,00
e) R$ 22.755,00

Resolução

Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido durante 2 anos
e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte fracionária do período (3
meses) será utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a
1/4 do ano= 0,25 anos.

Assim,

)

Int

frac

i n

= ⋅ +

⋅ + ⋅

20.000 (1 0,10)

(1 0,10 0, 25)

M =

⋅ +

⋅

20.000 1,10 1, 025

M =

⋅

24.805, 00

M =

Letra C

013. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10
dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a:

a) R$ 370,00
b) R$ 372,00
c) R$ 373,00
d) R$ 375,10
e) R$ 377,10

Resolução

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De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros
compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de
10 dias equivale a 1/3 do mês.

= ∙ 1 +

123

∙ 1 + ∙

4567

= 300 ∙ 1 + 0,10

∙ 81 + 0,10 ∙

= 300 ∙ 1,21 ∙ 81 +

309 = 363 ∙ 81 +

309

= 363 +

363

30 = 363 + 12,1 = 375,10

Letra D

014. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano
durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante
considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela
convenção linear, dado que 1,40

1,5

=1,656502.

a) 0,5%
b) 1%
c) 1,4%
d) 1,7%
e) 2,0%

Resolução

Assuma, por hipótese, que o capital aplicado é de R$ 100,00.

Convenção Exponencial

= ∙ 1 +

= 100 ∙ 1 + 0,40

= 100 ∙ 1,40

= 100 ∙ 1,656502 = 165,6502

Convenção Linear

= ∙ 1 +

123

∙ 1 + ∙

4567

= 100 ∙ 1 + 0,40

∙ 1 + 0,40 ∙ 0,5

= 100 ∙ 1,40 ∙ 1,20 = 168,00

Cálculo da perda percentual

;;7;6<

= 168,00

4;6<

= 165,6502

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4;6<

− :

;;7;6<

165,6502 − 168

168

2,3498

168 ∙ 100% =

234,98

168 % ≅ 1,398%

Letra C

015. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis
meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de
investimento:

I – Juros simples de 2% ao mês.
II – Juros compostos de 1% ao mês.
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno.
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento.
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento.
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento.
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

Resolução

I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses.

= ∙ 1 + ∙ = 10.000 ∙ 1 + 0,02 ∙ 6 = 11.200

II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses.

= ∙ 1 +

= 10.000 ∙ 1 + 0,01

= 10.615,20

Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento.

Letra D

5 Taxas Equivalentes

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo
mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros
compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o mesmo que
falar em taxas proporcionais.

Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos.

Exemplo

Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês?

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Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo
mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte
equação:

)

⋅ +

= ⋅ +

(1 0,10)

= +

1, 331

+ =

0, 331

i =

33,1%

i =

Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre.

Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores

1 + )

Exemplo

Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre?

Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação:

(1 +

6?6<

)

= (1 +

@5;ABC@56<

)

1 +

6?6<

= (1 + 0,2)

1 +

6?6<

= 2,0736

6?6<

= 1,0736

6?6<

= 107,36%*E*E

6 Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime
composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com
capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”.

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A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa
efetiva.

No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa
se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao
ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período
de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são
calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa
é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização.
No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva.

São exemplos de taxas nominais:

- 30% ao mês com capitalização diária.

- 48% ao ano com capitalização bimestral.

Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente
com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com
capitalização anual é uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará
subentendido “20% ao ano com capitalização anual”.

A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros.
Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo
financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!!

Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser
convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula:

F*)*'G'HI* =

F*)*JE&*K

Jú&'MEN'O'MíENE(N'Q*OH*KR*çãEQEHNE(*H*)*E&*K

Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva.

Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral.

1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será

60%

10% a.b.

i =

Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas
equivalentes.

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Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira:

)

= +

(1 0,10)

+ = +

1,10

i =

−

0, 7715

i =

77,15%

i =

Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para
efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se
a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b..

Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente.
Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal.

016. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros
compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada
bimestralmente?

a) 75,0%
b) 72,8%
c) 67,5%
d) 64,4%
e) 60,0%

Resolução

Vamos analisar cada parte do enunciado.

“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”.

Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa
efetiva bimestral é dada por

40%

20% a.b.

i =

Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral
devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre é
composto por 3 bimestres.

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)

= +

(1 0, 20)

+ = +

1, 728 1

0, 728

i =

− =

72,8%

i =

Letra B

017. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros
nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.
a) 12,3600%
b) 12,5508%
c) 12,6825%
d) 12,6162%
e) 12,4864%

Resolução

Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é:

12%

12 = 1%*E&ê(

Devemos fazer a comparação dos fatores

1 + )

para o cálculo da taxa de juros anual.

(1 +

)

= (1 +

)

1 +

= (1 + 0,01)

Consultando a tabela financeira:

1 +

= 1,126825

= 0,126825 = 12,6825%

Letra C

018. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à
taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de
dezoito meses de aplicação.
a) R$ 27.200,00
b) R$ 27.616,11
c) R$ 28.098,56
d) R$ 28.370,38
e) R$ 28.564,92

Resolução

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Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é:

24%

4 = 6%*EHM&'(HM'

O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é trimestral, então
usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres.

= ∙ 1 + )

= 20.000 ∙ (1 + 0,06)

= 28.370,38

Letra D

019. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha
de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de
juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa
semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades
monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez,
obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um
semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos
períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário,
foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.

Resolução

Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo, a taxa efetiva
trimestral é 80% /4 = 20% a.t.

O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de:

(1 +

)

= (1 +

)

= (1 +

)

− 1

= (1 + 0,20)

− 1 = 1,0736 = 107,36%

Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a taxa equivalente
semestral será (1+20%)

– 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Como Mário pagará sua dívida

ao final de um semestre, seu custo percentual foi de 44%.

Letra E

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020. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual
equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é

a) 114,70%
b) 107,55%
c) 109,90%
d) 90,00%
e) 119,70%

Resolução

Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano é composto
por 3 quadrimestres.

(1 +

)

= (1 +

)

1 +

= (1 + 0,3)

1 +

= 2,197

= 1,197 = 119,70%

Letra E

021.

(DNOCS 2010/FCC)

Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$

25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de
24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento
pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

a)

W(1,02)

− 1Y

Z(18 ∙ √1,36

− 1]

Z(18 ∙ √1,24

− 1]

Z(3 ∙ √1,24 − 1]

Z(6 ∙ √1,24

− 1]

Resolução

O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de
24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 =
2%.

= ∙ (1 + )

+ = ∙ (1 + )

= ∙ (1 + )

−

= ∙ W(1 + )

− 1Y

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= 25.000 ∙ W(1 + 0,02)

− 1Y

= 25.000 ∙ W(1,02)

− 1Y

Letra A

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7 Descontos Compostos

A operação de desconto foi estudada na aula passada. Foi visto que desconto é o
abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de
vencimento. Os principais elementos de uma operação de desconto são:

Valor Nominal, Valor de Face,

Valor Futuro (N)

É o valor que está escrito no título. É o
valor que deve ser pago na data do
vencimento.

Valor Atual, Valor Presente, Valor

Líquido, Valor Descontado (A)

O valor líquido é obtido pela diferença
entre o valor nominal e o desconto.

Desconto (D)

Desconto é o abatimento que se faz no
valor de uma dívida quando ela é
negociada antes da data de vencimento.
É a diferença entre o valor nominal e o
valor atual.

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre
será igual ao valor nominal menos o desconto.

` = J − a

Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos elementos da
operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é a natureza da taxa.

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional,
também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto
“teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o
desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro.

Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de capitalização
composta. Pode ser, também, de dois tipos (por fora e por dentro).

Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial
Composto.

Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a
modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou
composto).

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7.1

Desconto Racional (por dentro) Composto

A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma
operação de juros compostos.

Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor
presente para o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como
objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a
taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o
valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer
um desenho comparativo.

O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital inicial da
operação de juros compostos.

O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao montante da
operação de juros compostos.

O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da
operação de juros compostos.

Capital Inicial

JUROS COMPOSTOS

Juros

Montante

Valor Atual

(Data zero)

Linha do tempo

Desconto

Valor Nominal

DESCONTO RACIONAL

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Correspondência entre os elementos das operações

Juros Compostos

Desconto Racional Composto (por

dentro)

Capital Inicial (C)

Valor Atual (A)

Montante (M)

Valor Nominal (N)

Juro (J)

Desconto (D)

Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Compostos:

)

= ⋅ +

Desconto Racional Simples:

Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto.

Desconto Racional Simples (por

dentro)

Desconto Racional Composto (por

dentro)

)

i n

= ⋅ + ⋅

)

= ⋅ +

A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o
regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente.

O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto
equivale a uma operação de juros compostos.

7.2

Desconto Comercial (por fora) Composto

Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.
Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial.
Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide
sobre o valor atual.

)

= ⋅ +

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O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto
comercial composto incide sobre o valor nominal.

Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto.

Desconto Racional Simples (por

dentro)

Desconto Racional Composto (por

dentro)

)

i n

= ⋅ + ⋅

)

= ⋅ +

Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o
expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto.

Desconto Comercial Simples (por

fora)

Desconto Comercial Composto (por fora)

)

i n

= ⋅ − ⋅

)

⋅ −

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre
será igual ao valor nominal menos o desconto.

` = J − a

022. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu
vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros
compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este
título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto,
utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

a) R$ 21.780,00
b) R$ 21.600,00
c) R$ 20.702,00
d) R$ 19.804,00
e) R$ 19.602,00

Resolução

Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à
operação de juro composto.

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Assim,

J = `

∙ 1 + )

⇒ J = 20.000 ∙ (1 + 0,10)

= 24.200

A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial
composto é a seguinte:

= J(1 − )

= 24.200 ∙ (1 − 0,1)

= 19.602,00

Letra E

023. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses
antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$
10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título?

a) R$ 100 000,00.
b) R$ 107 561,00.
c) R$ 102 564,00.
d) R$ 97 561,00.
e) R$ 110 000,00.

Resolução

A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros
compostos.

N = A ∙ (1 + i)

N = A ∙ (1 + 0,05)

N = 1,1025 ∙ A

O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

J − ` = 10.000

1,1025 ∙ A − ` = 10.000

0,1025 ∙ A = 10.000

A = 97.560,98

N = 97.560,98 + 10.000 = 107.560,98 ≅ 107.561,00

Letra B

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024. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e
2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de
desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então,

a) R$ 10.000,00
b) R$ 18.000,00
c) R$ 22.653,86
d) R$ 24.000,00
e) R$ 20.000,00

Resolução

No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor nominal do
título é dada pela expressão

` = J ∙ (1 − )

` = 50.000 ∙ (1 − 0,2)

= 32.000

Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00.

Letra B

025. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de
desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as
afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por:

a'(QEHE =

;

, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d),
ambas no regime de juros simples, é expressa por

N =

1 + ,

Em que n é o número de períodos.

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos
e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:

:j = :k ⋅ (1 − N)

Em que n é o número de períodos.

Assinale

a) se somente a afirmativa III estiver correta.
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
c) se todas as afirmativas estiverem corretas.
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.

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Resolução

I. Falsa.

A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma
operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor
presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como
objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa
de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor
atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da
operação de juros simples.

O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da
operação de juros simples.

O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da
operação de juros simples.

Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação
de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!!

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por
dentro).

Juros Simples:

C i n

= ⋅ ⋅

Desconto Racional Simples:

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d),
ambas no regime de juros simples, é expressa por

N =

1 + ,

Em que n é o número de períodos.

Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o mesmo valor
atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos também são iguais.

A i n

= ⋅ ⋅

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= a

` ⋅ ⋅ = J ⋅ N ⋅

` ⋅ = J ⋅ N

Lembrando que

J = ` ⋅ (1 + ⋅ ) ⇒ ` =

1 + ⋅

1 + ⋅ ⋅ = J ⋅ N

1 + ⋅ ⋅ = N

1 + ⋅ = N

A proposição II, portanto, é verdadeira.

III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor nominal (valor
futuro).

Letra D

026. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de
seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto
de 3% ao mês.

a) R$ 140,00
b) R$ 104,89
c) R$ 168,00
d) R$ 93,67
e) R$ 105,43

Resolução

A = 840,00.

Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação de juros
compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor descontado equivale ao
capital inicial. Temos a seguinte expressão:

)

= ⋅ +

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840 (1 0, 03)

N =

⋅ +

840 1, 03

N =

⋅

Para calcular o valor de 1,03

, calcularemos primeiramente 1,03

e em seguida

multiplicaremos 1,03

por

1,03

= 1,0609

1,03

= 1,03

x 1,03

= 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088

840 1, 03

840 1,1255088

945, 43

N =

⋅

≅

Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que em qualquer
tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o valor nominal e o valor
atual.

−

945, 43 840

105, 43

D =

−

Letra E

027. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$
10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o
valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional
composto. Despreze os centavos.

a) R$ 11.255,00
b) R$ 11.295,00
c) R$ 11.363,00
d) R$ 11.800,00
e) R$ 12.000,00

Resolução

Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer que o
valor atual é R$ 10.000,00.

)

= ⋅ +

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10.000 (1 0, 03)

N =

⋅ +

10.000 1, 03

10.000 1,1255088

N =

⋅

11.255, 00

N =

Letra A

028. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado
do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,05

1,215506)

a) R$ 25.860,72
b) R$ 28.388,72
c) R$ 30.000,00
d) R$ 32.325,90
e) R$ 36.465,18

Resolução

Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor descontado no
desconto racional composto.

)

= ⋅ +

O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O desconto é a
diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Assim,

6.465,18

− =

Substituindo o valor de N por A.(1+i)

temos:

)

6.465,18

⋅ +

− =

(1 0, 05)

6.465,18

⋅ +

− =

Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A).

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1, 05

6.465,18

⋅

− ⋅ =

Podemos então colocar A em evidência:

(1, 05

6.465,18

A ⋅

− =

6.465,18

1, 05

1, 215506 1

A =

−

6.465,18

30.000, 00

0, 215506

A =

Letra C

029. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será
descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao
mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional
composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00
b) 398,00
c) 397,00
d) 396,00
e) 395,00

Resolução

Dados do problema:

N = 24.200,00

n = 2 meses

i = 10% a.m. = 0,10 a.m.

1º) Desconto comercial composto (D)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto:

)

⋅ −

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24.200 (1 0,10)

A =

⋅ −

24.200 0, 90

24.200 0,81

A =

⋅

19.602, 00

A =

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o

valor nominal e o valor atual, temos que

D = 24.200 – 19.602

D = 4.598,00

2º) Desconto racional composto (d)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto:

)

= ⋅ +

24.200

(1 0,10)

= ⋅ +

24.200

1, 21

= ⋅

24.200

20.000, 00

1, 21

A =

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o

valor nominal e o valor atual, temos que

d = 24.200,00 – 20.000,00

d = 4.200,00.

Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00

Letra B

030. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de
R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês.

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a) R$ 600,00
b) R$ 620,15
c) R$ 624,47
d) R$ 643,32
e) R$ 672,00

Resolução

Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um desconto comercial
simples e um desconto racional composto. Dois regimes: simples e composto.
Duas modalidades: comercial e racional.

1º) Desconto Comercial Simples

Sabemos, pela teoria exposta na aula passada, que a taxa do desconto comercial simples
é incidida sobre o valor nominal !

Assim, temos que

N i n

⋅ ⋅

672

0, 03 4

⋅

672

0,12

⋅

672

672, 00

67.200

5.600

0,12

N =

Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00.

2º) Desconto Racional Composto

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros
compostos. Temos a seguinte relação:

)

= ⋅ +

Assim,

)

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5.600

(1 0, 03)

A =

Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas.

Efetuar o cálculo na base da mão.

5.600

4.975, 53

(1 0, 03)

1,1255088

A =

ii)

Utilizando tabelas financeiras.

Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas tabelas.

Uma que fornece os valores de (1+i)

Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar

5.600

1,125508

A outra tabela fornecida é a seguinte.

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Essa tabela será utilizada na aula sobre Série de Pagamentos e na aula sobre Sistemas
de Amortização.

E no presente momento, para que nos serve?

Para utilizarmos um artifício.

O artifício serve para calcular os valores de

(

)

. No nosso caso, para calcular

5.600

(1 0, 03)

A =

⋅

Temos a seguinte relação:

(

)

(

n i

− ¬

−

Os valores de

n i

constam na tabela acima.

A demonstração desta relação se encontra no final desta aula.

(

5.600

)

n i

− ¬





⋅

−





[

]

4 3%

3 3%

5.600

⋅

−

Esses valores são tabelados.

[

]

5.600 3, 717098 2,828611

A =

⋅

−

5.600 0,888487

A =

⋅

4.975, 53

A =

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Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente essa questão uma
maneira um pouco mais rápida.

2º) Desconto Racional Composto

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros
compostos. Temos a seguinte relação:

)

= ⋅ +

Assim,

(

5.600

)

n i

− ¬





⋅

−





[

]

4 3%

3 3%

5.600

⋅

−

Esses valores são tabelados.

[

]

5.600 3, 717098 2,828611

A =

⋅

−

5.600 0,888487

A =

⋅

4.975, 53

A =

Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natural por um

número com 6 casa decimais para efetuar uma subtração e uma multiplicação.

O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47

Letra C

031. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00
deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo
do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.

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a) R$ 92,73
b) R$ 84,86
c) R$ 87,33
d) R$ 90,00
e) R$ 82,57

Resolução

Valor de face é o mesmo que valor nominal.

Vejamos a expressão do desconto racional composto:

)

= ⋅ +

)

(

1.000

)

n i

− ¬





⋅

−





[

]

3 3%

2 3%

1.000

⋅

−

Vejamos a tabela fornecida na prova.

Assim,

[

]

3 3%

2 3%

1.000

⋅

−

[

]

1.000 2,828611 1, 913469

A =

⋅

−

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1.000 0,915142

A =

⋅

915,14

A =

Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86

Letra B

032. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu
vencimento, a uma taxa positiva

ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o

valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial
composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

a) R$ 40.000,00
b) R$ 36.000,00
c) R$ 34.000,00
d) R$ 32.000,00
e) R$ 30.000,00

Resolução

1º) Desconto Racional Composto

J = ` ∙ (1 + )

J = 25.000 ∙ (1 + )

2º) Desconto Comercial Composto

` = J ∙ (1 − )

J =

(1 − )

J =

23.040

(1 − )

Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas
expressões obtidas:

25.000 ∙ (1 + )

23.040

(1 − )

∙ (1 + )

23.040

25.000

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m(1 − )

∙ (1 + )

= n

2.304

2.500

(1 − ) ∙ (1 + ) =

1 −

= 0,96

= 0,04

= 0,2

Sabemos que:

J = 25.000 ∙ (1 + )

J = 25.000 ∙ (1 + 0,2)

= 36.000

Letra B

7.3

Demonstração da fórmula dos valores tabelados

Queremos mostrar que

(

)

n i

− ¬

−

(

)

n i

−

− ¬

−

⋅ +

Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular o m.m.c. dos
denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador e multiplicar pelo

numerador. Observe que

)

−

⋅ +

= +

⋅ +

(

)

1 (1

)

n i

−

− ¬

−





− −

− ⋅ +

−





−

⋅ +

(

)

1 (1

)

1 1

)

n i

− ¬

− − +

+ +

− +

− + +

−

⋅ +

(

)

1 1

)

n i

− ¬

− +

− + +

−

⋅ +

(

)

n i

− ¬

−

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8 Relação das questões comentadas

01.

(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20

000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é

a) R$ 45.000,00
b) R$ 47.500,00
c) R$ 60.000,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 50.000,00

02.

(BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com

03.

(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no

a) 22 meses
b) 20 meses
c) 18 meses
d) 16 meses
e) 15 meses

04.

(AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao

mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e
assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 2.691,43
b) $ 3.691,43
c) $ 4.691,43
d) $ 5.691,43
e) $ 6.691,43

05.

(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade

de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre.
Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4%

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ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante
referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de
a) R$ 14.400,00.
b) R$ 14.560,00.
c) R$ 14.580,00.
d) R$ 16.000,00.
e) R$ 16.400,00.

06.

(CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses,

à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos
por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era
de

a) R$ 560,00
b) R$ 585,70
c) R$ 593,20
d) R$ 616,00
e) R$ 617,40

07.

(AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa

= 1,425760)

a) R$ 25 000,00.
b) R$ 39 000,00.
c) R$ 31 000,00.
d) R$ 48 000,00.
e) R$ 50 000,00.

08.

(AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado

aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%.
b) 5%.
c) 5,33%.
d) 6,5%.
e) 7%.

09.

(Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da

Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado
a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log
3

≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012.

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Assinale abaixo a única alternativa correta.

a) 5 meses
b) 10 meses
c) 20 meses
d) 30 meses
e) 40 meses

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

011.

(SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma

renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

* = log

* .

* = .

* = √.

* .

a) R$ 25.500,00
b) R$ 24.932,05
c)

)

R$ 24.805,00

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d) R$ 23.780,00
e) R$ 22.755,00

1,5

=1,656502.

a) 0,5%
b) 1%
c) 1,4%
d) 1,7%
e) 2,0%

015. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis
meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de
investimento:

I – Juros simples de 2% ao mês.
II – Juros compostos de 1% ao mês.
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.

Assinale:

016. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros
compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada
bimestralmente?

a) 75,0%
b) 72,8%
c) 67,5%
d) 64,4%
e) 60,0%

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017. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros
nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.
a) 12,3600%
b) 12,5508%
c) 12,6825%
d) 12,6162%
e) 12,4864%

019. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha
de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de
juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa
semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades
monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez,
obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um
semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos
períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário,
foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.

020. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual
equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é

a) 114,70%
b) 107,55%
c) 109,90%
d) 90,00%
e) 119,70%

021.

(DNOCS 2010/FCC)

Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$

25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de

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24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento
pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

a)

W1,02)

− 1Y

Z(18 ∙ √1,36

− 1]

Z(18 ∙ √1,24

− 1]

Z(3 ∙ √1,24 − 1]

Z(6 ∙ √1,24

− 1]

022.

(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de

seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de
juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$
20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto
comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

a) R$ 21.780,00
b) R$ 21.600,00
c) R$ 20.702,00
d) R$ 19.804,00
e) R$ 19.602,00

023.

(SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois

meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do
desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título?

a) R$ 100 000,00.
b) R$ 107 561,00.
c) R$ 102 564,00.
d) R$ 97 561,00.
e) R$ 110 000,00.

024.

(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$

50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos,
com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto
composto é, então,

a) R$ 10.000,00
b) R$ 18.000,00
c) R$ 22.653,86
d) R$ 24.000,00
e) R$ 20.000,00

025.

(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de

desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise
as afirmativas a seguir:

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I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por:

a'(QEHE =

;

, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d),
ambas no regime de juros simples, é expressa por

N =

1 + ,

Em que n é o número de períodos.

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos
e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:

:j = :k ⋅ (1 − N)

026.

(AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses

antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto
racional composto de 3% ao mês.

a) R$ 140,00
b) R$ 104,89
c) R$ 168,00
d) R$ 93,67
e) R$ 105,43

027.

(Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por

R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês.
Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto
racional composto. Despreze os centavos.

a) R$ 11.255,00
b) R$ 11.295,00
c) R$ 11.363,00
d) R$ 11.800,00
e) R$ 12.000,00

028.

(AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$

6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do
valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês.
(dado que 1,05

= 1,215506)

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

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a) R$ 25.860,72
b) R$ 28.388,72
c) R$ 30.000,00
d) R$ 32.325,90
e) R$ 36.465,18

029.

(CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será

descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de
10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do
desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00
b) 398,00
c) 397,00
d) 396,00
e) 395,00

030.

(MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial

simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma
negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional
composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês.

a) R$ 600,00
b) R$ 620,15
c) R$ 624,47
d) R$ 643,32
e) R$ 672,00

031.

(APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$

1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o
valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao
mês.

a) R$ 92,73
b) R$ 84,86
c) R$ 87,33
d) R$ 90,00
e) R$ 82,57

032.

(Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes

de seu vencimento, a uma taxa positiva

ao ano. Se for utilizado o desconto

racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o
desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal
deste título é igual a

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

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a) R$ 40.000,00
b) R$ 36.000,00
c) R$ 34.000,00
d) R$ 32.000,00
e) R$ 30.000,00

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9 Gabaritos

01.

02.

03.

04.

ANULADA

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07.

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09.

10.

11.

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