Ka˙zde zadanie – 10pkt. Nie wolno u˙zywa´
c kalkulator´
ow, tablic ani innych notatek.
Wszelkie pytania nale˙zy kierowa´
c do osoby prowadza
,
cej kolokwium.
06.02.2010
Egzamin z Analizy Matematycznej.
Zadanie 1. Prosze
,
obliczy´
c pochodne naste
,
puja
,
cych funkcji:
a)
3
√
x ln x
b)
2
x
cos x
c) sin
5
(x
3
+
√
3x + 5)
Zadanie 2. Prosze
,
znale´
z´
c naste
,
puja
,
ce granice:
a) lim
n→∞
3n
3
+ 5 · 2
n
+ 7 ln n
4 ln n + 6n
5
+ 8 · 2
n
b) lim
x→0
cos x − 1
x
2
Zadanie 3. Dla funkcji
f (x) =
x
2
− x + 2
x − 2
okre´slonej na przedziale [3, 6) prosze
,
znale´
z´
c warto´sci najwie
,
ksza
,
i najm-
niejsza
,
(lub odpowiednie kresy), ekstrema lokalne, przedzia ly monotoniczno´sci
i naszkicowa´
c wykres.
Zadanie 4. Prosze
,
znale´
z´
c najwie
,
ksza
,
mo˙zliwa
,
obje
,
to´s´
c prostopad lo´sciennego
basenu (otwartego zbiornika), kt´
orego dwie przeciwleg le sciany sa
,
kwadra-
towe i kt´
ory da sie
,
wykafelkowa´
c p lytkami o la
,
cznej powierzchni 81m
2
.
Zadanie 5. Prosze
,
znale´
z´
c wielomian Taylora funkcji f (x) = cos x stop-
nia 5 w punkcie a = 0 oraz odpowiednia
,
reszte
,
. Za pomoca
,
znalezionego
wielomianu obliczy´
c przybli˙zona
,
warto´s´
c cos 1 i oszaczowa´
c b la
,
d.
Zadanie 6. Prosze
,
obliczy´
c naste
,
puja
,
ce ca lki:
a)
Z
x cos x
2
dx
b)
Z
x ln x dx
Zadanie 7. Prosze
,
obliczy´
c pole obszaru ograniczonego krzywymi:
y = x
2
− 1 oraz x − y + 1 = 0.